1626435914-6d29faf22cc9ba3862ba4ac645c31438 (844347), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Универсальная кривая распределения интенсивности в спектре равновесного излучения а иа графике рис. 5.2 приведен ее вид. Логарифмический масштаб по оси абсцисс делает этот график весьма удобным; плошадь, заключенная между двумя ордииатами, пропорциональна зиергии излучения в даииом интервале 1. Отметим, что переход к часто применяемым формулам для спектральных испускательпых способностей черного тела е„, ех и т. п. производится просто умиожеиием соответствующих ~! Мы имеем И(!па) = Во = 7(о) Ио = — — 7(о~) = 1,377(а~) р(о) 1 Р р(о) 1 )' 1 4г' р(ом) 54(ом) 7' о р(ом) / р(ом) !5 о о а (сч,(5.49)).
Глава 5. Интенсивности в спектрах 134 рв = р(и)— тьлВя; — и;В;в Вьз (т ие Втв'х) ' 1 и; Вле/ ие При термодинамическом равновесии отношение — определяется формулой (5.15), п, де в-хь де ь т. е. равно — е = — е, следовательно, д Д, А,в ! А,я 1 ( — Ете — — ) — ы ехт— д1 Вы дп '), де Вен де 8з'Гьи~ ') Отношение А,е к — Вен согласно (4.8), равно, а отношение д,Вы к дьВы рн по (4.7) равно 1, и мы получаем формулу Планка (5.42).
(5.54) хГ Г)олствяовкя в (5.54) зявчсяяя 14.8) отяоюснял А,ь/Вы находится в соответствии с тем, что плотность яыучсвяя рлссчитывается мв еяяняоу ямтервата частот. Мы пря этом лолучвем вравильвыя Кявм мяомятсль — — в формуле Планка лля плотности яыучсямя р„. формул лля спектральных плотностей равновесного излучения на с/4 (ср. (5.39)). Универсальные функция остаются теми же самыми. Ввиду большой важности формулы Планка (5.42), чтобы раскрыть ее физический смысл, мы приведем вывод этой формулы по Эйнштейну (182), исходя из квантовых представлений о вероятностях переходов. При равновесии вещества с излучением процессы испускания фотонов частицами должны полностью компенсироваться процессами поглощения фотонов частицами. При этом полное равновесие должно быть детаГьнылт, т.е.
каждый тип прямых процессов лолжен компенсироваться соответствующим типом обратных процессов. Рассмотрим переходы между уровнями Е, и Ел (Е; > Ее). Испускание ! фотонов с частотой и = — (Е; — Еь) должно компенсироваться поглощением фо- Ь Гсл) тонов той же частоты. Приравнивая число ЯГе спонтанно испущенных фотонов (псы)' приведенному числу ЯеГ ' поглощенных фотонов (см. (5.1) и (5.3)), получаем п, А,е —— (ил Вы — п, В,ь) р(и). (5.52) Таким образом, в единице объема за единицу времени число спонтанных процессов испускания равно числу процессов поглощения за вычетом числа процессов вынужденного испускания. Отметим, что если перейти, путем умножения на )ьи, к мощностям испускания и поглощения, то (5.52) дает, при учете (5.2), уело!се) (лося) (ныл) Глотл) вне ег,в = Г7е, — ГГГя = еГв,, т. е.
ПРи Равновесии мощность спонтанного испускания должна равняться приведенной мощности поглощения. Плотность излучения частоты и мы будем рассчитывать на единицу интервала частот, т. е. положим р(ь ) = р„. Вероятности Ам, Вы и Вы можно также рассчитывать на единицу интервала частот, что является наиболее общим случаем, так как в действительности уровни энергии и спектральные линии имеют определенную ширину (подробнее об отнесении вероятностей к единице интервала частот см. 8 5.5). Вместе с тем вывод становится применимым и к случаю состояний, принадлежащих к непрерывному энергетическому спектру. Согласно (5.52), мы имеем 135 й 5.2. Основные законы равновесного излучения В приведенном выводе мы использовали значения вхоляших в вырюкение (5.54) отношений А,»/В», и В,»(В»ы получающихся строго на основе квантовой электродинамики.
Эти отношения можно получить, как это было сделано Эйнштейном, который впервые вывел их, если исследовать формулу (5.54) при высоких температурах с учетом закона Рзлея — Джинса, который может быть выведен чисто классически. При стремлении Т к бесконечности Р„ должно также стремиться к бесконечности, что возможно лишь при В, Вы — — =! д,В„ (5.55) (так как е"')»т — г 1, а знаменатель должен стремиться к нулю). Мы получаем соотноше- ние (4.7). Формула (5.54) принимает вид А,» 1 Рг'= р» — В; евй — 1 р, (5.56) что при Ьи < ЬТ дает Ав ЬТ Р р»В Ьи' Рл в из сравнения с законом Рэлея — Джинса (5.43) получается соотношение (4.8). (5.57) Из вывода формулы Планка следует, что при равновесии плотность излучения частоты и равна (см.
(5.53)) (5.58) Р п»В»в — и'В'» Ьи(п»Вы — и'Все) Выражение, стоящее в числителе, представляет мощность У» спонтанного испус(сп) кания, а выражение, стоящее в знаменателе, — отношение приведенной мощности (погл)' (посл) (сын) поглощения У„, = У», — У;„к плотности излучения, т.е. равно энергии, фактически поглощаемой в единице объема за единицу времени при плотности излучения, равной единице. Мощности испускания и поглощения так же, как и вероятности Аип Вы и Вы, (се) можно рассчитывать на единицу интервала частот и обозначить их через У„ я (7~""" .
Тогда (5.58) запишется в форме У„" Ьип; А;»(и) Р (5.59) бг(погл) Ьр(п»В .(р) п.Въ(и)) Ре Из приведенного вывода сразу следует (ср. (5.53) и (5.54) с (5.42)), что единица в знаменателе формулы Планка соответствует вынужденному испусканию. Когда вынужденным испусканием можно пренебречь по сравнению с поглощением (п»Вм » и В» и е""(»т » 1), мы получаем закон Вина (5 44). Показательный множив» тель в этом законе опрелеляется малым отношением — заселенностей уровней Ез и» и Е».
Наоборот, когда е"'(~~ близко к единице, что имеет место при Ьи сК ЙТ, т.е. в случае закона Рэлея — Джинса (5.43), вынужденное непускание почти полностью компенсирует поглощение и их малая разносп, пропорциональная Ьи(ЬТ, определяет появление множителя Т в выражении для этого закона. Глава 5. Интенсивности в спектрах 136 Если ввести понятие об обьемной поглощатедьной способности, как отношении (погл) мощности поглощения 1г„к плотности излучения р», У, ЬипьВь;(и)р„ (5.60) Ро то 11(еп) = Р». (5.62) а» Мы получили закон Кирхгафа для объемных величии, характеризующих равновесное излучение: отношение мощности спонгпанного испускания к приведенном' объемной погдощательнай способности равно обьемнай плотности равновесного излучения').
Следует подчеркнуть, что понятие поглощательной способности вещества применимо и при отсутствии равновесия между частицами вещества, когда заселенности пь и пт уровней энергии отличаются от равновесных. В этих случаях, однако, закон Кирхгофа уже не будет иметь места. На опыте определяется не объемная поглошательная способность, а связанные с ней коэффициенты поглощения излучения веществом, которые будут рассмотрены в следующем параграфе. й 5.3. Коэффициенты поглощения Коэффициент поглощения характеризует ослабление направленного потока излучения с расстоянием за счет поглощения '".
Пусть имеется поток излучения частоты и, падающий на единичную плошадку перпендикулярно к ней в направлении х (рис. 5.3). Обозначим через 1» величину потока через эту плошадку, т. е. энергию излучения, падающего на нее за единицу времени, равную )зис.5.3. Поглощение в единичном объеме 1» пп сп»(х), где п»(х) — объемная плотность этого излучения, а с — скорость его распространения, т.
е. скорость света. Ослабление потока -й1» на расстоянии от х до х+ бх за счет поглощения пропорционально величине 1» потока и расстоянию бх: (5.64) — б1 = зс»1»«х, где ! т(1„ и» = — —— 1» (5.65) т) Закон (5.62) для величин, отнесенных к единице объема, отличается от закона Кирхгофа, связывающего испускательную и поглошательную способности тела, отнесенные к единице поверхности, и юшяется более общим.
) Направленный поток излучения может ослабляться и за счет рассеяния, которое мы сейчас рассматрипать не будем. (ппгл)' с)» Ьу(пьВь((н) — птВш(и)))з» Ро Р» можно назвать приведенной обьемной поглощатедьной способностью. Формула (5.61) тогда примет вид 8 5.3. Коэффициенты поглощения 137 д1» с д1 (5.66) Если коэффициент поглощения не зависит от направления распространения излу- чения, как это обычно имеет место для изотропной среды, то отношение (5.66) равно поглошательной способности, определяемой формулами (5.60) и (5.61).
Мы полу (аем выражение ! 7) пьВъ((и) н„= — а, = с с (5.67) для коэффициента поглощения без учета вынужденного испускания, и выражение 1, 7)и(пьВъ((и) — п;Вы(и)) к» = — а с с (5.68) для приведенного коэффициента поглощения, учитывающего вынужденное непускание.
На опыте всегда наблюдается приведенный коэффициент поглощения н,'. Разумеется, когда вынужденным испусканием можно пренебречь, (5.68) сводится к (5.67). В дальнейшем мы не будем писать штриха, и н„будет всегда обозначать, если не будет сделано соответствующих оговорок, приведенный коэффициент поглощения. Соо)ношения (5.67) и (5.68) можно получить нз (5.60) и (5.61), если от объемной ср плотности излучения р„перейти (ср. с.
130) к спектралалай иитенсивнасти излучения К„= —, 4л т.е. к потоку излучения, рассчнтанноыу на единицу телесного угла н на елнннцу интервала частот. Для этого а„мы представим в виде — 1)("")дй ! 4)г ໠— р„дй 4х с — 17»(""")дй с — У„"'а)дй 4)г 4х (5.69) с „й Кдй 4х К„дй представляет поток излучения в направлении телесного угла дй (которое можно выбрать за напршиение х на рис. 5.3), а — 1)„" ")дй — энергию этого излучения, поглощенную (») 4х в единипу времени в единице объема с гранью, равной единице, т.
е. на единице длины. Если (»о»л) положить К„дй = 1„и — — — = к„, то — 17(~~а)дй = — —, а„= — — — = ск», т. е. мы 1„дх "' 4х " дх 1, дх приходим к (5.67). Закан Кнрхгофа (5.62) для объемных величин можно представить в несколько иной форме, если ввести вместо поглошательной способности а„коэффициент поглощения к„н вместо объемной плотности р, интенсивность К„(штрихи мы везде опускаем). Умножая (5.62) справа )11 представляет коэффициент поглощения. Он равен относительному уменьшению — —" 1 потока излучения на единице длины, т.е. доле энергии, которая поглощается в единицу времени в единице объема (см.
рис.5.3; мы имеем кубик с гранью, равной единице, и ребром, также равным единице). Иначе говоря, коэффициент поглощения дает отношение энергии, поглощаемой в единицу времени в единице д1„ъ( объема н равной — — ), к потоку излучения 1„через единичную площадку д*) (к плотности потока излучения). Отношение этой энергии к плотности излучения будет равно, согласно (5.63) и (5.65), Глава 5. Интенсивности в спектрах (38 с и слева на —, пояучим 4в — 11 ! в) ва -— — — Р, =-К,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
