1626435910-98d12f7c1a67c8f6e5fdab7067ff707a (844345), страница 20
Текст из файла (страница 20)
и). (!0,42) Количество таких уравнений равно и, так как /=-1, 2,..., и. Согласно предварительному условию, собственные функции >)>а,. ортогональны между собой и нормированы, т. е. Я!,=- ~ >)>»1 Ч>»1 1!т = О, / Ф 1 5/1= ) '!»/Фл!с/т = 1. Г,о о 129 5 О К. дввтвв Тогда выражение (10,42) может быть записано в следующей форме: (и, — Е»( ') с„-1- и,з сг +...
+ и,„с„= О, (1) иг, с, -1- (игг — Е» ') сг +... + иг с„=- О, (1) (10,43) и„, с, + и „, с, +... + (脄— Е'„)) с„=- 0 Эти уравнения, соответствующие выражению (!0,42), представляют собой систему и однородных линейных уравнений с а независимыми переменными с,, с„..., с„. Если эта система уравнений имеет нетривиальное решение, т. е. решение, отличное от нуля, то определитель из коэффициентов при с,. должен равняться нулю, т. е. (1) (и(1 — Е» )и(2 ...и(а иг( (игг — Е» ) ... иг (1) (10,44) и„)из... (脄— Е» ) (1) Эго уравнение, как было уже отмечено, называется вековым или.характеристическим уравнениема. Для определения Е» ) мы имеем уравнение п-й степени, которое благодаря соотношению ил — — и;; (самосопряженности) имеет п действительных корней.
Таким образом, благодаря возмущению вырождение в общем случае снимается и для поправки к собственному значению энергии Е» в первом приближении получается п значений: Е»1, Е»г, . Е(, . (1) (11 (1) б) Определение собственной функции нулевого пор яд к а. Определение собственной функции, соответствующей какому-либо корню Е'„"; векового уравнения (10,44), производится подстановкой значения Е»(11' в систему уравнений (10,43).
Разделив каждое из и — 1 этих уравнений на с„, можно в явной форме определить п — 1 отношений: с, с, с„ (10,45) Для полного определения всех коэффициентов с необходимо еще использовать условие нормировки: (10,46) с( с( + сг сз + ... + ся сз = 1. " Название »вековое уравненная заимствовано нз астрономии, в которой прн расчете вековых возмуп(еннй применяются уравнення такого типа. !30 Таким образом, определяя с,, из уравнения (10,30), т. е.
о Ч(» =' ч~~~ с((Рм, получаем собственные функции Ч"», нулевого порядка, соответо ствующие 1, 2,..., 1 корням векового уравнения. в) Обобщенное вековое уравнение. Часто бывает целесообразным проводить вычисление не с величиной Е( ', а с полной энергией Е» возмущенной системы, включая член первого порядка малости. С этой целью к правой части уравнения (10,34) прибавим выражение (Е» — Нс) Ч'о», „'которое равно нулю. Тогда получается, что (Нз — Е",) ф»" = (Е» — Н)Ч",'. Исходя из этого уравнения, аналогично тому, как было получено уравнение (10,42), находим з ~; с,(Н,— 5лЕ») =О, (1=- 1, 2,..., п), (10,47) где Н„== (фо' НФ', (т, 5'=5 Ч' ф ((т, являются матричными элементами оператора Гамильтона и единичного оператора. Кроме того, для обобщения считаем, что собственные функции )()»( не ортогонализированы. Тогда вековое о уравнение для определения Е, может быть представлено в такой форме: Нм — 51, Е» Н(2 — 512 Е» ° .
Н(л — 5(з Е» Нг( — 5г( Е» Нгг — 522 Е» ° ° Нг — 52з Е» = О. (10,48) Нз( 5л) Е» Нз2 — 5чг Е» . Нпв 5вя Е» Это уравнение п-й степени относительно Е, будем называть обобщенным вековым уравнением. г) Определение поправки в первом приближении к собственной функции. Поправку )р»" можноопределить аналогично случаю простых собственных функций. Для рл 13! й 11. Вариациоиный метод Š— Е„ т» с» (О) = й„ 11, /2=и (О, /2ф П. (10,60) (11,1) с»(1) = 6„». !) (10,61) (11,2) = — — и (1)е 1 !» »«» где (10,62) откуда (11,3) или Е = Х с! с/ ) )()! Н)1)/)(т.
и (11,5) есть матричный элемент возмущения и(«/, 1), боровская частота перехода Š— Е». Решениеуравнений (10,59), представляющих собой систему совместных дифференциальных уравнений, дает значения всех с (1), в зависимости от времени. Для решения этих уравнений предполагается, что в начальный момент (при 1 = О) система находится в состоянии /2 = п, следовательно, Е, = Е„ и Если и(д, 1) рассматривать как малое возмущение, то в нулевом приближении в уравнении (10,59) для с»~(1) можно использовать значение (10,60), т. е, При этом решение уравнения (10,59) дает первое приближение для с,„(1), т.
е. Ис»«(1) ! 2~$ о ! ! !!) с(1 !» л«м = — — У. с»(1) и» (1) е с'"(1) = — — „и „(1) е! 'с(1+ Ь „. (10,63) о Подстановка коэффициента первого приближения с (1) в урав!)) пение (10,59) вместо с» (1) приводит к выражению для второго приближения: )/с (1) ! ))) )2) )11 — — ~ь с» (1) и,„(1) е»!» . (10,64) Продолжая таким же образом дальше, принципиально можно прийти к точному значению с„(1). Однако следует указать, что при малом возмущении и (д, 1) достаточно ограничиться первым приближением или вторым приближением. 134 Как было отмечено в предыдущем параграфе, наряду с теорией возмущений, вариационный метод является одним из главнейших методов приближенных квантово-механических расчетов сложных систем. В этом отношении вариационный метод отличается большой простотой и, подобно теории возмущений, в принципе позволяет решать задачи с любой точностью.
1. Основная теорема вариационного метода. Условие минимума энергии. Варнационный метод основывается на следующей теореме. Если самое низкое собственное значение оператора Гамильтона Н равно Е, и Ч' — произвольная нормированная функция (которая соответствует рассматриваемой задаче), то ) Ч/«НЧ'сИ ) Ео> т. е.
интеграл ) Ч/*НЧ")/т никогда ие может быть меньше истинного значения минимальной энерг и и с н с т е м ы. Причем,'под словом «истинное значение» энергии понимается минимальное значение из всех принципиально возможных вычисленных значений энергии для данной системы. Эта теорема доказывается очень просто. Нам известно, что произвольная функция Ч' может быть разложена в ряд по нормированным н ортогональным собственным функциям ф! любого оператора, например, оператора Гамильтона Н (см. 9 2, 6): Ч" =~2с!)Рь (!'=1, 2, ..., 1,...), с, = ) )р! Ч/)/т.
Если функция Ч' нормирована, то ) Ч/«Ч!)/т = ~ с! с! ) )р; «))! «1т=1 ~~.', с; с, = 1. Рассмотрим теперь наш интеграл (11,1), включающий Ч', обозначим его через Е, т. е. Е= ) Ч НЧ«(т. (11,4) Подставляя значение Ч" из уравнения (11,2) в последнее уравнение, находим (11,6) нч,г = е, ф„нч7, = е, Ч,. (11,!! ) Е=~ с;с,Е,.
г ~с;с»= 1, мы можем записать, что Š— Ео = ~~Г с; с, (Е, — Ео). (1 1,8) о Ч"=~~~с Ч; (11,12) г — ! Ег)~ Ео то по (!1,8) (11,9) Е )Ео Е = Ео — — — ~ Ч"'НЧ'с(т. (11,13) Здесь ггй и Ч, являются собственными функциями оператора Га- мильтона и, следовательно, Учитывая взаимную ортогональность собственных функций уравнение (11,5) можно преобразовать к следующему виду: Последнее уравнение получается для г = 1.
Принимая во внимание, что при этих условиях по уравнению (11,3) Здесь Ео — исгинное значение энергии. Так как с, с, всегда положительно или равно нулю и по условию Ео является наименьшим, т. е. и, следовательно, Е = ) Ч'* НЧ'с(т )~ Ео, что и требовалось доказать (11,10) В уравнении (11, 10) знак равенства имеет место только при условии, если собственная функция Ч' совершенно точная, т. е. соответствует истинному значению энергии Е, (минимальному значению энергии). Из приведенной теоремы следует, что существует последовательность допустимых функций грг, фг, ..., гр»,..., соответствующих минимальным значениям энергии Е„Е„..., Ем ..., которые находятся из уравнения (! 1, 10).
Такая последовательность допустимых функций называется м и н и м и з и р у ю щ е й, а интеграл (11,10) называется м и н и м и з и р у ю щ и м интегралом. Задача вариационного метода заключается в нахождении минимизирующей последовательности. Это достигается тем, что в качестве так называемой «пробной вариационной фу~кцииг выбирается последовательность функций, которые содержат некоторое число неизвестных параметров аг, аг, ...,а . Определение этих параметров производится 136 на основании вышеописанной теоремы, а именно, исходя из экстре- мальных значений интеграла (11,10). В результате получается сле- дующая система уравнений: дЕ дЕ дŠ— =О, — =О,..., — =О, да, ' да, ' ''' да, Последние уравнения являются условием нахождения минимума энергаи. В следующем пункте и в следующих параграфах дается подробное описание метода и решении конкретных задач.
2. Вариациониый метод Ритца (2051. Необходимо отметить, что вообще успех решения задач вариационным методом в основном зависит от выбора вариационной функции. В этом отношении наиболее важным является вариационный метод Ритца. Метод Ритца исходит из того положения, что вариационная функция Ч' может быть выражена в виде линейной комбинации независимых функций грг, грг, ..., грь ..., ф„, т. е. где с,, со,..., с„являются независимыми параметрами.
Если о в уравнении (! 1,12) ~ с,гр, составляет полную систему (см. 22,6) с=о функций, то прн варьировании этих параметров можно получить такую вариационную функцию, подстановка которой в уравнение (11,10) приводит к истинному собственному значению энергии, т. е.
Таким образом, варьировапие параметров полной системы разумно выбранных функций в принципе дает истинные значения собственноп функцип Ч" и энергии Ео. Однако, если даже выбранная система функций не полная, мы можем путем выбора соответствующих параметров получить такое минимальное значение интеграла (11,10), которое равнялось бы наименьшему из возможных минимал ьных значений Еь Для того, чтобы получить наиболее быструю сходимость ряда (11,12), берется некоторая, как правило неполная, система функций грг, грг, ..., гр„, которые должны соответствовать данной задаче.
Из этих функции составляется пробная вариациопная функция в виде линейных комбинаций (11, 12). Параметры с; определяются из условий минимума энергии (11,11). Если функции ф, выбраны удачно, то даже при ограниченном количестве членов ряда (11, 12) в большинстве случаев получается достаточно хорошее приближение, 5В О. К, доогяо 137 (11,14) (11,15) "~~~с!(Нт! — 5, Е) = О, !=! (11,22) или Е ~~.", с; с,. 5,.
= ~~~ с! с Ь !й /1'' ' !! (11,!б) где здесь !' = 1, 2,..., и. 7 = ) Ч"*(Н вЂ” Е) Чгдт)~0, (11,23) — =0 (!'=1„2, ..., и) дЕ дс,. дŠ— =0 (!'=1, 2, ..., и) дс! (11,18) ( = ) ~~'., с; ф! (Н вЂ” Е) ~ г, ф, дт. (11,24) д7 — =0 дс, д7 — =0 дс,. (! = 1, 2,... и), (! = 1, 2,... и). (11,25) 5В* !зв Нормировка вариационной функции Ч' не является строго обязательной, поэтому выражение энергии в общей форме мы можем записать так: ) Ч""НЧ'дт Е=— ~Ч~~Чдт Используя выражение (!1,12), мы имеем ~с! с ~ф! Нф дт ~~~с!с!Н г! !! Е=— ;~; с' ,с! ~ ф,',р,, дт ,')"„с!' с,. 5т! /! Н„= Ь/Нф,ат, 5д — — 1ф!ф!((т (11,17) являются матричными элементами оператора Гамильтона и единичного оператора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
