1626435914-6d29faf22cc9ba3862ba4ac645c31438 (844347), страница 14
Текст из файла (страница 14)
гя г =1,1-1,, ..,—.1 Момент аранэяальнай системы М =Лпг !2 1(1+ 1) 1=0,1,2, 2! 2-1 1, =и) ш) =0,1 — 1,...,— ! Орбитальный момент электрона м =л! г я = в(н -1- 1) /2 /2, /2 Снянаьый момент электрона !спнн) р — — я 12 = 1(1 + 1) 1=0 1= 2/2 1= 1 1= 3/2 1, =-ш) шг =- О Яь! = )/2, — )/2 ш) =- 1,0,— 1 гя) = 3/2 2/2 |/2 3/2 Саннаяый ыаыенг ядра 22~ = Я(Н е!) В=О,),2, Врашательный момент молекулы М! ) =Л22 ь Отметим, что величина механического момента электрона равна )г/я(д+ !) =- пт/2. Когда говорят об электроне как имеющем спин '/2, то подразумевают значение квантового числа я =- 2/2. Определенным значением ядерного сниноаого квантового числа 1 (спина ядра), целым или полуцелым, характеризуется и ядро Квантование проекций и число их возможных значений онределяется общими правилами. В частности, для электрона спиновое магнитное квантовое число (часто называемое просто спиновыл! квантовым числом) принимает два значения, щ ) Речь идет а ядре, нахадяшьмся ьа вполне адрадняьннам саатаянян, обычно ньваэбуядьннач Рьзныы состояниям дднна2а ядра ыагуг ааатьнтстяаьать рьзныа значанн» спина, однако всегда ньяып ндн всегда падуна22ые.
Подробнее а спине ядра ан. гя. 16. момент электрона 2, вращательный момент молекулы дк), возможны лишь целые значения соответствующих квантовых чисел. Азимутальное (или орбитальное) квантовое число ! и вращательное квантовое число /2 принимают последовательные целые значения, начиная от нуля. Для собственных (внугренних) моментов частиц — спиновых моментов, связанных с наглядной точки зрения с вращением самой частицы вокруг своей оси,— возможны как целые, так и полуцелые значения соответствующих квантовых чисел.
При этом каждая элементарная частица характеризуется вполне определенным значением, целым или нолуцелым, квантового числа, онределяющим величину собственного механического момента. Сниновое квантовое число для электрона (спин электрона) я = '/2 и является, таким образом, полуцелым. В 2.3. Квантование моментов количества движения и их проекций 49 2'Ф = а'Ф, ХФ = ьй (2.16) 2 2 для нахождения собственных значений о = — и Ь = — операторов У и 2,. Ь' Д 2 Применяя перестановочные соотношения лля операторов .Т и .7„2ю Х, (операторы проекций механического момента Х, Х„, Х не коммутируют друг с другом, но коммутируют 2 с оператором.у ), можно определить о' и Ь (см., например, [! 31)); ик значения получаются равными о = 2(7+!), где 2 = О, '/ь 1, '/и..., и Ь = шз, где шг = 2, У вЂ” 1, ..., -2, т. е, получаются основные формулы (2.11) и (2.12), в которых для квантовых чисел оказываются возможными как целые, так и полупелые значения.
-т В данном выводе не используется конкретный вид функции гР. Если операторы У и Х, Х„, Х непосредственно выразить через угловые координаты, характеризующие вра- щение, и потребовать, чтобы волновые функции являлись однозначными функциями этих координат, то при решении уравнений (2.16) получаются пелочисленные значения квантовых чисел 2 и шю Это имеет место для орбитального движения электрона и лля вращательного движения молекулы; для характеристики движения в первом случае можно ввести углы В и 1о а сферической системе координат, во втором — эйлеровы углы 1о, В, О. Для спиновых моментов количества движения такие координаты ввести нельзя; приходится вводить особые спиновые координаты, и квантовые числа не являются обязательно целыми. В соответствии с общими формулами (2.11) и (2.12) квантования механических моментов квантовые числа могут быть как целыми, так и полуцеогыми.
В последнем случае условия однозначности волновых функций не выполняются; эти функции являются двузначными. Легко вывести закон квантования проекции механического момента и одновременно показать, что полуцелым квантовым числам соответствуют двузначные волновые функции. Для этого достаточно решить второе уравнение (2.16). Оператор проекции механического момента по оси з (оператор бесконечно малого поворота вокруг оси з), как известно, имеет вид Дг д дх йд М,=йз,= — (х — — у — ) = — —, (2.17) ду дх г д!о' где й — угловая координата, характеризующая поворот вокруг оси з.
Мы получаем уравнение 1 д Хо(о ) = — — ф(у) = ьф(р). г дх Его решением является функция !Ь(уо) = 1Ьоегьо (где гуо не зависит от уо), из условия од- нозначности которой, гр(!о+ 2я) = гр(1о), следует, что е'и""1 = е'ге'"" = еио, так как ена = сов 2яЬ+ 1йп 2лЬ = 1. Отсюда Ь = ш, где ш — любое целое число, положительное яхя отрицательное. Мы получаем закон квантования (2.12) с целыми значениями магнитного квантовою числа гп = шм Ыз целочисленности оз следует и целочисленность |.
Полуцелые квантовые числа можно получить, если допустить, что функция оР(1е) дву- значна, уО(!о+ 2я) = — гр(1о), гр(1о+ 4я) = гр(1о). При этом ено = сох 2хЬ 4 г яп 2яЬ = — 1, Ь = ш, тле ш — любое полуцелое число, положительное нли отрицательное. Полуцелым значениям гп соответствуют н полуцелые значения 7. Окончательно мы имеем (2. 18) А,й(У) = /(1), (2.19) где гр(1о) = геое' ' (2.20) с полым ш прн однозначной функции ор(у) и с полуцелым ш при двузначной функции гр(1о). равные по абсолютной величине, но противоположные по знаку и соответствующие параллельной (ш, = !/2) и антипараллельной (ш, = — !/з) ориентациям спина (ср.
выше, с.42). Квантовомеханический вывод законов квантования механических моментов и их проекций сводится к нахождению собственных значений операторов квадрата механического мо- 2 з з мента и проекции этого момента. Согласно (2.4), мы имеем, полагая Мр — — Ы и Мр, — — Д.У„ уравнения Глава 2. Основные характеристики уровней энергии 50 52.4. Сложение моментов количества движения Лишь в самых простейших случаях лля характеристики состояния атомной системы достаточно задать значение одного момента количества движения.
Обычно можно характеризовать систему заданием значений ряда механических моментов отдельных частей системы, складываюшихся в полный механический момент системы в целом. Поэтому важное значение имеет закон сложения моментов количества движения. Квантовая механика приводит к очень простому и обшему закону сложения моментов. Он состоит в слелуюшем. Если две части системы характеризуются механическими моментами 7, и .7г, значения квадратов которых определяются квантовыми числами Х~ и Хг, то значение квадрата Х полного механического момента системы.7 г определяется квантовым числом .7, последовательные значения которого отличаются друг от друга на единицу и меняются от суммы Х1 + .7г до разности (Х~ — Хг!.
Таким образом, если ,7', — — Х~(Х~ + !) (2.21) О Хг = Хг( !г + !), где Х~ и,/г заданы, то '7 (Х! + '7г) — 7("г + !)1 (2.22) (2.23) где от Х~ + Хг до Х~ —,/г, а при Х1 < Хг дает 2 7, + ! значений !1)2 ~( от .71 + 7г = Хг + Х~ до Хг Х1 ° 3 2 ! К вантовый закон сложения моментов имеет весьма наглядный смысл. Складывая векторы длиной Х, и .7г, мы получаем, если они направлены 1)) в одну сторону, их сумму — вектор длиной Х~ +,7г, если они направлены в разные стороны, их раз- 5/2 3/2 ность — вектор длиной !Х~ — Хг~; если же они составляют некоторый угол, — то вектор промежуточной длины. Для нескольких конкретных случаев это показано на рис. 2.2. Отличие от обы цюго закона векторного сложения моментов количества движения, справедливого в классической механике, заключается в том, что значения полного момента квантуются и отличаются друг от друга на единицу.
Моменты, образно говоря, при векторном сложении могут составлять друг с другом не любые, злишь вполне определенные углы. Существенно, что моменты могут быть как парюглельными, так и антипараллельными. Если величина одного из слагаемых моментов, скажем,/г, равна '/г (рис. 2.2, г), то Х = Х~ + '/г, .71 — '/г, и получаются только две взаимные ориентации моментов Х~ и .7г — параллельная н антипараллельная. Если слагаемые моменты имеют одинаковую величину (рис.
2.2, а), то минимш1ьное значение Х равно нулю, т. е. при анти параллельной ориентации моментов они в сумме дают Ряс. 2.2. Сложение моментов количества движения: а — 2 -!- 2; б — 2-~- г/х е — 2-!-!; г — 2.г- '/г !1~ь '11~ р ~( Х = .7, + .7„ .7, + Х, — !, ...., !Х, — Хг!. (2.24) При,71 ) Хг это дает 2,7г + ! значений 8 2.4. Сложение моментов количества движения момент, равный нулю. В частном случае Х~ —— ,Уг — — '/г, имеющем место при сложении спиновых моментов двух электронов, У = 1, О, т. е. при параллельной ориентации получается момент, равный единице, а при антипараллельной — равный нулю.
Изменение длины полного вектора от суммы до разности получается, разумеется, лишь когда длины векторов считаются равными (или пропорциональными) квантовым числам. Согласно точным формулам (2.2!), (2.22), (2.23), эти длины соответственно равны гггхо, ого. оггго. и ври 7 = 7~ х Уг (7, Э Уг) ггггко ЛР о~~(»~~~(~» ч= (2.25) Только когда Ун 1г и Х много больше единицы (см. (2 !4)), соотношение (2 25) переходит в равенство. Лишь в случае 7, = Уг, 7 = 71 — Уг = 0 при любой величине 71 имеет место равенство '> = 'гй:йР:тй = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
