1626435910-98d12f7c1a67c8f6e5fdab7067ff707a (844345), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Из сказанного можно сделать еще другое важное заключение: если две (или несколько) операции принадлежат к одному и тому же классу, то соответствующие матрицы данного представления имеют один и т от же характер. Последнее заключение позволяет записать уравнение (22,27) в следующем виде: (22,30) Х Ха>()7>)'Хо>(рэ) а>з = йба где Р> — любая из операций в классе; Х(Р>) — соответствующий характер; а>з — число элементов в классе (т, е, число матриц с одинаковыми характерами); 7> — число классов. Суммирование производится по числу классов.
Уравнение (22,30) в нормированном виде записывается так: ~)(а> (Р>)* ! / ~~)(»> (Р>) 1/ — "'з = <Ъа, (22,31) Г(Р) = 2>а Г (Р), / Х(Р) = Ха7Х>7>(Р) ! 7'= 2',а,7, (22,33) (22,34) (22,35) Последнее выражение можно представить через характеры единичных матриц. Это возможно потому, что 7> =- )!>(Е) и, следовательно, 1~Ха (Е)~ =й.. (22,32) Здесь Е является единичной матрицей. Соотношение ортогональности (22,31) позволяет определить количество возможных неэквивалентных и неприводимых представлений в приводимом представлении данной группы и также кратность их содержания, т. е. число данных неприводнмых представлений Г„встречающихся в приводимом представлении Г. Другнхп> словами, опо позволяет произвести разложение всякого приводимого представления па неприводимые.
Если матрицы приводимого представления преобразованием подобия привести к квазидиагональному виду, элементы которого являются матрицами неприводимых представлений, то очевидно, что приводимое представление Г, Я) его характер, )(7(Р) и размерность 7' могут быть представлены в виде: где д>о (й>)~1>> — и»»' (Р>) 1>> 1> й' 1' Ы представляют собой нормированные и взаимно ортогональные характеры. Если число классов равно >>, то согласно выражению (22,31) эти нормированные характеры можно рассматривать как компоненты системы ортогональных векторов в >>-мерном пространстве. Понятно, что в данном случае максимальное количество возможных ортогональных векторов должно быть равным числу классов; следовательно, ч и с л о н е э к в и в а л е н т н ы х и н еприводимых представлений также равно числу классов в группе.
Такимобразом,знаясистему характеров, мы можем определить неприводимые представления с точностью до унитарного преобразования подобия. В предыдущем пункте было показано, что сумма квадратов размерностей неприводимых и неэквивалентных представлений группы равна порядку группы; ХВ=й 270 ,>;)( Я) 1>»> (Я)' = ~ ~ат у'и (Р) )(»> (Р)>. (223б) л я > Так как по (22,24) Х Х»> (Р) х>п Ф)" = йба то при 1=>' ХХ(Р) Х">(Р)' = а,й' и отсюда = — ~~~ Х Ф) Х"' Ф)ь д (22,37) 27! где а> показывают, сколько раз содержатся в приводимом представлении соответствующие неприводимые представления, т.
е. кратность содержания неприводимых представлений в приводимом; )((Р) — характеры неприводимых представлений и ), — их размерности. Умножая выражение (22,34) на 2<»(Р)> и суммируя по всем операциям группы, получим: Если же выражение (22,36) просуммируем по всем классам операции, то учитывая выражение (22,30), получим а, =- — „'~'х(Рз) ха'(Р)*гам 1 т-ч (22,38) ~Г,()7)„, = О, ~Г2(Р),„„= О, (22,39) Здесь Г (Я),„— элементы матрицы Г (Р) у-го неприводимого представления, а Гу(Я)~, — комплексно сопряженных с ними. Доказательство этой теоремы основано на соотношении ортогопальности (22,17) и на том обстоятельстве, что любой группе соответствует одномерное единичное представление, являющееся совокупностью единичных матриц первого порядка.
Пусть это представление будет ~'-ым неприводимым представлением: Г,(Р,) =-(1), Г,(Рз)=(1)..., Г~Я,) =(1), (22,40) где единицы в скобках означают одномерные единичные матрицы. Тогда согласно (22,17), мы имеем ~',Г,.Я),„, Гз(Р)~т = ХГ7(Р)е„—— О, / Ф 1, (22,4!) что и требовалось доказать. 272 где газ — число элементов в классе. Согласно выражениям (22,37) и (22,38) для определения кратности а, должны быть известны характеры неприводнмых представлений и характеры приводимого представления данной группы.
Как мы увидим дальше, такая возможность разложения приводимого представления группы на неприводимые имеет большое значение для применения теории групп в квантовой химии. 7. Вычисление характеров [20). Определение значений характеров представлений имеет очень важное значение для применения теории групп в квантовой химии. Поэтому считаем необходимым дать полные сведения по этому вопросу.
Здесь будет дан сравнительно простой способ вычисления характеров, основанный на данных, приведенных в предыдуших пунктах. Сперва мы докажем следующую важную теорему: С у м и а с оответствуюших элементов матриц по всем э л е м е н т а м н е п р и в о д и м о г о п р е д с т а в л е н и я равна нулю, за исключением одномерного единичного представления, т. е. Следует сказать, что хотя доказательство этой теоремы вытекает из соотношения ортогональности, однако она не является частным случаем этого соотношения, так как последнее не включает в себя утверждение о том, что любой группе присуще одномерное единичное представление.
Из теоремы (22,39) непосредственно следует, что с у м м а х арактеров по всем элементам любого неприводимого представления равна нулю,за иск л ю ч е н и е м о д н о м е р н о г о то ж де с т в е и н о г о представления: ХХ п(Р) =0 ~Хьл()7)~ = О. (22,42) Действительно, записывая уравнения (22,39) только для диагональных элементов: У; Гу ()7).„= О, я ~гу()7)',е = О, и суммируя их по р, от 1 до 77, где 7 — размерность представления 1', получим ~ ~ Г,()7)„,=~х»ж) =-о, ч; ч',; Г,()7),'ч,=~Ха()7)*=О. 273 Выражения (22,42) совместно с соотношением ортогональпости характеров (22,27) позволяют определить характеры неприводнмых представлений, если известны число всех неприводимых представлений и их размерности. Зная свойства данной группы и исходя из геометрических соображений, мы можем определить число классов (см.
Я 20, 2!). Из предыдущего пункта нам известно, что число непрнводимых представлений равно числу классов в группе. Что касается размерности представления, то ее можно определить по формуле (22,24) или (22,32). Такая возможность объясняется тем, что размерность представления является обязательно целым числом; и при данном определенном числе представлений порядок группы д по формуле (22,24) нли (22,32) разбпвается на сумму заданного числа квадратов целых чисел только единственным образом.
При вычислении характеров необходимо учесть следующие обстоятельства: в большинстве случаев характеры неприводимых представлений рассмотренных нами точечных групп имеют целочисленные значения, включая ноль и также ! =:)' — 1 (для комплексных характеров). Так как абелевые группы, в том числе и циклические группы, имеют только одномерные представления, то их характеры равны элементам соответствующих матриц. Следовательно, для циклических групп характеры могут иметь значения 1, ~(а, -4- ыз, ...
~ о(а — ', где за(-.. ы — а л и и — порядок элемента группы. При этом надо учесть, что 1 —,'- ы + а(а + ... + а(" ' = О. Для определения характеров представлений непрерывных групп можно исходить из общего выражения матриц (22,11) с учетом выражения (22,12). Для большей ясности рассмотрим конкретный пример вычисления характеров неприводимых представлений. В качестве примера возьмем группу Сз„. Данные этой группы представлены в таблице 11. Как видно, эта группа является группой шестого порядка (д = 6). Она состоит из трех классов и, следовательно, число неприводимых представлений также должно быть равно трем.
С помощью формулы (22,24) находим размерности этих трех представлений: )а ! 1а+2а г (=! Таким образом, группа Сз„имеет два одномерных неприводимых представления и одно двумерное неприводимое представление. Характеры одномерного единичного представления должны быть: К~ 1(Ра) = 1 1 Характеры второго одномерного представления определяются по- средством уравнений (22,29) и (22,42): б ~~ ! )1(( з(()7 ) /з 6 ( 274 1 Согласно этим выражениям единственными значениями характеров второго представления могут быть: К"са((Р,).= 1, 1, 1, — 1, — 1, — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
