1626435910-98d12f7c1a67c8f6e5fdab7067ff707a (844345), страница 47
Текст из файла (страница 47)
)/ (о — й)! я (23,31) Здесь для данного о д~»") является базисом (о+ 1)-мерного пред- ставления группы вращений. Что это представление унитарно, нетрудно проверить. Условием унитарности должно быть равен- ство (23,32) »=о 4 О Подставляя 'значения да~", д»")* и д'41">, д'Г"> из(23,31) в (23,32) и применяя формулу бинома Йьютона, получим где коэффициенты а!4) образуют матрицу (ас)4>). Таким образом сумма, состоящая из (о+ 1) членов, представляет собой линейное преобразование; матрицы таких преобразований, подчиняются таблице умножения группы (23,18) н, следовательно, образуют группу, изоморфную с нею.
Итак, вводя соотношение (23,27) и осуществляя преобразование (23,16), мы получаем линейное преобразование, являющееся (о+ 1)-мерным представлением группы вращений, соответствующей преобразованию (23,16). Однако, нетрудно проверить, что это представление не есть унитарное представление. Чтобы получить унитарное представление, достаточно нам ввести в соотношение 1 (23,27) некоторый множитель, а именно, где е = ф'(о — й)! й1 = О, 1, 2,..., сч тогда 287 Из этого соотношения можно построить (о+ 1) составляющих, а именно: ) и В'" Л)") Ь'" йм~ 1 В Ч™ ! Л>о) — " (23 28) 288 и и ,о — »,ио — » о» 4 2" ' "=Х' )и>' )о>" ~ 5 5 Ч Ч (»о~ »»~и ! Ч Ч'и)о " " =.г~' (: — й)!й1 (23,40) Р (>р) =- е! т.
нли О, О, . . . О, 1 у О. О 1. О О, 1, . . . О, 0 1, О, . . . О, 0 (23,41) 5>п — >р 2 изводится от наибольшего из чисел о, т — я до наименьшего из чисел !+т, ! — я. Кроме того, можно показать, что в (23,37) вместо коэффициента ( — 1)ь>' — можно подставить коэффициент ( — )". Как было отмечено выше, в зависимости от значений 1 3 ! (О, —, 1, —, ... ) представлений л>ожет быть бесчисленное 2' '2'''' множество, Можно доказать, и это чрезвычайно важно, что все эти представлен и я являются н еп риводимыми.
Чтобы получить окончательное выражение для практического вычисления элементов матриц неприводнмых представлений унитарной группы вращений, достаточно в формуле (23,37) а, а*, 8 и 8' выразить через углы Эйлера по формулам (23,19). Тогда мы получим следующее выражение: , ~р )Г (! + т)! (! — т)! (! + я)! (!' — я)! ,я~~я( (!+т — й)! (А+Я вЂ” т)! (! — А — Я)!й! х е — '"" — "' созз>+ — Ял — ' — 0 я(пз"+' — — >>, (23,38) 1 . 1 2 2 я,т, =!',!' — 1,..., — !+1,— !. Можно показать, что здесь !' — ' = 1. Как мы увидим дальше, для нас будут представлять интерес также эквивалентные представления. Их можно найти посредством подходящей унитарной матрицы, а именно: В результате применения У (в виде (7РуУ вЂ” ') совершится перестановка строк и столбцов в обратном порядке.
При этом в уравнении (23,38) изменится знак перед т и я и мы будем иметь следующее уравнение: 1Г (!' + и)! (! — т)! (! + я)! (! — я)! .я ~ (! — т — й)!(й — я+ т)!(! — й+ я)! й! хе>! '+'т> соля! — -ял+' — >>.з(п'л — '>- — >>, (23,39) 1 .
1 2 2 я, >и=!', ! — 1, „— !+1, — !'. При вычислении необходимо учесть, что факториал целого отрицательного числа равен бесконечности, факториал нуля равен единице и суммирование производится от А > О, А )~ т — я до й (! — я, А~(!+ т. 3. Определение характеров представлений группы вращений. Определение характеров основано на том положении, что в пределах одного класса группы характеры матриц равны.
Иначе говоря, сопряженные элементы группы имеют одинаковые характеры. С другой стороны, в группе вращений любой поворот эквивалентен повороту на один н тот же угол вокруг оси г(см. 3 21, п. 2). Это значит, что матрицы групп этих поворотов на один и тот же угол являются сопряженными и, следовательно, имеют одинаковые характеры. Диагональные элементы матриц вращения вокруг оси г можно определить из уравнения (23,39) при т = я, 6 = О. При этих условиях в сумме (23,39) останется только член с й = О.
Таким образом для диагональных элементов матриц группы вращений вокруг оси г мы имеем следующее уравнение: Отсюда характеры матриц (2! + 1)-мерного представления опре- деляются по формуле ! Х>>>(>р)= ~ е!"'т = 1+ 2 соя>р+2 соя2>р+... + 2 соя!>р, !+ 2,> Р е>>+' ~'п(р)— 4. Представления прямого произведения группы вращений. Прямое произведение Р>, х Р>, в общем случае должно быть приводимым представлением (см. 3 22,9).
Его можно разложить на неприводимые представления, зная характеры исходных представлений. Так как характер представления Р>, х Р>, равен произведению характеров представлений Р>, и Р;,, то согласно (23,41) ! !. Х>! >(>р))('! >(>р) = ч>' ,е'"' т ч>', е> "т т, — >, 6$,= — >, >о* >или /ч еп/*+'>е — е-//пв >/// > (/р) ",(а > (/р) = ~л е/т л .
(23 42) е// — 1 /// ~ = — / 1 // 2 1 . е"/*+»/ — е — //>з т~ ен!+>> — е-/Н е/""л / = Д .. (23,43) е/'г — 1 е/э 1 /и, — /, Разумеется, что (23,43) справедливо только при допущении, что 1 в (22,6) а, = а,, =... = а„= 1. Сокращая,. и производя пее>/ — 1 ремножение всех членов е/" на (е///+»"' — е — //"), получил> е'/ +5+'>з+ ен'+/ >'+... — е — /// — / >е...
— е — н>+и/т = = ~р~ е///+ > > — е ///, ! (23,44) Попарно комбинируя положительные и отрицательные члены ле- вой части последнего уравнения, мы видим, что ! пробегает зна- чениЯ от />+1, до /> — 1>. т, е. !> +!ь >> + !л — 1, 1> + !л — 2, 1> — )л (23,45) каждое по одному разу.
Так как порядок разложения характера приводимого представления на неприводимые точно соответствует порядку разложения самого приводимого представления, то согласно (23,45), разложение Р„х Р,, можно представить в виде О/,хР/,=Рл+/,+Р;,ьл >+...+06 ц, (23,46) где 0;, ьб, О/, /, > и т. д. являются неприводимыми представ- лениями групйы вращений. 292 Последнее выражение представляет собой характер приводимого представления. Если мы вообще совершаем приведение, то матрицы такого представления должны принимать квазидиагональную форму. Обычно приведение можно осуществить посредством преобразования подобия с помощью подходящей унитарной матрицы.
При таком преобразовании характер представления не изменяется. Таким образом характер квазидиагональной матрицы должен быть равен сумл>е характеров матриц всех неприводнмых представлений, входящих в состав приводимого представления. Из сказанного следует, что выражение (23,42) должно быть равным сумме характеров неприводимых представлений Р, группы вращений: В 24. Применение теории групп в квантовой механике 1.
Свойства инвариантности уравнения Шредингера, Теорема Вигнера. Возможность применения теории групп в квантовой механике основана на том, что уравнение Шредингера (24,!) ИЧ = Е Н>(>л; или, как принято писать (24,3) ЯН= НЯ. (24,4) Уравнение (24,3) означает, что наряду с собственной функцией >(>, функция К>р„также является решением уравнения Шредингера и соответствует тому же собственному значению Е . Тот же самый результат можно получить для случаев, когда Я является лк>бой операцией вышеотмеченных групп симметрии (вращения, отражения).
описывающее стационарное состояние произвольной системы, например, атома, молекулы и т. д., остается инвариантным при некоторых преобразованиях симметрии данной системы. Этими преобразованиями (или операциями) являются: 1) перестановки координат тождественных частиц — электронов нли ядер; 2) вращения и отражения (в том числе инверсия) при условии, что потенциальная энергия системы обладает некоторой симметрией. В молекулярных системах уравнение Шредингера остается инвариантным при операции симметрии соответствующих точечных групп.
Необходимо отметить, что говоря об инвариантности уравнения Шредингера следует понимать инвариантность самого оператора Гамильтона. Это значит, что операции симметрии не действуют на этот оператор. В общем случае по отношеншо к операции симметрии инвариантен любой оператор скалярной физической величины; в этом отношении оператор Гамильтона является только частным случаем.
Для ясности рассмотрим операции перестановок координат между тождественными част>щами, скажем, между электронами атома гелия. Пусть Я есть некоторая операция группы перестановок координат. Подвергаем обе части уравнения (24,1) операции Н; тогда, учитывая, что Я коммутирует с постоянной Е„получаем: НН>Р, = Е Н>(>,. (24,2) Так как операция Н меняет местами только одинаковые частицы, то она не может действовать на оператор Гамильтона Н, следовательно )гф» = сф». Когда функция нормирована, то с'= 1 и, следовательно, с= = ~ 1. Для с= + 1 и с= — 1 мы имеем соответственно симметричную и антисимметричную функцию. К этому случаю относится, например, атом гелия, которому соответствует группа, состоящая только нз двух элементов, а именно: из тождественной перестановки и операции перестановки двух электронов.
Рассмотрим второй случай„когда Е» является 1-кратным собственным значением, т. е. имеются собственные функции ф»п Ф»„..., фьь принадлежащие одному и тому же собственному значению В». Если А есть какая-либо операция группы симметрии (или группы перестановок), то согласно теореме Вигиера, выражение ! Аф»,.=ф»;= Хацф»7 (й 1= 1, 2 ° 1) ! ! (24,5) также является собственной функцией, соответствующей значению В,.
Выражение (24,5) представляет собой. линейную комби- 294 Таким образом, мы пришли к чрезвычайно важной теореме Вигнера, которую можно сформулировать следующим образом: Если»р является собственной функцией оператора Гамильтона Н и соответствует собственному значениюЕ,то !гь будет также собственной функцией этого оператора и будет соответствовать тому же собственному значению В».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
