1626435910-98d12f7c1a67c8f6e5fdab7067ff707a (844345), страница 17
Текст из файла (страница 17)
93) 'р =!2(«о л, уо у; г„г), т. е, Последнее выражение ц носит название оп р и в е д е н н о й м а с- е ьы. В уравнении (9,921 собственну2о функцшо Ч" (х„, у„, г„х,у, г) 11! ратор Гаа!ильтона принимает вид где и, и М вЂ” массы электрона и ядра соответственно, Здесь х„у„г, и х„уо, г, соответственно являются координатами электрона и ядра. Уравнение Шредингера д.чя этой системы будет Я2 2п!о 1, г / т72 Ч' + — 7 ! Ч' + Е + — ' ! Ч" = О. (9,85) Вводим координаты центра тяжести Мх,+ и!,х, Му,-,'- п2,У, Мго+ ш„г, М+п2, ' ' М '-и!о ' ' М-',-п2, х=х,— х,,; У=У, -у.,; г=г,— го (987) Из этп«выражений следует, что в уравнении Шредингера (9,85) координаты х,, у,, г, и «2, у.„га и Ч" (ль уь г,, «,„уо, га) могут быть выражены, как функции от новык координат л, «, уо у; г„, г, т. е.
«2 =- Ч'2(хо «)! У~ -' 212(У: У)' г" = (р2 (го г); ' «2 = Ч' («о «) Уа = Ч2 (Уа У) г. = ора (га г) решая уравнения (9,85) и (9,87) относительно х„у„г, н «2, уа, г„ получаем !1И до '1' 2 дх! д- Ч" дх. Д2 212 ) 2 п2а ')2 до Ч" п2о да Ч' М вЂ” , 'и!27 Дха М + то дло Дх с М 2Д2Ч2 М Д2Чг .,— — 2 М п22) дх,, М т и!о дходх с '.)' то !)'Да Ч', ьчо да Ч' -+2 — й— — шо! Дуо М вЂ”,- п2о ДуоДУ Д- Ч" +- — ' д«2 ' Д'-'Чг + ---, д«2 Да '1' + —, ° дуг можно представить, как произведение двух функций Ч' = ср(х, У, е) Ч»о(хо,Уо ео). (9,9 4) Тогда нетрудно показать, что уравнение (9,92) может быть разделено на два уравнения: 2М+ то сро фо + '- Ео Ч'о = О (9,95) Чз Ч/+ —., Е+ —" Ф =- О.
(9,96) Первое уравнение (9,95) определяет движение центра тяжести, а последнее уравнение (9,96) определяет движение электрона относительно центра тяжести. В случае водородоподобных атомов задача с учетом движения ядра сводится к определению движения электрона по отношению к центру тяжести. Поэтому исходным уравнением должно быть последнее уравнение (9,96). Таким образом, мы пришли к заключению, что для учета движения ядра достаточно в уравнении Шредингера для электрона в поле заряда неподвижного ядра заменить массу электрона т, приведенной массой '= М,+"'., М то (9,97) где индекс е при |л и М указывает порядковый номер ядра.
Соответственно уравнению (9,96) значение энергии такой системы будет: — р., ео 2з )7~ 2ийс Е~ (9,98) 2йз Р 1+(исо/М,)Р' Так как /по/Мс~, 1 и, следовательно, р.,/то.=1, то"'выражение энергии атома водорода Ее=с является хорошим приближением для энергии водородоподобиых атомов с Е = 2,3,4.... 6. Собственные функции водородоподобных атомов и их свойства. Из уравнений (9,4!) и (9,71) следует, что полная нормированная собственная функция, не включающая спиновые функции водородоподобного атома, может быть представлена в следующей форлсе: Чго с „, (г, д, ср) = К„/(г) О/ (д) Ф„и (»р) = ' (2/ -|- 1) (/г — 1 — 1) ! (! — т) ! ( Ц /з (2| с) ' пи' ((/г + 1)! )з (! + т,)с Ъ 'Л ао/ ~ и / — — '.
( Гз( 1', ~/т (9,99) 2 где р = — г. Индексы и,/, /и, означают, что эти функции вклюао ' 112 ! / 7лз/з )/ ° / я »» 3/з 1"» оо - ='!' з» = — = — (2 — и) е — ':/з 4 Р»2и ао / тсз/з 4 !/2и ао / 7 сз/з 'росс — = Ч'зр, —— - ~ — ) се —:/' з|п дсозср, 4 2и а, / я со/з ! с — с гв Чсзо = — = — ~ — с»е з/з зсп д зсп сР, 4 )/2п с,ао) / 2,з/з '1'зоо — = Ч'3» = ~ — ) (27 — 18" + 2»') е — '/з 81 Р/Зп ао 2 / 71з/з Ч'зсо = Чсзе» = — ~ --) (бр — ) е — л/з соз д, 8! р/и ~~,) 2 / Я'со/з Ч'зц — = Ч'зр, = —. — ~ — ) (б; — ') е — '/ззспд сов ср, 8! ! ~.) 2 / Ялз/з Чс,»с с ю Ч/зр — — — —.—.. ~ — ) (бр — сз) е»/зз!п 6 ебпср, 81 )'и ао г»/з Ч"»ио — = Рзе» = —.
( — ) рзе о/з (Зсоззд — !), 81 р' гс а,) рг 2 / 21~/ '!"ззп = — Ч'зе,з = - — — ~ — 1 с.-"е-л/зз|п д соз д соз ср 81 рс 'р~2 / 2с|"', '1 зз — с '!'зег»=- - ---,--1 — ) с'е-с/за!п 6 соя 6 з|п ср, 81 !' и лао) Ч/ Чс ззз = ЗЕ р» г»1 » я 1з/з — с' е л/з э| по д соз 2ср, 81 !'2и |а, / т с, з/з Чсзз-з — = 1~зе„~= —;.=- — рзе — л/за!пз д айп 2ср.
81)72и сса„) (9,99а) чают квантовые числа и, /, тг Как видно, выражение (9,99) довольно сложно, однако получение окончательных результатов при данных и, /, и, не представляет собой трудности, особенно при малых значениях квантовых чисел. Ниже даются значения полных собственных функций водородоподобных атомов, соответствующие квантовым числам и= 1,2, 3, /=О, 1, 2 и т, = О, ~1, --' 2. 4 Ю'(г)>о> == /2» (г) г» = — — г- с з (9,102) Пояснение об индексах х, у, г, хг и т.
д. при 7> и с( будет дано ниже. Теперь мы рассмотрим некоторые важные свойства этих функций. Как было отмечено, радиальная часть собственной функции характеризует вероятность нахождения электрона по радиусу-вектору. /т>» (г) представляет собой вероятность нахождения электрона в единице длины. Если мы имеем шаровой объем, то элемент объема равен с/а =. 4яг»с/г. Следовательно, вероятность нахождения электрона в этом элементе объема будет 4ягЧст(г) с/г. Вероятность же нахождения электрона в шаровой оболочке на расстоянии г от ядра будет равна )й" (г) = 4ягн )ст (г). (9,100) В некоторых случаях, для целей сравнения, более целесообразно представить эту вероятность без 4п, а именно )4' (г) =- /т>» (г) г"-.
(9, 101) Прн рассмотрении ьн (г) становится ясным, что существует вероятность нахождения электрона на всех расстояниях от ядра. Однако эта вероятность очень быстро падает до небольшой величины по мере возрастания г. Из сказанного следует, что электрон, в противоположность представлениям старой квантовой теории, пе локализован. Электрону приписывается некоторое пространственное распределение в виде «облака»; причем плотность этого электронного «облака» в любой точке характеризуется квадратом волновой функции.
Следует указать, что это положение можно представить и другим образом, а именно, что электрон может находиться в той или иной точке пространства больше или меньше времени (с точки зрения относительной частоты или продолжительности пребывания). Для наглядности радиального распределения электронной плотности па рнс.
2 представлено распределение вероятности поломсепия электрона па шаровой поверхности (В' (г):- /7» (г) гт в зависимости от г для атома водорода (т. е. для Я -- 1). 11з этих кривых можно сделать следующие заключения. Функция вероятности, в зависимости от г, проходит через максимум (пли максимумы), т. е. существует область, где вероятнее всего пайгп электрон (плотность электронного облака напболыная). Поло>кение максимума можно найти, приравнивая производную >!са (г) -- -- ну!по. Так, для водорода (2-= 1) в нормальном состоянии ~!г (и -.= 1) Отсюда 7 = а, = 0,528 А. Таким образом, максимальная плотность атома в нормальном состоянии находится точно равном боровскому радиусу первой б,б 04 40 00 07 О! 2 4 б В !О !2 74 70 !В 20 а 07 0 В !7 !б 20 74 2В 32 И40 '- 0, с О, 400 4 В !2 75 20 74 20 32 Вб 40 г Рис.
2. Знннси»ость )7» (г) г» от г а) ~>ьсостояния, б)нр-состояния, н)»с)- и и/-состоюиня й ' 075 «05 0,00 И Мю б 070 ВВ (9, 103) электрона водородного на расстоянии от ядра, орбиты, г>)»'(г)>оо 8 — "с а 8, т, н с/г ао з с!о При рассмотрении собственных функций возбужденных состоя- ний водородоподобного атома мы можем отметить следу>ощую зако- номеРность, ф«„„, >1»оо,, >)>ььь зависит только от г и поэтомУ электРон. 115 (9,104) ч = а, + 1. а/ «/Рр а,= а — р = (п+ () — (2(+ 1), отсюда а,=п — ( — 1; (9,105) ч = п — (.
(9,106) фы=фр ='~, — созй=г, ,Г 3 »в= р« т,=О„ и (9,107) 5!и б сон ср х, т,=1, Фм ='рр,= 51 и д 51п !р = у, и, = — 1. »и! — != "рр = р ное облако этих состояний обладает сферической симметрией и ие зависит от и и !р. Однако при некоторых значениях г появляется ряд максимумов электронной плотности, которые постоянно увеличиваются по мере роста г. В некоторых местах р(в (г) г' обращается в нуль. Количес~во шаровых узлов п и, следовательно, количество максимумов определяется числом членов присоединенного полинома Лагерра.
А число членов этого полинома определяется максимальным значением показателя степени для г. Если а„— максимальное значение степени, которое обычно называется «радиалш»ым квантовым числом», то естественно, что количество членов полинома будет Здесь учитывается также член с нулевой степенью г. Как мы видели в э 7,5 и з 9,3, максимальное значение показателя степени г в присоединенном полиноме Лагерра равно и, следовательно, количество членов полинома, которое равно количеству шаровых узлов, будет Как видно из кривых рис.
2, количество максимумов также соответствует выражению (9,106). Из кривых видно, что плотность электронного облака распределяется в виде стоячих волн по шаровому объему; причем эти максимумы плотностей постепенно уменьшаются по направлению к центру. В то время, как все !!5-состояния не зависят от и ср и электронная плотность распределена вокруг ядра по шаровой симметрии, состояния же пр, пй, и( ! и д. зависят от д и <р и, следовательно, распределение электронной плотности по различным направлениям ие одинаково.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
