1626435910-98d12f7c1a67c8f6e5fdab7067ff707a (844345), страница 45
Текст из файла (страница 45)
При определении характеров (особенно для многомерных представлений) необходимо еще учесть то, что каждое представление имеет элемент тождественной операции. Ясно, что характер тождественной матрицы должен быть равен размерности представления. Поступая таким же образом, мы определяем характеры третьего пред- ставлениЯ с Гз = 2, ((з((Р) 2 1 1 0 0 0 Какие пз этих значений характеров могут быть приписаны к разЛичным операциям Р, определяется свойствами операций данной группы.
Из полученных данных характеров можно составить таблицу такого вида, как табл. 12 Таблица 12 Таблица 13 Сз — 5 (~ и(( 2Са 3(за ! ! 1 ! — О Г,'1 Гз 1 Гз 2 г — — Г 01 О Гз ! 2 1 1 — 1 — 1 О Более удобным является распределение элементов операции симметрии по классам. В этом случае таблица характеров принимает более компактный вид — таблица 13. В следующем пункте будут даны таблицы характеров представлений интересующих нас групп.
8. Таблицы характеров. Таблицы неприводимых представлений некоторых точечных групп впервые были даны Бете !67!. В дальнейшем эти таблицы были дополнены Вигнером !250!. Достаточно полное число таблиц характеров представлений групп симметрии молекул можно найти в работах !59, 171, 209, 249!. В таблице 14 приводятся характеры неприводимых представлений важных точечных групп. Так как неприводимые представления изоморфпых групп идентичны, то для компактности характеры изоморфных групп даются в одной таблице.
Во всех таблицах характеры распределены по классам (напомним, что в пределах данного класса все характеры представления одинаковы). Одномерные представления обозначаются буквами А и В. Функции базисов представления А симметричны, а функции базисов представления В антисимметричны по отношению к вращению вокр!т главной оси симметрии, т. е. оси г. Двухмерные представ- 275 Таблица 14 А, А; г Ао1Х,у,гВ;Х А'!к,у 1 А";г ~ ! — 1 Е С, Сзз 1 1 ! А; г Е; х-~-4у ~оа=гз) 1 Ш ша 1 ша ш Е Са Сзз Сз Сз Са 1 1 ! ! А; г Е;,х,у ( Е;, к~~у ша ша ша ш ш ша ша ша 4 ШЗ ша ша ша ш Са Сз е с, с Са 1 1 1 — ! ша ша ша ш ша ша ша ша 1 1 ! — 1 1 ш 1 ш' ! Ша Ш4 А; г В 1 1 1 — 1 ша шз ша ша Ш4 1 ша ! ~-=Л) Еа Еа; х-'1у с, с, з ~4 ~4 3 Е С, е с ! 1 ! 1 1 — 1 ! — 1 1 ! — 1 А В; г А; г в Е; ха!у Е; х+!у ( Е Са Е Са Е Се~1 с„ С2о ! ! ао с(К1 2 аа оо соч 2 ! ! 1 1 ! — 1 — 1 ! 1 1 †! †! 1 †! 1 — 1 А, Вз, х В;, г Ва, .х А, в,', В„; х, у А,; г в.;,' д А, В,; х Е 2Са Заа Е 2Са 2С2 Сзо 04 Ап г Аа Е; у А, 1 ! ! А,; г ! 1 — 1 Е;х,у 2 — ! О 277 пения обозначаются буквой Е; это обозначение нельзя смешивать с обозначением Е для единичного элемента группы.
Трехмерные представления будут обозначаться через т. Функции базисов представлений, обозначенных одним штрихом (например А', Е' и т, д.), симметричны, а †дву штрихами(например А", В" и т. д.) — антисимметричны по отношению к отражению о„. Индексы и и и соответственно указывают па симметричность и антисимметричность по отношению к инверсии. Индексы при А и В (например, Аа, Л„ Ва, Вз), в зависимости от группы, указывают различные типы симметрии.
Для групп четвертого порядка (Сз, Сзю Ра) мы имеем четыре типа симметрии. Например, для группы Сз, с операциями симметрии Е, С„ оо, о, (где о„ и о, †отражен в плоскостях хг и уг соответственно) неприводимые представления, соответствующие этим четырем типам симметрии координат, обозначаются следующими символами: Л,— полностью симметричные координаты; В; антисимметричные координаты относительно С, и о„; В, — антисимметричныс относительно С, и о„; и А, — анти- симметричные относительно о, и о,. Для группы Р, (операции симметрии Е, Сгз*', С',", С',"') представления, соответствующие полностью симметричным координатам, обозначаются через Л,; представления, обозначенные через В,„ В„ Вз, отвечают координатам, симметричным относительно Сз", Сзо! и Сз"' соответственно.
Характеры неприводпмых представлений некоторых точечных групп, а именно: Сзз = Сзх С„Яз =- СзхСн Рзз = Рах С„ Сза С4хС Рзо РзхС Рзз Рахса с = с,хс„Р,=Р,хсн т„= тхсз, Сза = С, х Сн Раа — — Ра х С;, О„= О х С, не даны в явном виде. Однако, как видно, их легко можно получить, так как эти группы являются прямыми произведениями (см. 2 20,б) приведенных в таблице 14 групп на С,. или С,. Каждое из этих прямых произведений имеет вдвое больше неприводимых представлений, чем исходная группа. Это объясняется тем, что группы Сз и Са имеют по два элемента операции: Е, ! и Е, о соответственно.
Ясно, что прямое произведение 6 х С, или 6 х С„где 6 — любая группа, содержит вдвое больше элементов, чем 6. Половина из нпх совпадает с элементамп группы 6, а остальные получаются умножением на или о. Половина неприводимых представлений этих групп являются симметричцыми, а другая половина антисимметрпчными по отношени1о к инверсии. Как было сказано, их обозначают соответственно индексами Е и и (например А ни Агг, Ег и т. д.— симметричные и Аиш Аз„и т. д.— аптисимметричные). Как будет 276 Характеры неприводиыых представлений точечных групп С, Е 4' Са Е Са С, ' Е о Продолжение Е Сз 2С4 24„ 204! Е Сз 2С4 2Сз 2Сз Рзз Е С.
25, 2Сз Св„ Рз ! — ! — 1 ! 0 ! ! 1 1 ! ! 1 1 — ! ! 1 — 1 2 — 2 0 Е 2Св Е 2Сз А! Аз В Вз Е;х,у А! А,; г в Вв Е; х,у Аз! г А, в Вз Е;х,у С50 5 ! ЗС ! ! ! — 1 2кз 2со52х 0 (х= — ) 5) 2 сов 4х 0 2Св ЗСз ЗСз 2С, 3 з 3 „ 254 ЗСз Ззз 1 1 ! ! А,; г Аз А! А,; г Е;,х,у Ез Ез; х, у Ез Рз 2 соз х 2 2 Е Е Е 2соз2х Св 2Сз Сз 2Сз 2С, Сел Рзз 1 1 1 — ! — ! 1 А,; г Ав Вз в, Ез; х Е: 1 1 ! 1 — 1 ! — 1 1 — 2 — 1 2 — 1 0 Т, А! Ав Е Т;,х,у,г — 1 — 1 1 0 — 1 0 Е 8Сз ЗСв Е 8Сз ЗСв ! 1 1 1 1 1 2 — ! 2 3 0 — 1 х,у Т ~Е ЗСз 4Сз 4Сз 1 1 ш шв шз ш 0 0 А ! Е Т;х,у,г 3 — ! ез) А! Аз Е Т, 3 0 — 1 Тнх,у, г Т, о„ 2С А, А,; г Е,;х,у Ез 1 1 1 — ! 2 Созе 0 2со52р 0 !' ое 2,С !'Е Е 2С, о, 1 — ! 1 — ! 2с05т — 2 соз 47 2С052е — 2 соз 2ш А, Аз, г В! в Е!',х,у Ез Азг А,л Ав Ази' Ез, Езл!х, у Еел 278 А, А А! Аз, у Е' Е'! 1 ! ! ! 1 — 1 1 — 1 2созт 0 2созт 0 2С052т 0 2соз22 О 1 — ! ! — 1 2 — 2 2 — 2 1 1 — 1 0 2Сза 2С5 1 — 1 — 1 1 0 0 0 0 1 О 0 6Св 6С, 6 за 654 1 ! — 1 †! 0 0 — 1 ! Таблица 15 ХаРактеРы гРУпп Рзг н Сзз Рзи=Рз х С! Е 2Сз ЗСз ! 25в Зол А,е Аз', Аз„ Азл Ег Ел 1 1 1 1 1 1 1 1 2 — 1 2 — 1 ! 1 ! — ! †! — 1 — 1 1 — ! 0 1 О ! ! — 1 1 1 — 1 †! †! 0 2 0 — 2 5, (олСз) С =Схс Е Сз 0„ А' А' 1 1 1 ! 1 ш ! ш"" 1 ш 1 1 — 1 шз ш ! шз — 1 44 — ! (ш е 3 ) — 44 шз )сзр! = ~я~~ ~ауззр,, 4=! л (22,43) 4Л Л )СЧ Рз= ч~; ~ а, Ьззфг Р1= ! !! ! ~Ч'„Суз„е ЗР вР!.
4=!! ! Матрицами этих преобразований являются А=(ал), В=(Ь,з) и С=(су! и), где (22,44) 279 с;! и = ап Ь,з показано в следующем пункте, характеры этих представлений могут быть получены из характеров представлений исходных групп, умножением на ~1. В качестве примера в таблице 15 даны характеры групп Рзз = Рз хС! и Сзз = СзхС,. 9. Прямое произведение представлений и их свойства. Рассмотрим две системы функций зрз, зр„..., зр„и 4р„, !р„.„, 4рл, которые образуют базисы представлений группы. Произведения зр4!у дают новую систему, состоящую из а!а функций, которые будут являться базисом нового представления размерности тп.
Пусть гс некоторая операция группы. Тогда есть элемент матрицы С, находящийся на пересечении строк 11 и столбца 1й. Матрица С порядка а!а, элементы которой получаются произведением соответствующих элементов матриц А и В, называется прямым произведением матриц А и В. В отличие от обычного умножения матриц такое произведение принято записывать в виде С= Ахд. Система функций ф! !э„, образующая базис для представления с элементами типа Ахд, называется также прямым произведением системы функций ф, и !р . Приводим без доказательства некоторые важные свойства прямого произведения матриц: 1) Порядок множителей прямого произведения не играет никакой роли.
2) Прямое произведение двух диагональных матриц есть диагональная матрица, 3) Прямое произведение двух единичных матриц является единичной матрицей. 4) Прямое произведение двух унитарных матриц есть унитарная матрица. Если совокупность матриц А!"! и В!!>, где значения а и р пробегают все элементы, является некоторыми представлениями группы 6, то исходя из предыдущих результатов, а именно (22,43) и (22,44), нетрудно показать, что прямое произведение С<т> = А<'! х В<» дает также некоторое линейное представление группы 6.
Здесь важно отметить, что прямое произведение двух неприводимых представлений в общем случае является приводимым представлением. Однако нетрудно его выразить через неприводимые представления, если известны характеры прямого представления и его сомножителей. Легко можно показать, что характер представления прямого произведения равен произведению характеров обоих составляющих представлений. Действительно, из (22,44) следует, что диагональные элементы матрицы прямого произведения будут сл, и (11 =- 1й), следовательно т л )( (С) = ~~~~ ~~к~~ с!! !! = ~ч~ ~к~ рагу Ьа = т (а) )((Ь).
(22,45) !с /!ю! Для абелевых групп все представления являются одномерными и, следовательно, прямое произведение всегда является неприводимым. В случае, когда один из сомножителей есть одномерное еди- 280 ннчное представление, то согласно (22,45), характер прямого произведения будет равен характеру другого сомножителя и отсюда прямое произведение в таких случаях всегда дает неприводимое представление.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
