1626435914-6d29faf22cc9ba3862ba4ac645c31438 (844347), страница 12
Текст из файла (страница 12)
нич; »й осциллятор. Таким осциллятором можно приближенно считать двухатомную молекулу, в которой ядра колеблются друг относительно друга по оси молекулы вокруг некоторого равновесного положения. Согласно квантовой механике, для линейного гармонического осциллятора получаются равноотстоящие невырожденные уровни энергии.
Каждому значению энергии осцихлятора — энергии колебаний — соответствует одно, вполне определенное его состояние [см. с. 575). Примером системы с вырожденными уровнями энергии является электрон, движущийся под действием электрических сил при отсутствии магнитных взаимодействий, например электрон в атоме водорода и в ионе молекулы водорода Нз~ 42 Глава 2.
Основные характеристики уровней энергии или электрон в электрическом поле ионов кристаллической решетки~!. В силу наличия у электрона спина (собственного момента) уровни энергии электрона оказываются дважды (двукратно) вырожденными. Наглядно это объясняется тем, что спин электрона может ориентироваться, при наличии некоторого выделенного направления, двумя способами — вдоль этого направления (параллельно) и противоположно (антипараллельно) ему". В электрическом поле энергия электрона не будет зависеть от ориентации спина, и данному значению энергии соответствуют два состояния, отличающиеся ориентацией спина. В спектроскопии это двукратное вырождение играет очень важную роль.
Именно с ним связан тот факт, что для заполнения электронных оболочек атомов и молекул всегда требуется четное число электронов (см. ниже, с. 203 и 792). Важное отличие вырожденных уровней от невырожденных состоит в том, что при наличии дополнительных взаимодействий первые могут расщепляться: значения энергии для первоначально вырожденных состояний оказываются уже различными, и вырождение исчезает, или, как говорят, происходит снятие выроэгдения.
Например, в только что рассмотренном случае электрона, движущегося под действием электрических сил, двукратное вырождение снимается при приложении внешнего магнитного поля~~. Направление магнитного поля представляет вьшеленное направление, вдоль которого ориентируется спин электрона, и энергия электрона будет уже зависеть от того, ориентирован ли спин параллельно или антипараллельно полю, поскольку магнитное поле действует на собственный момент электрона. Таким образом, состояниям с параллельной и с антипараллельной ориентацией спина будут соответствовать уже различные уровни энергии.
Степень вырождения является весьма существенной характеристикой уровней энергии. В частности, при тепловом равновесии, согласно законам статистической физики, заселенности уровней пропорциональны степени вырожления. Степень вырождения поэтому называют статистическим весом (или просто весом) уровня. Эту величину принято обозначать буквой д. При кввнтовомехвнической характеристике атомной системы при помощи волновой функции з)з (чпси-функции»), зависящей от координат, степень вырождения определяется числом д независимых функций, соответствующих данному значению энергии Еь и являющихся решениями волнового уравнения (2.1) тле Й вЂ” оператор энергии, и Š— возможные значения энергии (собственныс значения оператора энергии).
Уровень энергии невырожлен, если при Е = Ек уравнение (2.!) имеет одно реигеляе Уз =- г)з» (д = 1), и д-кратно вырожден, если при Е = Ег уравнение (2.!) имеет д цезлвнсимых рсигелий г)зы, грьз, ..., г)зьг (д ) 2). Отметим, что в последнем сдучве в выборе независимых решений имеется известный произвол: значению энергии Ег соответствуют не только д состояний, описываемых функциями гдь, (о = 1, 2, 3,...,д), но и любыс состояния, представляющие наложение (суперпозицию) этик состояний и описываемые функциями, являющимися линейными комбинациями функции г)зс„.
Поэтому вместо д Если пренебречь в первом случае минитнымн взянмодействнямн магнитного моментв электрона с орбитальным движением, я во втором — магнитными взвнмодействиямн электронов между собой. г! ~ Возможность двух ориентаций определяется квантованием проекции собсзвенного момента элскгроня, сы. с.48. Мы пока считаем, что уровни энергии электрона вырождены только двукратно. Псрвоначэльнля степень вырождения может быть н более высокон, поскольку к вырожлеюпо, обусловленному спнном злсктронв, может добавляться н вырожленнс, обусловленное другими причинами. Многочисленные примеры эгого будут рвссмотрсны ннжс з 2.2. Значения физических величин в стационарных состояниях 43 независимых функций 30» можно выбрать д других независимых функций »Р»э — — ~ Ст»Р», (13 = 1, 2, 3, ..., д), (2.2) где Ст — постоянные коэффициенты 41 В22.
Значения физических величии в стационарных состояниях Все физические величины, соответствующие состоянию атомной системы с определенной энергией, т. е. стационарному состоянию, можно разделить, согласно квантовой механике, на два рода. Одни из них могут иметь определенные значения в этом состоянии, другие иметь их не могут. Для последних можно определить лишь вероятность различных значений в рассматриваемом состоянии, и они нас сейчас интересовать не булут.
Для величин, имеющих опредсленныс значения в стационарном состоянии, задание этих значений дает важную характеристику соответствующего уровня энергии. Для свободной системы (например дяя атома или молекулы в достаточно разреженном газе) наряду с энергией определенные значения имеет величина момента количества движения. Однако в отличие от классической механики, согласно которой можно одновременно задать все три проекции момента количества движения на три взаимно перпендикулярные оси, согласно квантовой механике, любые две проекции момента количества движения не могут одновременно иметь определенных значений.
Однако и не требуется знать значения всех трех проекций. Для полной характеристики состояния атомной системы, согласно квантовой механике, достаточно знать значения лишь всех тех независимых друг от друга величин, которые одновременно могут иметь определенные значения. Число подобных величин равно числу степеней свободы системы. Таким образом, полная характеристика системы с г степенями свободы дается заданием значений г физических величин, обладающих тем свойством, что они могут одновременно иметь определенные значения; при рассмотрении стационарных состояний одной из этих величин является энергия системы".
Одновременно могут иметь определенные значения те физические величины, операторы которых А, В, С,... коммутирующ друге другом, см., например, )129), т. 2, н [130). Для таких величин мо;кцо найти общие волновые функции»Р, являющиеся собственными функциями одновременно всех коммутирующих операторов: А»Р = а»Р, »Р= Ь»Р, ѻР= е»Р, (2.3) Здесь й, Ь, с — собственные значения операторов А, и, С, ..., т.с. воэыо:кные значения физических величин, которым соответствуют эти операторы.
Для свободной системы коымугируюг между собой оператор энергии Й, оператор квадрата момента количества движения М'р и оператор любой проекции момента количества 41 Обычно цолчццяемы» условию, чтобы функция 11» были арта»он»льны лруг другу и нормированы, как ц исхцлны» функции т»»ть см., например, [130). 1сфармулирццацное свайство системы с г степенями своболы является общим, и можно было бы выбрать такую совокуцццсть величин, э которую н» входила бы эн»ргин; тогда энергия не имела бы определенною значения, и состояние была бы»естачиьяароын, т.
щ менялось со временем. Вырождение уровней энергии связано, как правило, со свойствами симметрии соответствующей атомной системы; снятие вырождения связано с изменением ее симметрии; важный вопрос о свойствах симметрии будет рассмотрен позже (см. гл. 3). Глава 2. Основные характеристики уровней энергии 44 движения, например проекции по оси л; мы имеем, согласно (2.3), ЙР = Ех)х, ЛХ Р = М~Р, Мр,ф = Мл,й, (2.4) где Е, Мр, Мр, — возможные значения энергии, момента количества движенияь1 и его проекции на ось л. Волновые функции у5 характеризуют состояния свободной системы с определенными значениями грех рассматриваемых физических величин.
Рассмотрим пример атома водорода. Движение электрона относительно ядра («орбитальное движение») определяется тремя независимыми координатами, и ему соответствуют три степени свободы. Для характеристики состояния свободного атома водорода, без учета спина электрона, необходимо задать значения трех независимых величин".
Такими величинами являются энергия атома Е, его момент количества движения М'р относительно ядра (орбитальный момент) и одна из проекций (орб) этого момента, за которую обычно принимается проекция ))Хр по оси д. Учет спина электрона означает введение четвертой степени свободы; соответствующей четвертой величиной, имеющей определенные значения нарялу с Е, Мр ~ (лдб) (спид) и Мр,~', является проекция ЛХр собственного момента количества движения электрона (спинового момента) на ось д").
Заданием значений четырех величин Е, йллл) Мр, М „и Мл полностью характеризуются состояния атома водорода". Другой пример, являюцгийся тривиальным, представляют системы с одной степенью свободы, к числу которых относится, в частности, линейный гармонический осциллятор. В этом случае состояние полностью характеризуется заданием значения одной физической величины, а именно энергии. Возможные значения величин, характеризующих стационарное состояние, находятся путем решения квантовомеханической задачи для рассматриваемой системы. Для энергии возможные значения оказываются дискретными — энергия квантуется, если движение в системе является финитным (конечным), т. е.
с классической точки зрения происходит в ограниченном пространстве, как, например, связанное движение электрона в атоме водорода; они оказываются непрерывными — энергия не квантуется, если движение в системе является инфинитным (бесконечным), т.е. с классической точки зрения происходит в неограниченном пространстве, как, например, движение электрона в случае ионизованного атома водорода, когла электрон может уходить на бесконечность (см. с, 19). Моменты количества движения и их проекции (имеющие определенное значение) всегда квантуются — их возможные значения оказываются всегда дискретными (подробнее см.
Э 2.3). Существенно, что квантование всех величин, могущих иметь определенные и притом дискретные ь) ялллющмосл лектором, квадрат котарога может иметь опрлдлллппыл значения. ~) Если пл рассматривать ллпжлпил плпгрл тяжести. Этп движение, которому сапглетсгпулт люе трп степени свободы, отделяется (л квантовой мехлппкл тлк жл, клх и л классической) и нлс сейчас пл интересует. х) Эта справедливо, если пренебрегать магнитным лэлпмодлйствпли спина с движением электрона вокруг ядра — орбитальным длпжсппем, которому саотллхстлует орбитальный магнмтный мачепт, см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
