1626435910-98d12f7c1a67c8f6e5fdab7067ff707a (844345), страница 13
Текст из файла (страница 13)
(Š— 1/) ф = О, дх» ду» ' дг» ' д» где Š— энергия системы н 1/(х, у, г) = 1/, (х) —; (/ (у) + (/,(г). (8,2) Уравнение (8,!) можно решить методом разделения переменных. Для этого функцию ф(х, у, г) представим в виде произведения трех фуккций: Таким образом, где Х=О и — =0 А(о Х Нх' (х ( О, х > а), (8,7) нли А 2 Е = — (л = 1, 2, 3,...). ИА5 8та' (8,14) А(о Х, 2т г!хо ' йо + — Е Х=О, (8,8) откуда (8,9) (8,15) Е,=— У т 8тЬ' (8,! 6) (и,, л,) = 1, 2, 3...
игй А А 8т с' В= — ' а и С=О, (8,1!) (8,17) где и,=1,2,3... и по(8,10) Х = Аз!и — "х п„п а (иА = 1, 2, 3... ) (8,12) (8,18) (л,,пип,=1,2,3,...) откуда А = ! ~ —. Е = Е, -,'- Е + Е,. (8,6) Теперь мы можем рассмотреть эти уравнения в отдельности.
По первому уравнению из (8,5) условие УА= оо при х)~а и х(О может соблюдаться в том случае, если т. е. если вероятность нахождения частицы у стенки ~Х)о рав- на нулю. В области 0 (х (а (внутри ящика), когда УА = О, мы имеем йо 1 спХ Е 2т Х А(х' ' Решением уравнения (8,8) является функция Х = А з!п(Вх+ С), (8,! 0) где А — нормирующий множитель, В и С вЂ” постоянные. Значение этих постоянных величин можно определить из граничных условий.
Действительно, по (8,7) при х = 0 и х = а, Х = — О, отсюда 81'п С = О, гйп (Ва + С) = О, следовательно, Постоянную А мы находим из условия нормировкк Так, )Х,'оНх= А' з!и' — 'х А(х= 1, о о Х = 1 — з!п — ' х (и„= 1, 2, 3,...). (8,13) 1А а а Подставляя последнее уравнение в (8,9), получим значение энергии в виде п~ пой ' ЕА= г (8,14а) Аналогичным образом, решая остальные уравнения (8,5), получим /2 . пгя )А= от — з!п — у, Ь Ь /2.л,я Е= 1/ — $1п — Аа с с Из уравнений (8,3) и (8,6) следует, что /8, л,я . итп . л,я Ч'= 1А — з!п ' хз!п — 'уз!п — Аа 1/ аЬс а Ь с Таким образом, согласно (8,18), возможные значения энергии движения частицы в потенциальном ящике образуют дискретную последовательность, которая соответствует целочисленным значениям л„п„ил,,называемым квантовымн числами.
Посредством уравнения (8,18) нетрудно проверить, что для макроскопических размеров ящика эти дискретные уровни так мало отличаются 83 где 6=— Ь 222чо Рх Р= т — = — йх, Д(2 к к У = — Ро(х = И ХИХ = — йхо 1 2 о о (8,19) (8,24) или где (8,2! ) — + — (Š— 2яочотх2) 2Р = О.
о(2 ф 2т 2(Х2 62 (8,25) х = а соз(оМ вЂ” Ь). (8,22) Вводя обозначения: 2т а 2ячот а= — Е $2 ' 6 (8,26) Д2 2Р— + (а — Рохо) ф = О. ЙХ2 откуда (8,27) 222 =- 2лч . Т= о. По (8,21) и (8,22) следует, что г, = ЯТ()х. (8,28) й=то2 =4я чот 2 2 2 (8,23) Тогда х = асоз2пч (1 — 6), 84 85 друг от друга, что распределение энергии можно считать непрерывным, поэтому для определения энергии поступательного движения частицы можно пользоваться классической механикой. Однако, как было отмечено, полученные результаты имеют большое значение для квантовой статистики молекулярных систем.
2. Линейный гармонический осциллятор. Колебательная система, представляющая собой частицу с массой т, совершающую движение по прямой линии (например, по оси х) под действием силы Е, пропорциональной смещению х частицы от положения равновесия, может быть названа линейным гармоническим осциллятором. Согласно этим условиям где й — постоянный коэффициент, представляющий силу, возникающую при смещении х = 1. Это уравнение можно записать в виде о(2 х — +аох= О, Йо (8,20) Нетрудно проверить, что общим решением уравнения (8,20) является Здесь а и Ь вЂ” произвольные постоянные. Так как движение ! является периодическим, то, если Т = — есть период колебания, чо где ч, — линейная частота колебания осциллятора, тогда сов (221 — Ь) =- сов (в (1+ Т) = — Ь), Кинетическая энергия осциллятора равна Ео — — — т ( — 1 = 2тяо чоа2 з(по 2ячо(1 — 6), 2= 2 ~У~ а потенциальная энергия при некотором значении х будет У = 2я' чо тх2. (8,24а) При этом считается, что в положении равновесия (х = 0) значение величины потенциальной энергии принимается за нулевое.
При решении уравнения Шредингера для гармонического осциллятора выражение потенциальной энергии (8,24а), полученное с помощью классической механики, войдет в оператор Гамильтона без изменения, поэтому уравнение для этой системы можно записать в форме: перепишем уравнение (8,25) в следующем виде: Далее, для еще большего упрощения, вводим безразмерную пе- ременную: 2( о( д~ — 2( о(2 ~1 2' — 2( '1 НГ, Ф вЂ” = — — =У~ —, — = — ~~~ — ) — =~ —. ~(х ~(~ 2(х д~ ' 2(хо о(с ~ ~Ц ) 2(х Я2 ' и, следовательно, — „1+ — — ч2 2р= О. (8,29) 2), = Се — '*/ Н„(С), (8,36) (8,30) Е+Ы ~'У~ ь д2 ( (8,31) — Д2 л- 1)еэп/* 2/2 ф 4/2 2 а так как $ З 1, то (8,38) — ~ = ч2Е~М/ = ч2 ф.
Д~я 2Р = Š— П/. (8,32) 2) Я) = Н(ч) е — /, (8,зз) /я2 А — — 2$ +( — — 1 Н=О. <~Н 4/Н ( а (8,34) Решение этого уравнения должно удовлетворять стандартным условиям (регулярности) волновой функции, а именно, условиям непрерывности, однозначности и конечности при всех значениях й. Для интегрирования (8,29) сначала рассмотрим предельный случай, когда $ имеет очень большое значение $ ь 2/ — 1 .
Тогда / а! величиной а/р можно пренебречь по сравнению с я2 и, следова- тельно Решением этого уравнения является 2Р = Е+"/~ Это можно проверить дифференцированием 2р по Ч: Как было указано, функция 2р(ч) должна быть конечной прн всех значениях с (включая — со и + со). Это значит, что !из двух возможных решений (8,3!) удовлетворяет только Принимая во внимание это предельное решение, можно предпо- ложить, что искомое решение уравнения (8,29) ппедставляется в виде где Н($) — неизвестная функция, которую требуется определить. Подставляя функцию (8,33) и ее двухкратную производную в (8,29), мы находим, что Дифференциальное уравнение такого типа носит название уравнения Чебышева — Эрмита; решением его является олином Чебышева — Эрмита, который можно представить в следующей форме: Н (Ц= ( — 1)пе'*- (л = О, 1, 2...).
(8,35) 4/2 (е — ) Таким образом собственная функция гармонического осцилля- тора выражается в виде где С есть множитель нормировки. Можно показать, что собственная функция (8,36) для всех положительных целочисленных значений л (включая и нуль), обладает всеми свойствами регулярных функций. Для большей ясности задачи определим функцию Н(я) посредством разложения ее в степенной ряд Н (С) = а, + а, С + ах С2 + аа С -'-, а4 С' +... (8,37) Производные этой функции будут: — = а2 + 2ае ч + за2 ч2 + 4а4 ч2 -1- 5ав."' + ..
йН с~ 4/2 Н вЂ”, = 2аэ + ба2 с + 12ах с2+ 20а,-12+ ЗОа4 Р4+ .. Подстановка этих производных в уравнение (8,34) дает /а /а 2ае+ ~ — — 1) + ~баз — 2а2+ — — 1 а, ч+ 12а4+ 4ая+ ( — — 1 ае ч2+... = О. (8,39) Ф ! 1 По закономерности изменения коэффициентов с возрастанием степени ч нетрудно догадаться, что л-й член уравнения (8,39) имеет вид: Уравнение (8,39) должно быть справедливо при всех значениях 2,; а это может быть' в том случае, если коэффициенты в отдель- ности при Ч в любой заданной степени (включая и 2") равны ат нулю, Для члена, содержащего ~", тогда мы имеем /а (и+ 1)(и+ 2)ао+о — 2иа„+ ~ — — 1 а„= О, (8,41) откуда а 2и — — + 1 (и = О, 1, 2, ).
(8,42) а„ (и '; 1)(и + 2) Посредством этого уравнения можно определить коэффициенты степенного ряда (8,37). Как было указано в 3 7, 3, уравнение типа (8,42), определяющее коэффициенты степенного ряда (в данном случае ряда (8,37)), называется рекуррентной формулой. Согласно этой формуле, если известно значение коэффициента аоо то можно определить значение всех коэффициентов, соответствующих всем четным степеням для (а,, а„а, и т. д,); если же известен коэффициент а,, то можно определить все коэффициенты, соответствующие нечетным степеням для ч, (ам... а,.
а; и т. д.). Рассмотрим теперь поведение степенного ряда (8,37) при больших значениях показателя степени величины ч. Оказывается, что при достаточно больших его значениях и этот ряд ведет себя подобно ряду для е-'*. В самом деле, известно, что йо ~о+о е-'* = 1 Ч- — -1- — -1-... + + — — +...
— — +1 1 ОбозначаЯ коэффициенты пРи 7," и ~о+о чеРез Ь„и Ь„м мы можем записать рекуррентную формулу для последйего степен- . ного ряда в виде Ь„., (2 ) Ь„! '1 1 ) †и)1 †и 2 ) 2 В предельном случае, когда и является большим (и)> 1) Ь, з 2 Ь„и ' Из рекуррентной формулы (8,42) видно, что и степенной ряд (8,37) при больших "значениях и ведет себя таким же образом, а именно и„~о 2 а„и Это значит, что для больших значений и П(ч) возрастает как еп и, следовательно, согласно (8,33) собственная функция й(~) становится эквивалентной выражению е —: О*епб = еп~ . Из этого выражения следует, что если, ч-» оо, то ф(х)-» оо, что не может удовлетворить условиям регулярности волновой функции. Однако, как мы сейчас увидим, при некоторых избранных значениях а7р степенной ряд (8,37) обрывается на некотором члене и обращается в полинам, В этом случае собственная функция 'ф(ч) будет равна произведению полинома Ь (ч) на экспопенциальный множитель е — -ч, который обеспечит обращение 11 (ч) в нуль при ч-» оо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
