1626435914-6d29faf22cc9ba3862ba4ac645c31438 (844347), страница 13
Текст из файла (страница 13)
с.55. Что клсллгсл значения Мрп "" слмого сппполого момента количества движения, хп опо вполне определенное и длл всех состояний одипако~юе (см. с. 48). л) Если учптыллгь собственный момент только эллхчюпл и пл принимать лп внимание собственною момептл (спппа) ядра (длл обычного, легкого лодорода спина протона), кетовому соответствует пятая степень свободы. 8 2.3. Квантование моментов количества двизкения и их проекций 45 $2.3. Квантование моментов количества движения и их проекций Исключительно большую роль в спектроскопии играет квантование моментов количества движения и их проекций.
Для свободной системы квантуется квадрат Мр вектора момента количества 2 движения Мр. Он принимает вполне определенные дискретные значения согласно закону квантования, к которому приводит квантовая механика: ЛХр — — Д,У(.7 + 1), (2.5) где й = — — постоянная Планка, деленная на 2я, а Я вЂ” квантовое число, Ь 2зг возможные значения которого равны последовательным целым и полуцелым числам: 1 3 5 ,7=0, — 1, —,2 2' '2' '2' (2.6) Для конкретных атомных систем значения Я являются либо целыми, либо полуцелыми в зависимости от числа частиц в системе и их свойств. Момент количества движения мы для краткости будем часто называть механи- ческим моментом". Подобная терминология особенно удобна в связи с тем, что наряду с моментами количества движения приходится рассматривать магнитные моменты (см.
В 2.5). Формула (2.5) опрелеляет величину квадрата вектора механического момента; следовательно, абсолютная величина этого вектора равна !м,! = уГ!м,!' = ъ,сз(~, ц, что при больших значениях г, значительно превосходящих единицу, дает (м ( д.г (г » !). (2.8) (2.2) и! ! В пропгвоположность теории Бора, в которой правила кван гования вводятся в качестве дополнительных условий, см.
с. 38. ' ! В настоящее время часто (особенно в книгах по квантовой механике, см., например, (!30! и ! !3 ! !) обозначают через Л и называют постоянной Планка величину, обозначенную в (2.5) через Д (Д перечеркнутое), и энергию фотона записывают в виле Ды, где ы — круговая частота колебаний (и = 2ии).
В спектроскопии, однако, принято энергию фотона писать в виде Лп, где и — обычная частота колебаний, т.с. величина, обратная периоду колебаний Т, и мы сохраняем обозначение Д и название «постоянная Планка» для постоянной, вхоллшей в основной закон (!.2) (Д = 6,625 !О з эрг с). В наших обозначениях !ь звсргия фотона Ьи = — 2я = йы. 2я Его называют также моментом импульса или угловым моментом.
значения, получается при решении квантовомеханической задачи автоматически, без введения дополнительных условий'". В результате квантования возможные значения ряда физических величин для конкретных атомных систем выражаются через квантовые числа — целые или полуцелые, образующие конечную или бесконечную последовательность.
Характеристика уровней энергии при помощи квантовых чисел — одна из основ систематики спектров атомов и молекул. Например, для атома водорода важнейшей характеристикой его уровней энергии является главное квантовое число и, определяющее по формуле (1.5) возможные дискретные значения энергии; каждая линия в спектре характеризуется заданием квантовых чисел ы! и пз комбинирующих уровней (см. (1.8) и рис. 1.2).
Глава 2. Основные характеристики уровней энергии 46 В дальнейшем мы будем широко пользоваться прелставлением о векторах момента количества движения как векторах величины йэ. Длина такого вектора ЬХр пропорциональна значению соответствующего квантового числа.
Одновременно с величиной механического момента каантуется его проекция Мр, по выбранному направлению, которое мы примем за ось з и будем называть вылеленным направлением. Для своболной системы это направление является произвольным. Оно может быть и выделенным физически, например в случае одноролного магнитного или электрического поля, однако при этом квантование величины самого механического момента не будет нарушаться только в случае исчезающе слабого поля. Закон квантования проекции механического момента имеет вид (2.9) Мр, — — йтэ, где тэ з магнитное квалшовое число, принимающее, при заданном .У, 2,У+ 1 аз! значении, от,У до —.У, отличающихся друг от друга на единицу, (2.10) гп,г= У, У вЂ” 1, ..., — У+1, — У. В зависимости от того, является ли У целым или полуцелым, тэ будет целым или полуцелым, а число 2,У+1 возможных значений тэ при заданном значении,У будет нечетным или четным.
Например, при У = 3 величина тэ принимает 7 значений: т, = 3, 2, 1, О, — 1, -2, -3, а при,У = з/з — б значений: тэ = з/и з/и '/и — з/з, — /з. Механические моменты и их проекции очень удобно измерять, в соответствии 1з с формулами (2.5) и (2.9), в единицах Уь = —. Вектор механического момента мы 2х будем обозначать при измерении в этих естественных единицах той же буквой, что и квантовое число, в ланном случае как У, а проекцию этого вектора — той же буквой с индексом з, в данном случае как .У, Тогда (2.5) и (2.9) запишутся в виде .У =У(.т+1) ~,т=о, —,1, —,... 2 / 1 3 '2' '2' (2.11) ,У, = тэ (тэ =,У, .У вЂ” 1, ..., —,7).
(2.12) Абсолютная величина механического момента, согласно (2.7), равна (2.13) что при больших.У лает !.У~ в У (,У >> 1). (2.14) Образно говоря, вектор У длиной,У ориентируется относительно выделенного направления 27+ 1 способами, давая проекции от У до — У, отличающиеся друг от друга на единицу (рис. 2Л). При этом максимальное возможное значение проекции равно У, т. е.
Ллине вектора, в то время как, согласно точной квантовомеханической формуле (2.14), максимальное возможное значение .У проекции меньше величины „/Х(7+ 1) и совпадает с ней лишь при .У вЂ” со. Однако при решении многих задач можно пользоваться наглядными представлениями и расслзатривать векторы 'И Названое «магнитное связано с ролью этого квапзоного числа прп квантовании энергии систем, пзхоппшпхон во внешнем магнитном поле.
О 2.3. Квантование люментов количества движения и их проекций 47 длиной .У, заменяя У на,7(.У+ 1) лишь в конечных формулах; результат при этом получается правильный. Возможность лишь вполне определенных ориентаций механических моментов— пространственное квантование — является одним из отличий квантовой механики от классической, играющим важную роль в спектроскопии. Весьма существенно, что для свободной системы, в силу произвольности выбора выделенного направления, энергия не должна зависеть от значения проекции механического момента, и поэтому для уровня энергии с заданным значением,У всегда имеет место вырождение кратностью 27+ 1.
Иначе говоря, статистический вес уровня с заданным значением,У равен /=в 1 2 3 2 у= У=— 5 2 2=2 у=— 7 2 2=3 аг = 2.У+ 1. (2.!5) Следует отметить, что от величины механического момента, определяемой значением квантового числа 7, энергия, вообще говоря, зависит. Рис.2.1.
Проекция момента количества движения В основных формулах (2.11) и (2.12) содержатся правила квантования любых типов моментов количества движения как отдельных элементарных частиц, так и состоящих из них систем. При изучении состояний атомных систем нам будут встречаться следующие основные типы моментов количества движения. 1. Момент количества движения ЗХр — — М электрона в атоме относительно (спб) ядра — орбитальный механический момент электрона.
2. Собственный момент количества движения ЛХр —— лв электрона — спи(спнн) новый механический момент электрона. 3. Собственныи момент количества движения 2!Хр — — Д.У ядра — спиновый (ии) механический момент ядра. 4. Вращательный момент количества движения Мр"'и' — — лле молекулы— вращательный механический момент молекулы. В табл. 2.! приведена сводка формул для квантования механических моментов. Важно подчеркнуть, что общая квантовомеханическая теория моментов количества движения приводит к любым целым и лалуцелым значениям квантового числа 7 и что для конкретных типов моментов оказываются возможными не все значения этого числа.
Для моментов, связанных, согласно наглядным представлениям, с вращательным движением частиц по некоторым траекториям (орбитальный Исключением являются уровни энергии атома водорода: в формулу (!.5) не входят квантовые числа, опрелеляющие значения механических моментов. Для орбитально(ппб) го момента Мр зто связано с кулоновским характером поля, а лля полного момента Мр — — Мн + Мр' "" это имеет место лишь приближенно, если пренебречь магнитными (спп) ( и ) взаимодействиями. При учете магнитного взаимодействия орбитального и спинового моментов друг е другом (см.
бб.5) получается поправка к формуле (1.5), зависящая от значения полного механического момента атома. Глава 2. Основные характеристики уровней энергии 48 2)!блина 2.1 Квантование механических моментов н нх проекций Кььдрат ыеяьннческага ыаыенть Г!Раекння механического ыаыьнтя Тнн момента значения кяьнгаяых чисел закон квантования закан кяянтаяьння число значений значения квантовых чисел л)Г а(1+В 1 = О, )/2,1, 2/2,2,...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
