1626435910-98d12f7c1a67c8f6e5fdab7067ff707a (844345), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Единичному элементу Е группы в представлении а~ъ соответствует единичная матрица (1н). Далее, обратному элементу А — ' данной группы соответствует обратная матрица (аа') (обратная к (а,. )). Группа может иметь несколько, а также и бесконечное множество представлений, Между всеми этими возможными представлениями существует определенное соотношение; они должны удовлетворять одной и той же таблице умножения.
Если основная группа есть группа линейных представлений, то очевидно, что она сама и дает одно из возможных, своих линейных представлений. Всякая группа обладает тождественным представлением, в котором все матрицы будут единичными матрицами первого порядка (1). Отметим частный случай представления, когда все матрицы будут первого 2б! В-ь аннэж -ыдоч~ я а Ф 3 "ви ~в„ И ~ Э йах Х ь~о Е О. О. о ~су ст ~) СЭ ью= я'ь и ь ~ь 1 ЯР О ъ д'о ь о сч з'" ась" 3 я вй ;Я ь б "' ь о я 4О С ) щ о~" ь То ь" й - ь" я с) \~ ь Р ~о ы ь О ь ы Ю "-' ооо ьЛ ь ы а, ь ь ы ь ь "о я ь ю ь сч о-, .
ь :С~=В ы ь о о в с~ ъ ь о 'С3 ь с = о ь -ь ь 2 Ф ыа ) й и й в вв ь -ь ь ли ь ь. йо ь ьввхш яо~наоп о с Последние выражения показывают, что композиция матриц (22,5) удовлетворяет условиям определения группы (удовлетворяют таблице умножения) и, следовательно, эти матрицы дают некоторое линейное представление данной группы. Таким образом, линейное представление (22,5) распадается на несколько линейных представ- лений А,, В., С,,, с меньшим числом измерений. Представление большого числа измерений квазидиагональиого типа, которое может быть разбито иа представления с меньшим числом измерения, называется приведенным представлением. Ясно, что не все представления могут обладать такими свойствами. В том случае, когда представление Г не является приведенным, но некоторое эквивалентное ему представление (7Г(т' — ' имеет такой (приведенныйй) вид, то представление Г называется п р н в о д и м ы м, и говорят, что оно может быть приведено посредством преобразования подобия с помощью матрицы (7.
Если же само представление и все эквивалентные ему представления не являются приводимыми, то это представление называется н е п р и в о д и м ы м п р е д с т а ни е н и е м. Ясно, что совершая процесс приведения последовательно, мы разобьем в конце концов исходное представление на ряд уже не приводимых более представлений.
Следует отметить, что в случае, когда мы имеем дело с представлением любой абстрактной группы, разложение приводимого представления на неприводимые является весьма существенным, так как глубокий математический и физический смысл имеют только последние. Разложение данного приводимого представления Г группы 6 на его неприводимые части возможно только одним способом: Г=Гт+Гв+Гз+ ''' +Гя' и в общем случае Г=а,Г,+а,Г,+ ... а Гм (22,6) где а, — кратность данного неприводимого представления в приводимом представлении Г. 4. Представления абелевых групп.
Как было отмечено в 9 20, в случае, если все элементы группы попарно коммутируют, то такая группа носит название абелевой группы. Пусть группа А с матрицами А,, А.„ А„ ... есть линейное представление абелевой группы 6. Эти матрицы должны также попарно коммутировать: А1 Ав = Ая А4, Ая Ав= Ая Ам А, Аэ ..., Ая-1(Ав = Е), (22,8) Если элемент А соответствует линейному преобразованию х'=ах, т. е.
числу ьт, тогда соответственно с (22,8) мы имеем (22,9) , э, л — ~(ыв 1) Условию ы" = 1 может удовлетворить следующее выражение: 2йи .. 2йи( в =е " = соз — +(з(п и и (22,10) Здесь й — некоторое целое число, которое может быть равно одному из чисел ряда О, 1, 2, ..., и — 1. Каждое из этих значений й соответствует одному из и — 1 не- приводимых представлений группы (22,8). Все они являются одномерными представлениями, В случае непрерывной группы вращений с матрицами сов ~р — з(п <р А,= 5(п ф соа ф (22,11) Последние должны быть диагональными матрицами (а не квазидиагоиальными), так как только произведение диагональных матриц не зависит от порядка сомножителей; следовательно, онн должны быть элементами абелевой группы, Выражение (22,7) означает, что преобразованием подобия унитарной матрицей линейное представление абелевой группы можно разложить на и одномерных представлений.
Таким образом, в с я к о е у н нтарное представление абелевой группы эквивалентно некоторой совокупности одномерных (и, следовательно, неприводимых) представлений. Частным случаем абелевых групп являются циклические группы. Рассмотрим циклическую группу порядка и: (22,12) Аэ, Ат, = Ат, . А,„= А„4.„, в=ем'(й=О, и'-1, ~2, ...). (22. 13) 2вз 9В о, к, лввтяя 264 Мы рассмотрим только случаи унитарного представления, т. е. случаи, когда все матрицы унитарны, Тогда, как было показано в 9 5, 7, все матрицы с помощью подходящей унитарной матрицы ~/ можно привести к диагональному виду: иА и- = Сй',", й',", ..., й'."~. (22,7) все элементы также попарно коммутируют, т. е. и всем этим элементам соответствует также функция (22,18) Х Г,()7)',„г, ()7)„= —, (22,14) ~ Г,.
(Р)„Г7(Р),„= О, (Е ф 1), (22,15) (22,19) Таким образом здесь мы имеем бесконечное множество линейных представлений с матрицами (е"1). 5. Соотношения ортогональности. В квантовой химии представляют интерес в основном унитарные матрицы; поэтому здесь мы можем ограничиться рассмотрением представлений, охватывающих только унитарные матрицы.
Без доказательства приводим очень важную теорему, дающую соотношение ортогональности между неэквивалентными и неприводимыми представлениями группы. Она математически выражается следующими формулами: ~Г,Я)...Г,(Р)„. =О, ()2чф)2'ч'), (22,!6) Х (Г1(Р)11)2 = б Х(Г,(Р)м)'= б, Х г,()7)„Р=з, 2;(г,()7)„Р= з, л Х(г (Р) Р=з, Х (Г2()7)22Р = з; ;э; Г,()7)„Г,()7)„= О, ~ Г1()7)„Г2()7)11 = О, и Х Г,()7)„Г,()7)„= О, ~л~ Г2 (Р)11 ГЗ (Р)12 где Г1(Р) и Г~(Р) — матрицы 1-го и 1-го представлений, соответствующие операции )г; Г1(Р)„, Г~(Р),.„Г1(Р)еь и т. д. — соответствующие элементы этих матриц; д — йорядок группы (число элементов) и 11 — размерность 1'-го представления (число строк и столбцов матриц). Суммирование производится по всем элементам группы, Выражения (22,14) — (22,16) в нормированном и в компактном виде записываются следующим образом: ~~~~ Г1(Р)„„1у — ' Гу(Р)2ь $/ — ' = 60 6 „6„,, (22,17) /'~, где 6.
= ' 1) 6 — ' ~ " 6„= 10, (1 Ф/)' "л 10, (!2 чь)2') (О, (ч Ф ч') Эти соотношения ортогональности применимы для неэквивалентных и неприводимых представлений любой группы. В качестве примера для иллюстрации справедливости формул (22,14) — (22,16) или (22,17) рассмотрим выше приведенные неэквивалентные и не- приводимые представления (22,2). Из них мы получим следующие выражения: 2бб Как видно, эти выражения полностью соответствуют соотношению ортогональности (22,17). Теперь покажем условие определения максимального возможного числа неэквивалентных и неприводимых представлений данной группы.
В уравнении (22,17) матричные элементы Г1 (Р1)Р„Г1 Ф2),, Г1 ()7л)л„ (22,20) стоящие на одинаковых местах (т. е. на пересечении )2-ой строки и у-го столбца) во всех п матрицах 1-го представления, можно рассматривать как компоненты (составляющие) одного единичного (нормированного) вектора в и-мерном пространстве. Согласно выражению (22,17) этот вектор должен быть ортогональным к любому из векторов, которые могут быть получены путем другого выбора индексов )22. Кроме того, вектор, полученный из составляющих (20,20) по уравнению (22,17), также должен быть ортогональным к любому из подобных векторов другого представления, например, вектору с составляющими гу(Р1)м,, г~(Р2)льь г~(Я2)2'»'~ ° ° гт(Рл)л (22,21) Таким образом каждому 1-ому неприводимому представлению отвечает 71 ортогональных между собой векторов (где 11 — раз- 9Вл 2бт ~~ Г»(Ь),'ц, Г,(Р)„,!г = -6,.6»,.
к й ! (22,26) Легко можно проверить, что » ,Х 0=а (22,24) з-! !'-! й ~ч' ,6,, =- ч~Р~ 6,„= ~„ ! = ! !~' = ! !» ! 1»+ 1»+ 2» — 5 тогда ~х"!(Р)'х!! (Н) = аб," (22,27) х (Р)= Хг!(Р)„, (22,25) Ххп)(р)*Х(!)(Р) = 0 (! Ф у); (22,28) Х~хп!()~)~'= а (22,29) мерность представления). Если имеются й различных неприводимых и неэквивалентных представлений, то количество всех ортогональных векторов будет равно 7!+1й+ +6+ +)» (22,22) С другой стороны условие ортогональности коэффициентов (22,20) и (22,2!) ограничивает количество векторов.
Из уравнения (22,17) вытекает, что количество ортогональных векторов с компонентами д не может быть больше д. Следовательно, !!+ !2+ ° +!! + ° ° ° !»~(й (22,23) Для наибольшего числа неэквивалентных и неприводимых пред- ставлений Последнее выражение является условием определения наибольшего возможного числа неэквивалентных и неприводнмых представлений. Возвращаясь к нашим трем представлениям (22,2), отметим, что согласно (22,24) Следовательно, для данной группы (20,6) или изоморфпой группы (например, группы, 20,14), не может быть еще других неэквивалентных и неприводимых представлений, кроме трех представлений (22,2). В заключение следует отметить, что все изоморфные группы должны иметь одинаковые неприводнмые представления.
6. Характеры представлений. Сумма диагональных элементов матриц называется х а р а к т е р о м или с л е д о м матриц. Для данного представления характер выражается следующей формулой: где Х,(Р) — характер матрицы операции Р »-го представления, Характеры матриц интересны тем, что между системами характеров групп и неприводимыми представлениями групп имеется однозначное соответствие. Поэтому во многих случаях вместо неприводнмых представлений можно иметь дело с характерами. Выше было показано, что исходя из размерности представлений, можно определить число возможных неэквивалентных и неприводимых представлений (формула 22,24). Оказывается, эту величину можно определить также путем рассмотрения системы характеров одного представления, 288 Согласно формуле (22,17), если мы учитываем только диагональные элементы матриц, мы имеем: Суммируя зто выражение по )» и )»' соответственно от 1 до )! и от 1 до 7'., получим е=!и'-! й ' е-!!'-! ~ ~ ~г!()7),егу()7)„;= ч;Х,Р)*Х,Р) Итак, условия ортогональности, которым подчиняются элементы в матрицах неприводимого представления, приводят к таким же условиям ортогональности характеров.
Выражение (22,27) означает, что 1) системы характеров неэквивалентных и н е и р и в о д и м ы х и р е д с т а в л е н и й о б р а з у ю т о р т о г о н а л ь н ы е векторы, ибо 2) суммы квадратов модулей характеров данного неприводимого и неэквивалентного представления равна порядку группы: В 2 5,3 было отмечено, что характер матрицы является инвари- антным по отношению к преобразованию подобия. Это значит, что эквивалентные представления должны иметь одинаковый ха- 269 рактер, Таким образом, д в а н е п р и в о д и м ы х п р е д с т а вления, с одной и той же системой характеров, эквивалентны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
