1626435910-98d12f7c1a67c8f6e5fdab7067ff707a (844345), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Эта группа полностью удовлетворяет приведенным условиямпонятия группы. Из этих элементов может быть составлена точно такая же таблица умножения, как табл. 10, если в нее вместо символов А, В, С... подставить элементы группы (20,14) с индексами, соответствугощими этим символам.
3. Абстрактные группы и их свойства. Для свойств объектов, по которым они объединяются в группу, важны не сами объекты и соответствующие операции, а соотношения, определяющие закон композиции элементов данной группы. Таким образом, при определении группы мы можем совершенно отвлечься от конкретных объектов и, следовательно, также от конкретных значений тех операций, котарые в своей совокупности образуют группу.
К числу таких конкретных операций относятся рассмотренные нами операции линейных преобразований и операции перестановок. Такое отвлечение от конкретных объектов и операций приводит к понятию а б с т р а к тн о й г р у п п ы. Таким образом, под абстрактной группой понимается совокупность символов, состоящая из конечного или бесконечного числа элементов, получающихся по определенному закону композиции (умножения), согласно которому из двух элементов совокупности (различных нлн одинаковых) получается третий элемент, также принадлежащий совокупности. При-этом должны быть 242 соблюдены следующие три условия: 1. Совокупность должна содержать один такой элемент, называемый единичным или тождественным элементом, который, будучи помножен на любой другой элемент, воспроизводит этот же самый элемент, т. е.
(20,15) ЕР=РЕ=Р, где Š— единичный элемент н )с — любой из элементов совокупности. 2. Каждому элементу совокупности Я должен отвечать обратный ему элемент !~ = Я вЂ ' в этой же совокупности, который удовлетворяет условию (20,16) <И=Ж~=Е, (0=0 '). 3. Должен соблюдаться ассоциативный закон умножения, т. е. Я6) Р = Р(6Р) (20,17) Это значит, что умножение произведения (йЯ) на Р эквивалентно умножению Я на произведение ЯР). Рассмотрим теперь некоторые определения, связанные со свойством группы. 4. Подгруппа. Совокупность части элементов группы, подчиняющаяся всем требованиям образования группы, называется подгруппой.
Разумеется, что порядок подгруппы всегда должен быть меньше порядка основной группы, за исключением того частного случая, когда сама группа является своей подгруппой. Принципиально каждая группа может быть подгруппой более сложной группы с большим порядком. Рассмотрим какой-либо элемент А группы 6. Возводя его в последовательные степени, получим следующий ряд: Е Ао А Аг Аг Аг Аг Е (20 18) Все эти элементы являются также элементами основной группы, Так как основная группа конечная, то ряд (20,18) не может быть бесконечным; последний элемент А" должен быть единичным элементом.
Наименьшее число и, при котором А" = Е, называется порядком элемента А. Совокупность элементов ряда (20,18) образует подгруппу группы 6. Группа или подгруппа, все элементы которой могут быть получены путем возведения одного из элементов в последовательные степени, как например (20,18), называется ц и к л и ч е с к о й г р у п и о й.
Циклическая группа является частным случаем абелевых групп; все их элементы коммутативны. Совокупность элементов 243 А, А', ..., А" =- Е называется п е р и о д о м элемента А. Следовательно, период каждого элемента группы является ее подгруппой, Каждая подгруппа должна иметь обратный элемент. Действительно, если А"=Е, то .4п — 1, Л = Лл Е н Ли — 1 = 4 1 (20, 19) В качестве примера рассмотрим некоторые подгруппы известной нам группы (20,6). Период элемента А этой группы дает подгруппу второго порядка, а именно Е, Л,(А' = Е); период элемента Г дает подгруппу третьего порядка Е, Р, Гз = 0 (Г' = ОГ = Г); элемент 0 обладает периодом Е, О, 0' = Г (О' = ГО = Е), который является подгруппой также третьего порядка и т.
д. Нетрудно показать, что порядок подгруппы, т. е. число ее элементов, является делителем порядка всей группы. Отсюда, если порядок группы есть простое число, то такая группа не может иметь никаких подгрупп за исключением единичной подгруппы Е и самой себя. Таким образом всякая группа, не имеющая подгрупп (кроме Е и самой себя), должна быть группой простого порядка. Кроме того, она должна быть циклической группой, ибо последняя имеет только единственный период. 6. Классы группы. Пусть 14 и и — некоторые элементы группы, тогда элемент д = нк' (20,20) называется сопряженным элементу 14; и наоборот, элемент я = щи — ' (20,21) есть сопряженный элементу 9.
В том случае, когда 14' есть еди- ничный элемент, т. е. 14 = Е, то Совокупность всех взаимно сопряженных элементов группы образует к л а с с группы. Класс определяется одним своим элементом тт'. Зная )т', мы получим все элементы данного класса по формуле и„)ти,, где а пробегает все элементы группы. Из формулы (20,22) следует, что единичный элемент сам по себе составляет класс. Обычно геометрические соображения дают возможность различать классы. В качестве примера возьмем рассмотренную нами группу операции симметрии (20,6).
В этой группе мы имеем три различных типа операций; тождественная операция Е, операции отражения А, В, С и операции вращения О, Г, Исходя из вьппеуказанного определения класса группы, нетрудно показать, что каждая из этих трех систем элементов, т. е. (Е); (А, В, С) и (О, Р), образует класс. Из таблицы умножения (табл. 1О) мы находим взаимно обратные элементы (произведение которых дает единичный элемент). Зти элементы будут: (Г, Е); (А, Л); (В, В); (С, С); (О, Г); (Г, 0). Если в качестве элемента, определякхцего класс (О, Г), взять элемент О, то из этой же таблицы умножения мы можем найти следующие соотношения: ЕОЕ=О; ЛОЛ=Р; ВОВ=Г; СОС=Р; ГОО==О; ООГ=-О, представляющие собой всеэлементы класса; при этом, в этих операциях умножения элементы класса повторяются.
Если же элемент Г определяет класс, то из таблицы умножения мы получим соотношения ЕГЕ=Р; АГА=-0; СГС=О; ВГВ=-0; ГГО=Г; ОГГ=-Г, ийи ' = Р или иЕи — ~ Е (20,22) Если два элемента 14, и 14, сопряжены с одним и тем же третьим элементом Я, т. е. л, =- и, 4)и;-'; в = и, ди, ', то они сопряжены и между собой: Л, = и, и, ' гз(и, и )-'.
(20,23) При этом говорят, что свойство сопряженности элементов транзитивно. 244 которые также являются элементами класса (О, Р). Таким же образом может быть найдено, что элементы Л, В, С образуют класс. В данном случае класс может быть определен любым из элементов. В общем случае при умножении некоторые элементы могут повторяться. Можно показать, что каждый элемент абелевской группы (когда все элементы взаимно коммутируют) сам по себе образует класс и, следовательно, число классов в этом случае равно числу элементов.
Следует отметить следующий геометрический смысл понятия класса операций; если две операции принадлежат к одному и тому же классу, то можно выбрать новую систему координат, в которой одна операция заменяется другой. 6. Изоморфные и гомоморфные группы. Две группы б и 6' называются и з о м о р ф н ы м и, если с каждым элементом Л, В, С, ... 245 группы 6 можно взаимно и однозначно сопоставить элемент Л', В', С', ... группы 6'. Здесь важно то, что произведению двух каких- либо элементов группы 6 например', ЛВ=С, соответствует произведение соответствуюсцих элементов группы 6', т. е.
Таким образом, таблицы умножения изоморфных групп должны быть идентичными и, следовательно, с точки зрения теории абстрактных групп изоморфные группы являются тождественнымн. Если какое-нибудь свойство группы соблюдается также для всех изоморфных с ней групп, то оно называется с т р у к т у р и ы м с в о й с т в о м.
Совокупность свойств, общих для изолюрфиых групп, носит название структуры группы. Отметим, что рассмотренные нами выше группы преобразований (20,5) и перестановок (20,14) полностью удовлетворяют одной и той же таблице умножения (табл. 10) и, следовательно, являются изоморфными.
В том случае, когда соответствие двух групп 6 и 6' не является обратно-однозначным, т, е. один и тот же элемент группы 6' может соответствовать нескольким различным элементам группы 6, то этн группы пазь ваются'г о м о и о р ф н ы м и. Группы могут быть одновременно н изоморфными и гомоморфиыми. Изоморфизм есть частный случай гомоморфизма. 7.
Прямое произведение двух групп. Пусть имеются две группы 61 и Ов с элементами соответственно Л г, Л з, ..., Л„и В ь В, ...В . Допустим, что все элементы группы 61 попарно коммутируют с элементами группы Ов, Если каждый элемент группы Ог умножим на каждый элемент группы Оз, то получим новую систему пш элементов типа А,В,', совокупность этих элементов составляет новую группу. В самом деле, благодаря условию коммутативности Аг Вг ° А; В; = ЛгАк В)В; = А;- ° В) где Ап = Лг Аг — один из элементов группы 6, и В;*=-В; Вг— один из элементов группы 6,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
