1626435914-6d29faf22cc9ba3862ba4ac645c31438 (844347), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Для переходов между невырожденными уровнями (д, = дь = 1) Вм = В,а, что представляет частный случай общего соотношения между вероятностями прямою и обратного элементарных процессов при переходах между двумя квантовыми состояниями, согласно которому эти вероятности равны друг другу. Между коэффициентами Эйнштейна Ац и В,а существует весьма важное соотношение 8кйи дь Аи,. = — Вьн (4.8) с' д; Оно позволяет вычислить вероятность спонтанного испускания, если известна вероятность поглощения", и наоборот.
Соотношение (4.8) было впервые устаноплено Эйнштейном (182) и может быть строго обосновано методами квантовой электродинамики [140). й 4.2. Время жизни возбужденных состояний С вероятностями переходов связана одна из важнейших характеристик возбужденных состояний — их время жизни, определяющее, в частности, длительность послесвечения после прекращения возбуждения (см. с. 23). Время жизни непосредственно зависит ат вероятностей спонтанного испускания А,а. Эту зависимость легко получить, исходя из соотношения (4.1). 31 Термин «вынужденное» не применяют, говоря о поглощении, лишь потому, что оно всегда является вниужленным. 41 Отнесенная к спинное плотности р(п) излучения. При этом плотность излучения рассчитывается яа свинину интервала частот, см.
с. 134. Глава 4. Вероятности переходов и правила отбора 86 — (АМ!)» .= Х, й = АмМ й, (4.9) где М, — заселенность уровня Е, в момент й Отметим, что, согласно (4.9), 1 (НМ!)» М, й (4.10) т.е. вероятность спонтанного перехода равна относительной убыли числа возбужденных частиц в единицу времени за счет этого же перехода.
Рассматривая состояние возбужденной частицы как стационарное, т.е. не изменяюшееся с течением времени, вплоть до момента испускания фотона, мы вводим вероятность спонтанного испускания, определяюшуюся свойствами этого состояния, как величину, не зависяшую от времени. В любой заданный момент времени вероятность испускания возбужденной частицей фотона одна и та же, независимо от того, когда эта частица была возбуждена.
Уменьшение заселенности М, уровня Е! будет происходить независимо за счет каждого возможного перехода, и полная ее убыль — АМ! за счет всех возможных спонтанных переходов с данного верхнего уровня Е! на различные нижние уровни Е» будет равна — ИМ! = — ~~ (дМ,)» = ~ А!»М;й = (~~ Аг»)М»й. (4.11) Вводя полную вероятность спонтанных переходов с уровня Е; на все уровни Е„, равную сумме вероятностей Ам отдельных переходов, 1 дМг А! =~5 Ам = — — —, М; й' (4.12) мы получим уравнение — дМ; = А,М;й, (4.13) решение которого дает закон убывания числа возбужденных частиц со временем": -А,! М! = М50е (4.14) Таким образом, заселенность уровня Е! убывает со временем по показательному закону.
Различные частицы сушествуют в возбужденном состоянии различное время. Можно определить время жизни возбужденного состояния как среднюю продаллеитедьность нахождения частицы в возбужденном состоянии. Время жизни выражается 5! Закон 14.!4) выводится злементарным образом, Уравнение 14.53) можно переписать в виле — = Агт, дг, — А,ег, и его интегрирование лает !и ДГ, = — А,! + С, гле С вЂ” постоянная интегрирования, которая дг, определяется из условия, что Гт', = Фгг при ! = О.
Чы пояучаем С = !иДГс и 5п — = — А,г, что рйе и приводит к 14.54). Рассмотрим убыль числа М; возбужденных частиц со временем вследствие потери ими энергии при спонтанном испускании фотонов, считая, что в начальный момент времени 1 = 0 заселенность уровня энергии Е! равнялась Мто и что в дальнейшем возбуждение не производится. В силу (4.!) убыль — (АМ,)» числа М, за счет спонтанных переходов Е, — Е» будет равна за время от 1 до 1+ й: $4,2, Время жизни возбужденных состояний 87 через А; простой формулой Формула (4.!5) может быть выведена следующим образом, Продолжительность существования а возбужденном состоянии частиц, испустивших фотоны эа время от С до С 4 иС, можно считать равной С.
Число этик частиц равно, согласно (4.13) и (4.14), — <ССУ = А<!У АС = А Суее "Рйт, (4.16) а их доля, по отношению к начальному числу возбу;кденных атомов СУе, составляет -А,< — — = Ае '4С. и<<о (4.!7) Срелнюю продолжительность жизни мы получим, умножая С на (4.! 7) и интегрируя по всем возможным значениям С от 0 до со: -А 1 Г т = С = / СА,е ~'<СС = — / А,Се "' <С(А<С). А; / о а (4.18) Учитывая, что ) А,Се "ай(А,С) = / ле *<Се = 1 (е = А,С), мы получаем (4.15).
е е Отметим, что под знаком интеграла (4.18) стоит произведение продолжительности С существования частицы в возбужденном состоянии на вероятность (4.17) этого значения С. Таким образом, т представляет среднее, образованное с помощью вероятности — среднее 419, вероятное, или математическое ожидание. Отметим также, что в (4.17) берется доля —— п<о возбужденных частиц, испустивших фотоны, по отношению к числу возбужденных частиц а начальный момент времени Се, тогда как при определении вероятности спонтанного испусАСУ< канна с помощью формулы (4.12) берется доля — — возбужденных частиц, испустивших 1У< фотоны, по отношению к числу возбужденных частиц в рассматриваемый момеит времени С.
1 дФ, Прн отнесении этих долей к единице времени первая доля равна — — — ' = А,е и убывает Ру,в йС ! 41У, со временем, а вторая доля равна — — — = А; и постоянна. 1У, <СС Из (4.!5) следует, что 1 А;=~~у А;ь= —. (4.19) ь т, Так как т, — средняя продолжительность существования частицы в возбужденном ! состоянии, т.е. среднее время, спустя которое частица испустит фотон, то А; =— т, есть среднее число фотонов, испускаемых частицей за единицу времени, если ее 18 1 >Оно больше времени псяураспапа г П аозбуждсппог<> состоянии (схр( — Л,г<С>) = — ~ е — = 2! 1п2 1,443 раза. 1 1 А 2;Аь' ь т.е.
является величиной, обратной полной вероятности (4.12) спонтанного испускания. Согласно (4.14), это есть то время, за которое число возбужденных частиц У. ! ! а1 убывает в е раз (при С = т имеем — = — = — = О,Зб8) 1!<>о е 2,718 Глава 4. Вероятности переходов и правила отбора 88 где С,= —— 1 бдгг !Уг б! (4.2! ) — вероятность безызлучательных переходов, то полная убыль -Ыдгг числа йГ, будет определяться уравнением — йХ< = Агзч|бг+ СгЛ;б! = (А; + Сг)Хгб1, (4.22) откуда получается закон изменения Агб — (А,ьс,!г (4.23) Этому закону соответствует время жизни 1 1 А; т; т; А.+С А Аг+С, !+ ~' 59 (4.24) С, меньшее, чем время жизни т;, в Тг = 1+ — раз; таким образом, при наличии А, безызлучательных переходов сокращается длительность сущестнования возбужден- ных состояний, что будет проявляться н уменьшении длительности послесвечения.
Наряду с уменьшением времени жизни происходит и уменьшение числа испускае- мых фотонов, следовательно, происходит уменьшение интенсинности испускания— его тушение. Число испускаемых фотонов уменьшается также в Т, раз и равно А, 1 Аг,ь =- -Аггь = — Жь. А,+С, Гг (4.25) каждый раз возбуждать вновь сразу после момента испускания фотона. При малых значениях т, это может быть очень большим числом. Обычно времена жизни электронных состояний атомов и молекул с энергиями возбуждения порядка нескольких электронвольт (испускание в видимой и близкой ультрафиолетовой области) имеют порядок 10 ' с, что дает Аг = 10' с '.
Необходимо подчеркнуть, что время жизни в общем случае определяет, согласно (4.!9), полную вероятность спонтанных переходов с данного верхнего уровня на все нижние и является характеристикой это~о уровня, а не отдельного перехода. Только в частном случае, когда возможен лишь один спонтанный переход (например, с самого нижнего нозбужденного уровня Ез возможен спонтанный переход только на основной уровень Е~), время жизни есть неличина, обратная вероятности отдельного перехода, и может служить его характеристикой. Особым является случай, когда вероятности всех спонтанных переходов с ланного возбужденного уровня равны нулю или очень малы (запрещенные переходы, см. с.!!4).
Атомная система при отсутствии внешних воздействий может находиться на таком иетастабильном уровне — в метагтабшгьиом состоянии — неограниченно или весьма долгое время (т = со или очень велико). Метастабильные состояния играют в ряде случаев важную роль, создавая возможность накопления энергии возбуждения (см.
пример атома ртути, с. 288). Выше мы рассматринали убыль числа возбужденных частиц только за счет спонтанных переходов. Однако в реальных условиях возбужденные частицы могут терять энергию возбуждения также за счет безызлучательных переходов, в частности частицы газа могут отдавать ее при столкновениях. Если убыль числа АГ; за счет безызлучательных переходов положить равной — ййг, = С,дг,бг, 8 4.3. Дипальпое излучение Действительно, при отсутствии тушения испустят фотоны — «высветятся» — осе возбужденные частицы, а црн его наличии «высветятся» число частиц, равное лги=у! А,2у,до= А1лго / е ~~ л до= лго= —, А,+С; у,' о о что дает (4.25). Если ввести для случая оптического возбуждения (см.
с. 23) уровня Е, понятие о квантовом выходе испускания, как об отношении числа испущенных фотонов Лгоо к числу поглощенных фотонов (которому равно число возбужденных атомов 2Уго), то Л~'о Аг йГго А;+С; (4.26) Ол 5 4.3. Дипольное излучение Вероятности спонтанного испускания и поглощения, связанные между собой соотношением (4.8), могут быть выражены через величину, характеризующую переход и определяющуюся свойствами комбинирующих уровней рассматриваемой атомной системы. Такой величиной является электрический или магиитпый момент перехода — величина, соответствукицая, с классической точки зрения, амплитуде изменения электрического или магнитного момента системы.
Как известно, согласно классической электродинамике, непускание и поглощение связаны с изменением этих моментов во времени. В зависимости от типа изменяющегося момента получаются различные типы испускаемого и поглощаемого излучения, деление на которые ;охраняется и в квантовой теории. Здесь мы рассмотрим важнейший тип излучения — дипальнас излучение (электрическое), связанное с изменением дипольного момента системы.
Мы будем исходить из результатов классической теории излучения и перейдем от них, на основе принципа соответствия между классической и квантовой ~сарней, к вероятностям кван~оных переходов. Согласно классической электродинамике, свободная система электрических зарядов, движущихся с ускорением, непрерывно теряет энергию в виде излучения. В простейшем случае колеблющегося заряда потеря энергии в единицу времени пропорциональна квадрату его ускорения. Разберем этот случай подробнее. Пусть заряд хе (е — абсолютная величина заряда) совершает линейные гармонические колебания с амплитудой а и круговой частотой ш = 2яи вокруг положения равновесия го (рис.
4.!): а = асов(ш!+ !о), (4. 27) где !о — начальная фаза. Соответствующий дипальный момент равен Р = ~ег! = шеа соз (шГ + у) = Ро соз (ш»+ !о). (4.28) т.е. квантовый выход уменьшается при тушении в соответствии с уменьшением длительности. Отметим, что для метастабильных состояний (А; = О или очень мало) время жизни (4.24) будет определяться вероятностью безызлучательных переходов, а квантовый выход (4.26) будет равен нулю или очень мал (при А, — О и )7; — О; в предельном случае А; = О и будет отсутствовать и поглощение, т. е.
оптическое возбуждение вообще невозможно). Глава 4. Вероятности переходов и правила отбора 90 Энергия излучения осниллятора — полная энергия излучения„испускаемого при гармоническом колебании заряда во всех направлениях в единицу времени, — определяется известной формулой классической теории излучения: 2 дгР 2ег дгд И" =— (4.29) Зсг д!г Зсз д12 Отметим, что излучение заряда при дипольном моменте (4.28) совпалает с излучением диполя — нейтральной системы, состоящей из зарядов яе и — е на расстоянии г, — при условии, что изменение г происходит по закону (4.27). Считая для простоты, что колеблется один из зарядов (рис.4.1), мы имеем для диполя полный момент Р„= ег = ега я ед, отличающийся от момента Р = яей лишь постоянным членом его ета, а изменения дгР дгР обоих моментов совпадают: — = —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
