1626435910-98d12f7c1a67c8f6e5fdab7067ff707a (844345), страница 46
Текст из файла (страница 46)
В обшем случае, когда размерность представления прямого произведения больше размерности каждого исходного неприводимого представления в отдельности, то приводимое представление прямого произведения можно разложить па неприводимые представления при помощи уравнений (22,37) нли (22,38), Для вычисления необходимо иметь таблицы характеров исходных двух неприводимых представлений. Характер приводимого представления определяется по формуле (22,45). В качестве примера рассмотрим группу С<з„! характеры неприводимых представлений приводятся в таблице 14.
Путем простых вычислений с помощью указанных формул можно получить следующие результаты: А,ХА,=А,хА,= А,, А!ХАй= Аь А,хЕ =Е, А,хЕ =Е, ЕхЕ =А!+А,+Е. Если некоторые линейные представления групп 6 и Н осуществляются соответственно матрицами Г(А,.) и Г(В ), то можно показать, что совокупность прямых произведений этих матриц, т. е. Г(А,хд ) = Г(А,)хГ(В) образует представление группы Р = 6хН. При этом, если представления групп 6 и Н неприводимы, то представления группы Р также будут неприводимыми. Ха[!актеры элементов представления группы, являющейся результатом прямого произведения двух групп, определяются по формуле: у [Г(А,хд )[ = т [Г(А )) у [Г(В )).
(22 46) й 23. Группа вращений 1. Изображение стереографической проекции в комплексных координатах. Унитарное преобразование. Группа вращений является подгруппой группы полной сферической симметрии (см. э' 21,2). Последняя содержит повороты на произвольный угол вокруг любой оси, проходящей через центр и отраженная в любой плоскости, проходящей! также через центр. Элементами же группы вращений являются все пространственные повороты. 28! Так как вва =х' +у' (23,6) 5 Рис. 18. Стереографическая проекция координат точки сферы на плоскость яо' ро' = — ор' = (1 + г) ор'.
яо (23,7) х = (1+ г) х'; у = (1+ г)у'. (23,1) х'+уе+ г'= 1, (23,2) мы имеем =1- 1 — (» +у ) 1+ (х' +у') (23,3) $' = сгя+ И( т) = уй+ бт! ! (23,9) с матрицей (23,10) (23,11) $ = х' + гу'. 282 Для описания группы вращений весьма удобно пользоваться стереографической проекцией, которая дает определенное соотношение между координатами точек сферы и плоскости, Рассмотрим г сферу с центром о в начале координат х, у, г и с радиусом, равным единице (рис. 16). Пусть экваториальная д' плоскость хогг будет плоскостью проекции; координаты южного пои люса я будут х =- О, у = О, г= — 1; и координаты некоторой точки р будут х, д, г.
Прямая яр пересекает У плоскость хор в точке р' с координатами х', у'. Прямая ро' перпендикулярна к оси г; и по условию оя =- 1. Из подобия треугольников ро'я и р'оя следует, что Проектируя параллельные линии о'р и ор' на ось х и на ось у, получим Исходя из уравнения нашей сферы На конечном расстоянии для всех точек х', у', г) — 1 и, следовательно, в последнем выражении мы должны взять +1. Из уравнений (23,1) и (23,3) окончательно получим выражения х=, у= ...
г=, (23,4) 2»' 2у' 1 — (ха+уа) 1 + х" -'- у' 1 + х' + у' 1 -1- х' + у' дающие определенное соотношение между точкой на сфере и ее проекцией на плоскости стереографической проекцией, Более целесообразно, если вместо двух вещественных координат х', у' ввести одну комплексную координату $а =- х' — !у' есть комплексно сопряженная с $, то 2$2$~ 1 $5а' х+!у= „,, х — !у=, „, г=- —. (23,5) Далее, представим комплексную переменную ! в виде отношения где т! и $ являются другими комплексными переменными, под- чиняющимися условию Выражения (23,5) и (23,6) с учетом (23,7) приводятся к следую- щим соотношениям стереографической проекции: х = т!ва + $т!а, у = ((т!5 — $т!а), г = вва — тр!".
(23,8) Комплексные числа $ и ч называются однородными комплексными координатами на плоскости проекции. Согласно выражениям (23,8) для любых комплексных значений $ и т! можно получить вещественные значения х, у и г, удовлетворяющие уравнению (23,2). Теперь мы рассмотрим некоторое унитарное преобразование над комплексными переменными 5 и т1, а именно Согласно условию унитарности (см. 9 5, 7) $' $ " + т! т) * = Б" + а!т) *. Кроме того, определитель унитарного преобразования (23,9) по модулю должен быть равным ~1, т, е, аб — уй =- ~ 1.
(23,12) 283 (23,15) или у= — ~* и 6=ае. $' = а$ + р>) т>' = — р* $ + а* ть (23,16) где (23,17) аае + ф* = 1. х' = — (аз + а* — (Р— р* ) х + 2 (23,18) (23,22) — <е+э> 0 а=е г ' ' соз —, 2' (23,19) !. з> 0 р = — )е г ' -яп 2. А,у,т —— — (аз+ (Р— а* — рз) 2 > (ар*+ ц*р) .'— >з — 4> .
0 — >ее ' 81п— (23,20) ' ы+.»> ег ' соз— 2 — — > >з+Ф> 0 >. е 0 ' .соз- 2 > 2 >'е з)ив 2 288 Выберем для данного случая одно из этих условий, а именно: аб — уб = 1. (23,13) Согласно условию ортогональности унитарных преобразований (5,70) ауе+ рЬ*= О, ууе+ 6* = 1. (23,14) Умножая уравнение (23,13) на у* и пользуясь уравнением (23,14), получим Таким образом унитарное преобразование (23,9) с определителем, равным единице, можно записать в следующей форме: Унитарная матрица (23,10) этого преобразования принимает вид: Совокупность таких матриц образует группу вращений.
Коэффициенты а и р называются параметрами Кайлив К л ей н а. Их значения можно выразить через углы Эйлера (6, ф, >р) следующим образом: Здесь >р — угол собственного вращения, ф — угол прецессии и 6 — угол мутации. Отсюда, унитарную матрицу можно записать в виде; Согласно выражению (23,8) и условию унитарности (23,1!) при унитарном преобразовании (23,9) точка сферы преобразуется в новую точку сферы, при этом сохраняются углы между осью вращения и радиусом-вектороМ, проведенным из центра сферы к различным точкам сферы. Таким образом, линейное преобразование (23,9) прелставляет собой вращение пространства вокруг центра (начала коапп пат). Соотношения стереографической проекции (23,8) позволяют перевести линейное преобразование с комплексными координатами 0 и т, к преобразованию в пространстве с вещественными координатами х, у, г.
Действительно, по уравнениям (23,8) х'+ >у' = 2$'*»', х' — >у' = 2$'»'*„г'= $'5" — т>'»'*. (23,21) Подставляя в это уравнение значения $' и т>' из (23,16), произ- водя замену 2Г т> = х+ !у, 2$' »* = х — !у, Б* — т>т>* = г и производя ряд алгебраических преобразований, получим + — (а* + р" — аз — рг)у — (а()+ а*()*) г, 2 у' = — (а' + р* — а' — 6') х -1- 2 + (аз + ае + рз ( ~вз) у + ! (ах (>е цр)г 2 г' = (а(Р + а*р) х -)->'(а~* — а* р) у + + (аа* — р(Р') г.
Соответствующая матрица будет — (аз+цез — яз — еяег) > (аез+р*з — а' — ()з) (ц()+ ае(>~) ~~ 2 — (цз-)-цег-)-рз ( р*г)>(а* ~~ — ц(>) >'(ай* — а*(!) аа* — ()р* ! (23,23) В случае тождественного преобразования )а)=1, р=О. Допустим, что а =а'и; тогда по первомууравнению из(23,22) мы имеем 1 2 (е)22 ! е-)22) — 1 откуда следует, что ф = О, и и а = ~ 1.
Таким образом, тождественному элементу соответствует два уни- тарных преобразования с матрицами Е= и — Е= Это рассуждение показывает, что унитарное преобразование (23,16) приводит к одинаковому вращению, когда унитарные матрицы отличаются только знаком. Рассмотрим частный случай линейного преобразования, когда 8 = 0 и, следовательно, по (23,19) а = е ' , аи = е' ' р = (1» = 0 ()р' = ф + ф). (23,24) Как видно из этих условий, этот случай относится к преобразо- ванию при вращении вокруг оси г на угол ф = ф'. Подставляя эти значения в (23,22) и пользуясь известными формулами Эй- лера, получим Х = ХСОзф — Уз!пф, у =хз!пф+усозф, е =е (23,26) и отсюда созф — ып)р ) А„и.о= 51п ф соз )р (23,26) «1 = й' Ч', (1=0, 1, 2,..., о).
(23,27) В предыдущих параграфах мы довольно подробно познакомились с совокупностями таких матриц, (с различными значениями ф), составляющими группы. 2. Представления группы вращений. Для получения представлений группы вращений вводим следующие соотношения: Если выполнить над $ и Ч преобразование (23,16), получим; $" 'Ч'=(а4+ 6Ч)и ' ( — р»$+ а»Ч)1. (23,29) Применяя формулу бинома Ньютона, получим Л)"' = ~~„', а)»~Во «Ч», (1= 0, 1,2,..., о), (23,30) »=о $о — 4 Ч» )74 = «»' — —, (й=О, 1,2, ...,о) )/ (о — )2)! й! )/(э — й)! й! или ~,)и — 4) ~» д»1") = Ч, (я=0,1.2,...,0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
