1626435914-6d29faf22cc9ba3862ba4ac645c31438 (844347), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

8 3.1. Общая характеристика симметрии атомных систем 65 с обратимостью уравнений квантовой механики (ках и классической механики) по отношению к изменению знака времени на обратный ]206]. Со свойствами симметрии атомных систем непосредственно связано вырождение их уровней (см.

э 2.1). Как правило, вырожденные уровни получаются благодаря наличию у системы определенной симметрии. В отдельных случаях может иметься и вырождение, не связанное со свойствами симметрии и получающееся вследствие совпадения значений энергии для двух разных состояний, обусловленного частными свойствами этих состояний данной системы. Такое вырождение называют случайным, в отличие от вырождения, обусловленного симметрией: симметрия представляет свойство системы в целом, определяющее свойства всех ее отдельных состояний.

В частности, для электронных состояний сложных атомов могут иметься несколько разных последовательностей уровней, различающихся по своим свойствам, и случайно могут совпадать энергии двух уровней различных последовательностей (см. с. 298). Для колебаний многоатомных молекул возможны, например, случаи совпадения удвоенной частоты одного нормального колебания с частотой другого нормального колебания, что приводит к совпадению энергий двух колебательных уровней (см. с.

299). Каждое состояние системы, обладающей симметрией, можно отнести к определенному тину симметрии; возможны такие типы симметрии, для которых нескольким состояниям с необходимостью соответствует одно и то же значение энергии, т. е. имеет место вырождение. Если число подобных связанных друг с другом состояний, характерное для данного типа симметрии, равно д, то зто означает, что уровень энергии, которому они соответствуют, д-кратно вырожден. Все типы симметрии можно разделить на невырожденные (д = 1) и вырожденные (д > 1). Примером вырожденных типов симметрии могут служить уровни свободной системы, характеризующиеся определенным значением квантового числа д, т.е.

определенным значением величины механического момента. В силу наличия сферической симметрии 2Х+ 1 состояний с разными значениями магнитного квантового числа, определяющего величину проекции момента на произвольно выделенное направление, оказываются между собой связанными и относятся к вполне определенному типу симметрии, в данном случае д-кратно вырожденному, где д = 2У+ 1. Возможные типы симметрии для системы, обладающей сферической симметрией, различаются именно значением квантового числа Х, определяющего величину механического момента системы.

Квантование квадрата механического момента, вообще говоря, связано со сферической симметрией, а квантование его проекции — с аксиальной симметрией. При наличии сферической симметрии имеется и аксиальная симметрия относительно любой оси, проходящей через центр сферы: сферическая симметрия является более высокой, чем аксиальная, и включает ее; поэтому квантуется как квадрат механического момента, так и проекция этого момента. При наличии только аксиальной симметрии квантуется лишь проекция момента количества движения, а квантование квадрата момента количества движения может быть только приближенным. При аксиальной симметрии могут получаться лишь дважды вырожденные и не- вырожденные типы симметрии, т.

е. степень вырождения уровней энергии не может превышать двух. При переходе от более высокой, сферической, симметрии к более низкой, аксиальной, обязательно происходит расщепление всех уровней энергии, первоначальная степень вырождения которых была больше двух. Это и имеет место в случае однородного электрического поля, при включении которого вырожденные уровни энергии с заданным значением .7 > 1 (д = 22+ ! > 3) расщепляются на дважды вырожденные подуровни с определенными значениями ]тз] > '/з бб Глава 3.

Симметрия атомных систем и их уровней энергии и на невырожленный подуровень с тз = 0'. В случае однородною магнитного ») поля происходит полное расщепление всех вырожденных уровней, т. е. всех уровней со значениями х > )/2 (у > 2) на невырожленные подуровни. Отличие магнитного поля от электрического определяется тем, что наряду с аксиальной симметрией оба эти поля обладают различной дополнительной симметрией.

Электрическое поле обладает симметрией относительно отражения в любой плоскости а„параллельной полю (см. рис. 3.1, а): оно не изменяется при отражении в этой плоскости. Магнитное поле обладает симметрией отноа» сительно отражения в плоскости »гл, перпенликулярной полю: оно не изменяется при отражении в такой плоскости; последнее связано с тем, что магнитное поле характеризуется не направлением прямой в пространстве как электрическое поле, а направлением обхода контура в перпендикулярной плоскости (направлением замкнутого тока, а 6 создающего зго поле, рис. 3.1, б). Напряженность электрического поля представляет собой полярный Рис.3.1. Симметрия: а — электрического поля (С .); вектор, подобный направленному отрезку, и характеризуется абсолютной величиной и направлением б — магнитного поля (С Н в пространстве, а напряженность магнитного поля представляет собой аксаальний вектор, или псевдо- вектор, и характеризуется абсолютной величиной и направлением обхода некоторого контура, которому лишь сопоставляется (обычно по правилу правого винта, как на рис.

3.1, б) направленный отрезок ). 3) Свойства симметрии атомной системы определяются, во-первых, тем родом симметрии, которым обладает рассматриваемая система, и, во-вторых„теми типами симметрии, состояний системы, которые возможны для данного рода симметрии. В разобранном примере свободной системы мы имели вполне определенный род симметрии (сферическую симметрию) и для этого рода симметрии — различные типы симметрии, характеризующиеся значением квантового числа ) и различающиеся степенью вырождения уровней энергии.

Особенно простой род симметрии получается в случае системы, содержащей две одинаковые частицы. В этом случае мы имеем только одну операцию симметрии — перестановку одинаковых частиц, в результате которой система не изменяется, т. е переходит сама в себя. Для подобной системы, как можно показать (см. с. 74), получаются лишь два типа симметрии, при~ом оба невырожденные, — симметричный и антисимметричный.

Все состояния системы соответственно разделяются на симметричные и антисимметричные. Эти состояния различаются поведением описывающих их волновых функций»Р. Для первого типа симметрии волновые функции при перестановке олинаковых частиц не меняют знака, лля второго типа — меняют знак.

Наличие такой симметрии не приводит к вырождению уровней. Очень ж»жный вопрос о симметрии по отношению к перестановкам двух одинаковых частиц будет в дальнейшем разобран более полробно (см. 5 3.3). Аналогичное разделение всех состояний на состояния двух типов симметрии получается во всех случаях, когда имеется лишь одна возможная операция симметрии, в частности, когда система имеет центр симметрии, при отрюкении в котором она переходит сама в себя.

При такал» отражении волновые функции либо не меняют знака (четные состояния), либо 2) При полуцелом 3 — только на дважды вырожденные уровни. Прв з = »)» л = 2; расщепления в электрическом поле ве происходит (ср. с.409). ) Аксиальнмя вектор прело»алкает собою антясиммегричимй тевюр второго рани. э 3.2. Основные понятия теории групп и важнейшие группы 67 меняют знак (нечетные состояния). К вопросу о четности состояний систем с центром симметрии мы также вернемся в дальнейшем (см. б 3.3). Математические методы исследования свойств симметрии атомных систем даются теорией груни (137-1391 Теория групп позволяет произвести как классификацию различных атомных систем по родам симметрии — по их принадлежности к различным группам, так и классификацию состояний данной атомной системы по типам симметрии 1, возможным для группы, к которой относится эта систе- 11 ма.

Поскольку систелгатика спектров основана на свойствах симметрии, что уже подчеркивалось в начале параграфа, то теория групп представляет естественный математический аппарат для рассмотрения вопросов систематики спектров — систематики уровней энергии и переходов между ними, и получаемые с ее помощью результаты имеют важное значение для спектроскопии.

Для понимания этих результатов требуется знакомство лишь с элементарными положениями теории групп. й 32. Основные понятия теории групп и важнейшие группы Группой называется совокупность произвольных элементов (например поворотов и отражений, перестановок, линейных преобразований и т.д.), удовлетворяющая определенным условиям. Нас интересуют группы, представляющие совокупность операций симметрии, переводящих рассматриваемую атомную систему саму в себя.

В случае пространственной симметрии такими операциями являются повороты вокруг некоторой аси симметрии на определенный угол, отражение в центре симметрии (инверсия), отражение в ллоскости симметрии ~; в случае перестановочной симметрии операциями симметрии являются перестановки одинаковых частиц. Условия, которым должна удовлетворять рассматриваемая совокупность элементов, чтобы образовать группу (групповые постулаты), следующие. 1.

Произведение с = Ьа (3.1) двух элементов а и Ь группы есть толке элемент группы. Произведение при этом понимается в обобщенном смысле как сочетание (композиция) двух элементов, лающее по определенному правилу третий элемент. Для операций симметрии произведением является результат последовательного применения, в определенном порядке, двух операций симметрии, что все~да дает возможную операцию симметрии. Так, произведением двух поворотов Сун и С, вокруг заданной оси на углы уо~ и угу является поворот вокруг той же оси на угол уэг + уоэ, что можно записать в виде С„,, = С,С„, (3.2) как частный случай общего правила (3.!).

Характеристики

Список файлов книги