1626435914-6d29faf22cc9ba3862ba4ac645c31438 (844347), страница 15
Текст из файла (страница 15)
(2. 26) Из формулы (2.24) сразу видно, что если складываются два момента, характеризующиеся оба целыми или оба полуцелыми квантовыми числами Х~ и .Уг, то получается момент, для которого квантовое число У делов. Если У~ целое, а Хг полуцелое или наоборот, то получается момент, для которого квантовое число .7 нолуцелое. Если производится сложение более чем двух моментов, что может быть легко выполнено многократным применением формул (2.21)-(2.24), то при четном числе моментов с полуцелыми квантовыми числами получается полный момент с целыми Т, а при нечетном числе таких моментов — полный момент с полуцелыми 7.
В частности, при сложении спиновых моментов двух или четырех электронов (вообще — четного числа электронов) полный момент получается целым, при сложении спиновых моментов трех или пяти электронов (вообще — нечетного числа электронов) полный момент получается полуцелым. Важное значение имеет вопрос о числе независимых состояний, соответствующих исходным значениям Х~ и Уг и получающимся значениям У. Заданному значению 7~ момента .Т ~ соответствует 27~ + 1 состояний, отличающихся значениями (2.27) пгд = га) =.Ун,У~ — 1, ..., —.У! проекции Ум этого момента. Аналогично, заданному значению Уг момента Тг соответствует 2,Уг + 1 состояний, отличающихся значениями (2.28) гп.7г гпг — Уг~ Уг ! ° ° ° Уг проекции .Уг,.
Общее число различных состояний, соответствующих различным парам значений т,, тг, будет равно (2.29) (2,7~ + 1)(2.Уг + 1). Значению,7 полного момента .7 = .7~ + .7, будет соответствовать 2,7 + 1 состояний, отличающихся значениями (2.30) гпг = гп =,7,,7 — 1, ..., — У проекции,7,. Согласно формуле (2.24), получаем при Х =,У~ + Уг 2(7~ +.7г) + 1 состояний, при,У =.71 + Уг — 1 2(,71 +.Уг — 1) + 1 состояний, (2.31) при .? = !.Т, — Хг! 21о~ —.Тг!+1 состояний. Глава 2. Основные характеристики уровней энергии 52 Полное число состояний системы, т.
е. сумма чисел (2.31), равно (231+! )(2Уз+1), что совпадает с (2.29), и, таким образом, не меняется при переходе от системы, состоящей из двух независимых частей, характеризуемых заданными квантовыми числами У, и Уы к единой системе, характеризуемой квантовым числом У, меняющимся от .7! + .Уз до ! У~ — 72~. Величины 23~ + 1 и 2,7т + 1 определяют степени вырождения уровней энергии Ел и Еф частей системы. При образовании полной системы, если не учитывать взаимодействия ее частей, она будет обладать энергией Е=Ег, +Еды (2.32) не зависящей от квантового числа .У, и степень вырождения будет равна, согласно (2.29), (2У~ -> 1)(2.7з + !). Если учитывать взаимодействие частей системы, то каждому значению У будет соответствовать своя энергия Ем т. е. уровень энергии (2 32) расщепится на 27з+ 1 (при,7~ >,Уз) или на 2 У~+! (при .У~ < .Уз) отдельных уровней.
Степени вырождения этих уровней будут определяться числами (2.3!). Например, при 71 — — 2 и Уз —— 3/з мы имеем (2 2+1)(з/з 2+1) = 5 4 = 20 состояний. Полный момент характеризуется значениями У = '/ь з/н '/и '/з (см. рис.2.2,6), которым соответствует 2,7 + 1 = 8, 6, 4, 2 состояний„т. е. тоже 20 состояний. В силу взаимодействия 20-кратно вырожденный уровень расщепится на 4 уровня с кратностями вырождения от 8 до 2. Следует иметь а виду, что характеристика отдельных частей системы при помощи квантовых чисел является точной только при исчезающе малом взаимодействии этих частей.
Олнако прн слабом взаимодействии подобная характеристика будег иметь место с хорошей степенью приближения; при этом объединение двух частей в единую систему является реальным, а не носит чисто формальный характер, только при наличии взаимодействия межлу ними, и именно подобный случай представляет физический интерес. Прн сильном взаимодействии характеристика отдельных частей системы при помощи квантовых чисел уже теряет смысл, но даже и в этом случае рассмотрение системы как образованной нз двух частей, характеризуемых определенными квантовыми числами, может применяться для определения свойств полной системы, подсчета числа возможных уровней и их степеней вырождения. С точки зрения квантовомеханического описания частей системы и системы в целом квантовому закону сложения моментов соответствует переход от исходных волновых функций к их линейным комбинациям, относящимся к тому же значению проекции У, = У„ф Уп полнога момента.у = 7~+ 7ь Невзаимодействуюшие части системы характеризуются волновыми функциями рп (ш~ = У~ У~ — 1 У~) и убпм (ш~ = йн Уз — 1,, —.7Д, яачяюшимися собственными функциями операторов Хп и Уп, А~ Рпш ш!РЛ ~~ 'Упй6 2 шзт'П и (2.33) Можно составить (23~ -1- 1)(27г ч- 1) функций Рп, Пгь = Фз„„,йзу.„ (2.34) каждая из которых соответствует тому, что части системы находятся в определенных состояниях с квантовыми числами ун т~ и Уп шь Функция (2.34) является собственной функцией оператора Х = Хп ф Хп, огносяшейся к собственному значению (2.35) ш! 1ш7 Действительно, с учетом (2.33) мы имеем УАзп..э...
= (У *+ Уь) Рл, Рз = Р б «,~ АЛ, + РЛ,У .РП, = (2.36) = (ш, ф т,)рл,п... =- (гп, ф тг)фл Таким образом, в состоянии (2.34) проекция пояного момента равна ш, Е шь Переходу к состояниям полной системы с квантовыми числами У, ш соответствует образование й 2.4. Сложение моментов количества движения с вполне определеннымп, отличными от нуля лишь при т, -«тг = гп коэффициентами С~~ „ которые могут быть найдены методами теории групп (см. с. 81).
Полное число функции (2.37) равно (27! -«1)(232 + 1). При наличии взаимодействия частей системы энергия будет зависеть от квантового числа У; функции 27» при этом булут правильными функциями нулевого приближения. Рассмотрение значений тг, тг и т проекций моментов позволяет получить набор возможных значений квантового числа У при заданных значениях квантовых чисел У! и,72 по методу сложения проекций, не применяя описанный в начале параграфа наглядный метод вентарнага сложения. Первый из них является менее наглядным и более громоздким, чем второй, однако он оказывается применимым для определения возможных значений У, когда последний метод непригоден (в случае, когда необходимо учитывать принцип Паули, см.
с. 255). По методу сложения проекций находятся, согласно формуле т = т, + тг, возможные значения т проекции Х, полного маме!па, Комбинируя всевозможными способами значения т! и тг, мы получаем набор (27! + 1)(2.Уг + 1) значений гц, приведенный в табл. 2.2. Для определенности положено У! >,72. Из таблицы видно, что полУчаетсЯ набоР значений т от У! +.72 До — (Х! +.72), затем набоР значений гп от У1+ 7г — 1 до — (71+ Уг — 1) и т.д., до набоРа значений т от.71 —.Уг до — (У! —.7г). Эти наборы мы сокращенно обозначим как,У! +.72, (.У, +,Уг — !), ..., (.7, —.72). Они соответствуют значениям полного механического момента, даваемым формулой (2.24). В таблице эти наборы отделены жирными линиями, Таблица 2.2 Сложение проекций двух моментов количества движения га! мг — »! Ь 2.!2 -», ьз», »! — 1 », я»2-1 — »1 »2»2 — 1 — »! ь з»г — ! — »! »! -»! Г! —.2! Г»2 Ч ! », « »г 22 —.21 -«»2 »! Ь »г — 1 »! .«22 — г -»! Ь З»2 — 1 — »! Ь З»г — 2 21 «12 —.1, 1.»,-1 — 12Ь!»! 22.!.! 21-»г -»! Ь»г «1 -», ч,гг — »! — »г «2 -», -»,-«1 -»! — »г «1 — »1 — »г -»! 1-»г -»,Ч,г,— ! »1»2 (»2 — »г) ( 21 22 ! 1) (», -1», — 1) и!боя (21 «22) Для частного случая сложения двух моментов, характеризуемых квантовыми числами 7! — — 3 и,72 = 2, мы получаем табл.2.3.
Применяя введенные обозначения, результат сложения моментов можно записать в виде (3) х (2) = (5, 4, 3, 2, 1). (2.38) Знак умножения здесь указывает на сочетание наборов (3) и (2). Отметим, что каждому значению пг в табл. 2.2 и 2.3 соответствуе г определенная волновая функция (2.34). Волновые функции (2.37) являются линейными комбинациями функций вива (2.34), соответствующих заданному значению т. Сразу видно, что максимальному значению т = У! + 32 соответствует одна волновая функция, значению т = У! + Хг — 1 — две волновые функции и т.д.
Наибольшее число волновых функций, равное 232 + 1, получается линейных комбинаций функций (2.34), относящихся к тому же значению гп1+ тг проекции полного момента С.';., рлрч(р„., (2.37) 1 1'"! '"2= ! Глава 2. Основные характеристики уровней энергии Таблица 2.3 Сложение проекций моментов количества движения при 2~ — 3 и,7» = 2 при )гп) ( 2~ — эз, 'в случае .7, = 3, .Ут —— 2 (табл. 2.3) оно равно 5 для значений )гп) ( 1, т. е.
для т = 1, О, — 1. ф 2.5. Магнитные моменты и их связь с механическими моментами р и» 7= М Ир, (2.39), а отношение квадратов моментов будет равно 2 )г ЛХз и (2.40) В векторном виде мы имеем (2.41) гл = 7)ухр~ откуда следуют (2.39) и (2.40) '". Ц1 Необходимо иметь в вилу, что нвправление полного магнитного момента и системы может и ве совпадать с направлением ее полного механического моменте Х (см.
с. 61). В этом случке в формуле (2.41) нужно заменить И нв его состлвллюшую вдоль нвпрввленин векторв ЗХр. Уровни энергии и соответствующие им состояния атомной системы характеризуются наряду со значениями механических моментов значениями магнитных моментов. Между магнитными и механическими моментами имеется непосредственная связь. С определенным механическим моментом связан и определенный магнитный.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
