1626435914-6d29faf22cc9ba3862ba4ac645c31438 (844347), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Произведение а на Ь ыы записываем как Ьа. Такой порядок применяется потому, что прнхолнтся рассматрн вать действие элементов на другие величины, в нашем случае — действие операцнн симметрии на волновые функции. агу означает результат применения операции а к волновой функции г)г, а Ь(агу) = Ьагу — результат послелуюшего применения операции Ь. 2. Совокупность содержит единичный элемент е, для которого (3 3) ае = еа = а, где а — любой элемент совокупности. Ч По лелриводпмым «гегсмввеелпен данной группы; сн.
Ь З.З н особенно Ь ЗЛ. й Длл бесконечных систем, например, нсогрлннченного кристалла, предсглеллюшенг просгрансглснлую решетку, к этим операннлм добавляется плрлллельный перенос нл рлссголннл, кратные постоянной Лешегкн. 68 Глава 3. Симметрия атомных систем и их уровней энергии Для операций симметрии таким элементом является тоэкдественноя операция, когда система остается неизменной, например в случае поворотов вокруг оси— поворот С1 иа угол, равный нулю, а в случае перестановок — отсутствие перестановки каких-либо одинаковых частиц. Очевидно, что для тождественной операции всегда удовлетворяется условие типа (3.3). 3.
Совокупность содерэкит наряду с элементом а и обратный элемент а ', для которого а.а =а' а=е. -1 (3.4) Для любой операции симметрии существует и обратная операция; например, операцией, обратной повороту С„иа угол ьэ, является поворот С иа угол — ух Операции отражения в плоскости и в центре, а также перестановка двух одинаковых частиц обладают тем свойством, что повторение данной операции дает тождественную операцию, т. е. э а.а=а =е, (3.5) или (3.6) а =а. Таким образом, если квадрат элемента группы равен единичному элементу, то обратиый элемент совпадает с данным элементом.
Операцией, обратной отражению в плоскости, является это же отражение; операцией, обратной перестановке двух элементов, является эта же перестановка и т.д. 4. Выполняется ток называемый ассоциативный закон (3.7) с(Ьа) = (сЬ)а, т.е. безразлично, умножить ли сначала а иа Ь и затем Ьа иа с, или умножить а сразу иа произведение сЬ. Это условие всегда соблюдается для любой комбинации послеловательиых операций симметрии. В силу (3.7) произведение трех элементов группы можно записывать просто в виде сЬа. С помощью перечисленных условий очень легко определить, представляет ли рассматриваемая оовокупиость элементов группу.
Следует подчеркнуть, что для того, чтобы совокупность операций симметрии образовала группу, в иее обязательно нужно включать, согласно условиям 2 и 3, тождественную и обратную операции. Например, в простейшем случае наличия одной плоскости симметрии, когда имеется лишь единственная операция симметрии, отличная от тождественной,— отражение о в плоскости, — необходимо, чтобы получить группу, включить и тождествеииую операцию е. Что касается обратной операции, то в данном случае оиа совпадает с операцией отражения.
Всего группа отражения в плоскости содержит, таким образом, две операции — е и о. Все группы разделяются иа конечные и бесконечные, по числу элементов, которые оии содержат. Число элемеитов в группе называют ее порядком. Группа, состоящая из конечного числа элемеитов, представляет группу конечного порядка; группа, состоящая из бесконечного числа элементов, — группу бесконечного порядка. Простейшим примером групп конечного порядка являются группы отражения в центре, отражения в плоскости, перестановки двух одинаковых частиц — все эти группы состоят из двух операций, и следовательно, их порядок т = 2. Примером группы п-го порядка является группа поворотов вокруг оси п-го 2к порядка С„, т.
е. такой оси, при повороте вокруг которой иа угол — система п 5 3.2. Основные понятия теории групп и важнейшие группы 69 переходит сама в себя. Подобной осью обладают молекулы циклических углеводородов, в которых атомы углерода образуют правильный многоугольник (рис. 3.2)~г. Операциями, образующими группу поворотов вокруг оси п-го 2и и порядка С„, являются операция поворота С„на угол— и операции поворота на углы, кратные этому основному углу. Общее число операций, включая поворот на угол 2я и — = 2я, т.
е. поворот на угол нуль — тождественную операцию, — действительно равно и. Мы имеем операции а б Рис. 3.2. Симметрия молекул циклических углеводородов: а — цмклапропан С,Н», б — циклабутан С4Нт, а — циклопентан С,Ню, г — беизол СьН» (3.8) тле через С„" обозначена тождественная операция. При этом операцией, обратной повороту Са, является поворот С„" . Таким образом, совокупность поворотов (3.8) содержит как тождественную операцию, так и все обратные операции. Например, в случае оси шестого порядка (оси С») мы имеем повороты: С» — поворот на 60, С» — поворот на 120', з С» — поворот на 180', з С» — поворот на 240, т.
е. на -120', С» — поворот на 300, т. е. на -60', 5 С» — поворот на 360', т. е. на 0'. » Эти шесть поворотов и образуют группу поворотов вокруг оси шестого порядка. Порядок группы совпадает с порядком оси. Предельный случай конечной группы поворотов вокруг оси С„ц-го порядка представляет бесконечная группа поворотов вокруг оси бесконечного порядка— группа вращений вокруг оси (группа С ).
Для этой группы возможны повороты на любой угол»т, что и имеет место при наличии аксиальной симметрии, рассмотренной в предыдущем параграфе. Группа вращений вокруг оси является не только бесконечной, но и непрерывной, т.е. ее элементы зависят непрерывным образом от некоторого параметра, в данном случае от угла ут, принимающего любые значения от 0 до 2я. Важным понятием является подгруппа. Подгруппой называется часть элементов группы, образующая также группу, т.
е. удовлетворяющая групповым условиям. Например, подгруппами группы поворотов вокруг оси шестого порядка являются группа поворотов вокруг оси третьего порядка, состоящая из трех операций: Сз = С», Сз~ = С» и Сзз = Сг» = Сы т. е. поворотов на углы 120', 240' и 360' = 0', и группа поворотов вокруг оси второго порядка, состоящая всего из двух операций; Ст = С 3 И Необходимо отметить, чта правильный многоугольник переходит сам в себя не талька при поворотах вокруг осн и-го порядка, но и при других операциях симметрии, т. е.
облакает более высокой симметрией. Полрабнее об этом см. гл. ЦЬ Л Эту операцию поворота принято обозначать, так же как и ась симметрии, символом Сю Тем же символом обозначают и саму группу поворотов. 70 Глава 3. Симметрия атомных систем и их уровней энергии и С?2 = Саа = С,, т.е. поворотов на углы 180' и 360' = 0'. Для конечных групп порядок подгруппы всегда является, как можно показать, делителем порядка группы. Подгруппа соответствует более низкой симметрии, чем группа, частью которой она является. Основной характеристикой группы является закон, по которому произведение двух элементов группы дает третий элемент, — закон сочетания элементов группы (групповой закон).
Группы, все элементы которых получаются умножением исходного элемента на самого себя, как в случае группы поворотов вокруг оси (см. (3.8)), называются циклическими. Простейший пример нециклической группы представляет группа поворотов вокру~ трех взаимно перпендикулярных осей на 180' (Р?). Ее элементами являются повороты С,, С?У, С, вокруг осей х, у, д и тождественная операция С?.
Очевидно, (С(*))2 (С(И)? (С( ))? (3.9) Произведение двух разных операций дает третью: С(а) СЬИС(а) С(а) С(8)С(у) С(И С(*)С(И ? 2 ? 1 2 2 2 2 2 2 (3.10) В этом легко убедиться, если рассмотреть преобразование трех векторов 1, 2, 3, направленных по осям х, у, а (рис. 3.3). Например, при повороте С?* вокруг оси к меняют направление на обратное г г векторы 2 и 3, при послелуюшем С? 3 повороте С? вокруг оси у — век- (И торы 1 и 3; в результате изменяют 2 У 2 У свое направление векторы 1 и 2, 1 (И 3 т.е. получается поворот С, и х б х В обшем случае результат перво.3.3. Преобразование трех взаимно ремножения двух элементов а и Ь перпендикулярных векторов: зависит от их порядка, т.е.
Ьа Ф а — первоначальная ориентация; аЬ. Однако в рассмотренных приб — действие поворота С, мерах группы поворотов вокру~ в — последующее действие поворота С, ц) оси любого порядка и группы поворотов вокруг трех взаимно перпендикулярных осей на !80 результат двух последовательных операций поворота не зависит от порядка их применения. Такие группы, для всех элементов которых выполняется условие (3. 11) Ьа = аЬ (условие коммутативности), называют абелевыми (в честь норвежского математика Абеля), или коммутативными.
Группы, для которых условие (3.1!) не выполняется, называют неабелевыми, или некоммутативными. Простейшим примером неабелевой группы является группа, получаюшаяся из группы поворотов вокруг оси С„(порядка и > 2), если присоединить к этой оси и плоскостей симметрии о„, проходящих через нее".