1626435910-98d12f7c1a67c8f6e5fdab7067ff707a (844345), страница 38

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 38)

Следовательно, любая совокупность линейных преобразований может быть составлена из матриц соответствующих преобразований. Матрицы данной совокупности преобразований можно называть ее элементами. Совокупность некоторых линейных преобразований с определителями, отличными от нуля, образует группу при соблюдении следующих условий 1) Если некоторые преобразования, скажем элементы А, и А,„принадлежат данной совокупности, то их произведение (т. е. последовательное их применение) или, как говорят, их композиция, А, Л=Л, также принадлежит этой совокупности. 2) В группе обязательно должно содержаться тождественное преобразование, т.е, единичная матрица, удовлетворяющая соотношению ЕА,= А,Е = Аг А; ' А,=Л,А; =Е, также принадлежит этой совокупности.

4) Произведения элементов подчин яются ас социативному закону (А, А,) А л= А, (А, А ). В общем случае коммутативный закон умножения не соблюдается, т. е. А,А,чьЛ А В частном случае, когда все элементы группы попарно коммути- руют, т. е. А,А,=- А,А,;... группа называется абелевской (или абелевой) группой. Число элементов группы носит название п о р я д к а г р у п п ы.

Совокупность преобразований, для которой выполняются только первое и четвертое условия, но не выполняются остальные условия, Рис. 7. Преобразование координат вокруг осн г Рис. 8. Преобразование координат вершин правильного треугольника на плоскости лу называется и о л у г р у и и о й. Совокупность же, составленная из некоторого числа элементов данной группы, подчиняющейся приведенным выше четырем требованиям, называется и о д г р у пи о й этой группы. Совокупность преобразований, образующая группу, может иметь бесконечное множество или конечное число элементов.

В качестве группы с бесконечным числом элементов можно рассматривать преобразования, которые иолуча1отся вследствие вращения пространства вокруг осн г на угол ф (рис. 7), Нетрудно показать, что эти преобразования можно представить в следуюшелг виде (подробности см. в 2 23) (2О,1) 237 3) Если некоторое преобразование (элемент) принадлежит данной совокупности, то обратное преобразование, определ яелгое соотношением 236 х' =- х сов гр — уз(игр, У =Х51иф+УСО5ф. Совершенно очевидно, что произведение Ат, и Лт, (т. е, произведение двух вращений на угол ф, и ~уз) дает Л, Л, = Ат,+те нли (0 1~ < соз 120'— ейп 120' соз 240'— ебп 240' Е= з(п 120') соз 120'/ ейп 240') соз 240'/ (20,3) или А,,А,,=А,+„.

При этом по определению группы матрица А<т,+тп является так>ке элементом данной группы. Конечные группы для нас представляют наибольший интерес. Характернымп примерамн конечных групп являются группы, образованные преобразованием симметричных фигур. В качестве примера возьмем правильный треугольник на плоскости лу (рис. 8) с координатами: (1,0); (соз !20', з(п !20'); (сов 240', з(п 240'). В теории симметрии по определению, совокупности операций, которые преобразуют симметричные фигуры в самое себя, составляют группу (подробности см.

9 2!). Операции вращения, которые преобразуют правильный треугольник в самое себя на плоскости ху, согласно выражению (20, !), должны характеризоваться матрицами с (ср = 0', 120', 240'). (20,2) ей и <р соз <р/ Обозначим эти три матрицы соответственно через Е, г) и Е, т. е. Первая из этих операций, Е, является тождественной операцией, которая оставляет все точки неизменными. Вторая операция, О, представляет собой вращение треугольника вокруг оси г против часовой стрелки на !20'.

И третья операция, Р, — вращение против часовой стрелки на 240' (или вращение по часовой стрелке на ! 20'). Кроме этих операций, тем же свойством (преобразование в самое себя) будут обладать три операции отражения, а именно, 2 2 (20,5) Здесь матрица А соответствует операции отражения в плоскости хг. Эта операция меняет местами точки аз и аз; поэтому матрица этой операции отличается от таковой тождественной операции лишь знаком одного из диагональных элементов. Матрица В соответствует операции отражения в плоскости, проходящей через ах и перпендикулярной к линии, соединяющей а, и а,; как видно из рис.

8, она может быть получена посредством последовательных операций А и Е. Таким образом )~ 3 2 У 3 2 <О ,) — , з 1 2 1 2 Матрица С соответствует операции отражения в плоскости, проходящей через а, и перпендикулярной к линии, соединяющей а, и а,, Она же может получиться путем последовательной операции А и О, т. е. ! 2 1'3 2 1 2 2 "1~ 3 ! 2 2 )Г3 2 1 2 9ЗВ 239 1 2 )' 3 2 (20,4) 2 1 3 2 ! ~'3 2 1 2 Итак, в результате преобразований координат вершин треугольника мы получаем группу, состоящую нз шести элементов- матриц: Е, А, В, С, Р, Р.

(20,6) По определению группы любое произведение двух элементов при любом порядке сомножителей дает какой-либо элемент этой группы. Если учесть все возможные произведения двух элементов этой группы, то можно получить следующую таблицу: Таблица 1О ЕАВСВР Е А В С Ег Р АЕОРВС ВРЕЕгСА С Ег Р Е А В ВСАВРЕ РВСАЕР Е А В С Р 1, 2, 3, ... и. 240 которая называется таблицей умножения данной группы. В таблице наверху написаны те операции, которые надо применять первоначально.

Пользоваться этой таблицей очень просто. Если требуется определить какое-либо произведение из двух элементов, например В С, то в первой строке мы находим С и в первом столбце — В; на пересечении соответствующих столбца строки и найдем значение этого произведения Р. Из этой таблицы видно, что выше отмеченные четыре условия, определяющие понятие группы, полностью соблюдаются. 2. Понятие группы, связанное с перестановкой. Ниже мы увидим, что вообще понятие группы необязательно должно быть связано только с операциями линейных преобразований. Группа может быть построена из операций совершенно другого рода, например, из операций составления перестановок из первоначальной перестановки.

Операции составления перестановок и связанное с ними возникновение групп имеют не менее важное значение для квантовой механики, чем операции линейных преобразований. С теорией перестановок читатель может познакомиться в руководствах по высшей алгебре; здесь мы кратко остановимся лишь на некоторых вопросах этой теории, связанных с теорией групп. Допустим, что имеется перестановка из а элементов, т.

е. определенное расположение некоторых пронумерованных объектов, например чисел, электронов и т. д.; и пусть эти числа представлены в возрастающем (в натуральном) порядке, т. е. 1, 2, 3, ... и Рг Рм Ра ° ° ° Ри~ (20,7) где 1, 2, 3,..., ц — основная перестановка и рг, ра, ..., р„ — последовательность цифр 1, 2, 3, ..., п, взятых в ином порядке. Операция Р, т.

е. переход от основной перестановки к перестановке р 2, рг, ..., р„, совершается путем замены 1 на рг, 2 на ра и т. д. Для простоты рассмотрим три объекта с номерами 1, 2, 3. Здесь мы можем осуществить и! = 6 перестановок, а именно, тождественную перестановку Е=(' ' ), (20,8) и еще пять следующих перестановок: (20,9) Последовательное применение перестановок называется их произведением. Если мы имеем две перестановки Рв и Рд, то их произведение Рв Рд получается в результате применения сначала перестановки Рд, а затем перестановки Рв.

Р Р = ( ' ' 1 ( ' ' ) = ) ' ' ) — Р . 220,2 ° 2 В результате последовательного применения нескольких перестановок получается произведение нескольких перестановок, например, Рд Рс Рл и т. д,, которое подчиняется сочетательному закону, т. е. Рд(рс Рв)=(Р. Рс)Р.. (20,11) Произведение перестановок в общелг случае не комлгутирует.

Всякая перестановка имеет обратную себе. Так, например, 241 Назовем этот порядокосновной перестановкой. Как известно, из этих а чисел мы можем составить и! перестановок. Сама о п е р а ц и я составления новых перестановок из гг объектов, которая также называется п е р е с т а н о в к о й из л объектов, обычно записывается в следующем виде: Здесь, в результате произведения двух перестановок, получается тождественная (или единичная) перестановка. Такие две перестановки называются в з а и м н о о б р а т н ы м и.

Их символически можно записать так: (20,13) Р ° Р— '=Е, Итак, мы установили, что понятия произведения перестановок, единичной перестановки и обратной перестановки аналогичны таковым для линейных преобразований и, следовательно, для матриц. Совершенно ясно, что в связи с этой аналогией к перестановкам можно применить понятие группы. Совокупность перестановок образует группу: 1) если произведение (композиция) двух перестановок, принадлежащих данной совокупности, при любом порядке сомножителей также принадлежит этой совокупности; 2) если в группе содержится тождественная перестановка; 3) если перестановки, обратные элементам совокупности, принадлежат этой же совокупности; 4) если произведения элементов подчиняются ассоциативному закону. Таким образом, в выше приведенном примере, перестановок из трех элементов мы имеем группу нз шести элементов (20,! 4) РА', РВ', Рс", Рьй Рг.

Характеристики

Список файлов книги