1626435914-6d29faf22cc9ba3862ba4ac645c31438 (844347), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Магнитные моменты и их проекции квантуются, причем квантование определяется квантованием соответствующих механических моментов и их проекций. Значения магнитных моментов и их проекций определяются теми же квантовыми числами, что и значения механических моментов и их проекций; квантовое число, определяюшее квантование проекций как механического, так и магнитного момента даже получило название магнитного квантового числа (см. с. 46). Однако при заданном механическом моменте величина магнитного момента для различных систем и для различных состояний рассматриваемой системы, вообше говоря, различна. Поэтому важнейшей характеристикой магнитного момента является отношение его величины к величине соответствующею механического момента, так называемое магнегиомеханаческое (гиромагнитнпе) ошношение.
Обозначим отношение магнитного момента р к механическому Мр через 7, В этом отношении находятся величины моментов и величиньз их проекций й 2.5. Магнитные моменты и их связь с механическими моментами 55 В соответствии с (2.5) и (2.9) сразу получается закон квантования квадрата магнитного момента )и =72БТр=7п.Т(.Т+1) .У=О, —, 1, —, ' 2' ' 2' (2.42) и закон квантования проекции магнитного момента р, = 7Мр, — — 7Тбтз (тз = .Т,,Т вЂ” 1, ..., —.У). (2.43) Согласно наглядным представлениям, магнитный момент, так же как и механический, может ориентироваться 2Т+ ! способом.
Если механический момент выражать в единицах Ь согласно формуле ЛХр — — й.Т (см. с. 46), то (2.41)-(2.43) примут вид: Р = 7ТБТ, /б =7 Т).Т = 7 Тб Т(Т+ 1), )б, = 7ТБХ, = 7Т)тз. (2.44) р) е 7) = М<'яб) 2т,с' (2.45) где тп, — масса электрона, и величина !б) ей е)б )бБ = — 7)Т) = — = 2т,с 4ят,с (2.46) представляет естественную единицу измерения электронных магнитных моментов, называемую магнетоном Бора. Значение магнетона Бора равно, согласно наиболее точным данным, )бб = (0,9273! ж 0,00002) 10 эрг/Гс. (2.47) Согласно (2.44) и (2.46), орбитальный магнитный момент Тб) 7)бб1 — )бБ1 (2.48) Знак минус связан с тем, что заряд электрона отрицателен (он равен — е, где е— абсолютная величина элементарного заряда); магнетомеханическое отношение отрицательно и направление магнитного момента 1б) противоположно направлению механического момента Е Отношение (2.45) получается элементарно из наглялных представлений о движении электрона в атоме по круговой орбите (рис.
2.3). При движении электрона со скоростью я по круговой орбите радиусом а его момент количества движения равен Мр — — ат,ш С другой стороны, магнитный момент равен ) че) прсизяелению тока ), создаваемого движением электрона, на площадь орбиты Я = ха~; если магнитный момент, как обычно, выражен в электромагнитных единицах, а ток— 1 б) ) Знхчеияе (2.45) относится к арбятяяьясму движению электрона спбосительно ядра бесконечной чяссы, ср с )бт. Входящий в эти выражения множитель 76 имеет размерность магнитного момента (эрг/Гс), и его величина определяет порядок величины магнитного момента и его проекции, поскольку Т и Т, имеют величину порядка единицы. Для электронных магнитных моментов, с одной стороны, и для ядерных и вращательных магнитных моментов, с другой стороны, 7Ь имеет различный порядок величины.
Для орбитального момента ЛХ„= Ы электрона Глава 2. Основные характеристики уровней энергии 56 1 ео , еоа )»! = — — — ла с 2аа 2с (2.49) Отсюда е — ачв) еб й =- — м,' 2ш,с " 2гп,с (2.51) между операторами магнитною и механического моментов и аналогичное соотношение межау операторами их проекций е -н ЕЬ Р7, = — — йун, — — — — (, = — рв1,, ('2.52) 2ш,с г' 2п»,с ' Учитывая законы квантования орбитальною механического момента (табл. 2.1, с. 48), мы, согласно (2.51) и (2.52), сразу находим и законы квантования орбитального магнитного мол!сита 7» »г рв 777 рБ((1 + 1)777 и (2.53) )»! 777 )»Б(*т7 иьш!777 Для спинового момента электрона ЛХр — — йа отношение (сннн) И. е 7» = — = 2у(, (сннн) »\яр » (2.54) т.
е. вдвое больше, чем для орбитального момента, и соответственно спиновый магнитный момент равен ей гл» = 7»йа = — — а = — 2Фва. панс (2.55) Отметим, что проекция спинового магнитного момента равна (см. табл. 2.1) (2.56) и по с наглядной точки зрения электрон обладает магнитным м. сито,, рави! (м по абсолютной величине одному магнетону Бора.
Различие в два раза значений 7, и 77, впервые установленное опытным путем ), обо- ! 7) сновывается релятивистской квантовой механикой. Из основного ее уравнения — уравнения Дирака — автоматически вытекает наличие у электрона спина как релятивистского эффекта, и для отношения 7„спинового магнитного момента к спиновому механическому моменту получается значение (2.54), ровно одное большее, чем для отношения Г! соответствующих орбитальных моментов. При учете взаимодействия электрона с электромагнитным полем, В частности, вытекаюшее из опыта Эйнштейна и ае Гааза, в котором одновременно измерялись !7! изменения магнитного и механического моментов намагниченного стержня прн его перемагничивании.
Рис. 2.3. Движение электрона по круговой орбите согласно наглядным представлениям 1 в электростатических, то )»! = — (Я. Ток ! равен произведению заряда с электрона — е на число оборотов электрона по орбите в единицу времени, —, следователыю, ' 2аа' е е и! = — ат,о = — )Гун(се), (2.50) 2ш,с ' 2ш,с что и дает отношение (2.45). Квантовая механика приводит к той же самой величине этого отношения. Мы имеем соотношение ! )(»» = 2)!Ба» = — 2)звгп» = ~2)зв — = ~ЙБ 2 Глава 2. Основные характеристики уровней энергии 58 С классической точки зрения магнитный момент в однородном магнитном поле лреиессирует вокруг направления поля — равномерно вращается, сохраняя постоянным угол наклона зУ по отношению к направлению поля (рис.
2.4). Угловая скорость ы подобного движения по классической теории равна произведению напряженности магнитного поля на магнетомеханическое отношение ы = — —.Н' = — ула. )з (2.59) м При положительном 7 угловая скорость прецессии направлена противоположно магнитному полю, при отрицательном ч (в частности, для электрона, см. (2.45) и (2.54)) — вдоль этого поля. Магнетомеханическое отношение 7 как определяющее угловую скорость вращения магнитного момента вокруг направления магнитного поля называют также гироиагнитным отношением ". Рис.2.4. Прецессия магнитного момента в однородном магнитном поле Формула (2.59) может быть выведена следующим образом [264!.
Согласно закону изменения момента количества движения, вм„ вЂ” "=Мг, 41 (2.60) где Мг — моменг силы. Для свободной системы Мг — — О и момент количества движения постоянен — имеет место закон сохранения ам Ма — сопз1, — = О. в'1 Сохраняется и соответствующий ему магнитный момент р. В магнитном поле Н на систему, обладающую магнитным г'=г моментом р, действует момент силы [рН[, следовательно, д —" =[рн! а1 (2.62) Выражая магнитный момент через механический по формуле (2.41), получим —" = [тм и!. у Введем паааилгные координатные оси, вращающиеся вокруг х' некоторого направления с угловой скоростью ы (рис. 2.5). Тогда согласно известной формуле преобразования вектора при переходе от неподвижных осей х, у, з к подвижным осям а', у', з' = з (см., например, [126!), (2.63) Рис.
2.5. Введение подвижных координатных осей ж +[м! (2.64) /ам„х где [ — ") — изменение вектора Мр относительно подан:кных осей. 41 >эраш Из (2.63) и (2.64) следует: < ам,'1 =[ум,н! — [ м„!. Вмш (2.65) и1 От греческого «гира» (т~ра) — вращение. й 2.6. Прецессии и взаимодействие магнитных моментов Это можно записать в виде — = 7м, н+ — =[7м„н ], (2.66) аналогичном (2.63), где ьз н =и+в (2.67) 7 — эффективное магнитное поле, действующее по отношению к подвижным осям, вращающимся с угловой скоростью ьз.
В отсутствие поля момент количества двюкения сохранялся относительно неподвижных осей, при наличии поля он будет сохраняться относительно подвижных осей''ч, для которых эффективное поле обращается в нуль, ы И =и+ — =0, 7 (2.68) т.е. относительно осей, вращающихся вокруг направления поля Н с угловой скоростью ьг = -7Н. Вместе с механическим моментом Мр будет сохранять свою величину и направление относительно вращающихся осей и магнитный момент 7з. Это означает, что атомная система вращается с угловой скоростью ьз = -7Н вокруг направления поля, Действие магнитного поля на атомную систему, обладающую магнитным моментом 7з, сводится, таким образом, к прецессии эгой системы вокруг направления магнитного поля, и мы прихолим к формуле (2.59).
Изложенный вывод является чисто классическим, олнако можно показать, что те же резулыаты получаются и при квантовомеханическом рассмотрении ]264], что делает законным применение наглядных представлений о прецессии магнитных моментов к атомным системам. Для орбитального момента электрона, согласно (2.59) и (2.45), угловая скорость прецессии равна еи вг = — 7гн = —, 2т,с' (2.69) Ю что дает для частоты прецессии ы = — величину 2я еи и= 4а тс (2.70) Формула (2.69) является частным случаем общей формулы (2.59). Образно говоря, происходит процессия орбитального магнитного момента и перпендикулярной этому магнитному моменту орбиты (рис. 2.6), при движении по которой электрон создает магнитный момент (см.
с. 55). Эту прецессию называют лорморовой, а частоту (2.70) — ларморовой частотой. Рис. 2.6. Препессия электронной орбиты Для движения электрона в магнитном поле можно сформулировать теорему Лармора (доказанную им в! 897 г. ]166]). Согласно этой теореме, действие магнитного поля на движение электрона по орбите сводится к прецессии орбиты вокруг направления поля с угловой скоростью (2.69). Этот результат, справедливый только для орбитальных моментов, может быть легко получен метолом, аналогичным использованному в выводе общей формулы (2.59).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
