1626435910-98d12f7c1a67c8f6e5fdab7067ff707a (844345), страница 11
Текст из файла (страница 11)
(6,33) !'=! Последнее выражение представлет собой сумму гг» однородных линейных уравнений с и' независимыми переменными 5м. Фиксируя второй индекс Й, получаем и однородных линейных уравнений, содсржащих только элементы 5гг„52»,,5»» /,-того столбца матрицы 5 и число Лй: л ~ч~~ аа5,.„— Л»5,.» =- 0 (!' = 1, 2,, и). (6,34) г-! Элементы матрицы 5, т. е. 5!», 52», .5„», могутбыть рассмотрепы, как составляющие некоторого вектора х =- 5. Тогда выражение (6,34) можно записать в виде векторного равенства; Это значит, что система уравнений (6,34) есть другой способ изображсщи уравнения (6,27). Отсюда, следовательно, определение элементов 5м и (6,34) фактически означает определение собственных векторов матрицы А. В раскрытом виде выражение (6,34) можно записать так: (а„— Л») 5!»-!п а!2 52» +... + аг, 5,» =- 0,1 а2! 5м+ (а22 — )») 52» -~- ..
+ а2 5гм=- О, ~ ° ° а„! 5 ы + и» 52» +... + (а„„вЂ” Л») 5»г,=О. Чтобы получить решение относительно 5м, отличное от нуля (нетривиальнос решение), необходимо, чтобы определитель из коэффициентов при 5,» равнялся нулю, т. е, В компактной форме его можно записать так; Ре1(А — Л,) =- О, где Ре1 — означает детсрмииант (определитель). Уравнение (6,37) или (6,38) называется х а р а к т е р и с т и ч еским или вековым уравнением.
Характеристическое уравнение (6,37) является уравнением и.ой степени и может иметь и действительных корней, если матрица самосопряженна, т. е. и!» = а;». Рассмотрим в общих чертах только случай различных корней, т. е. ), гь йг ~... ч Л„. Решая характеристическое уравнение и подставляя в систему уравнений (6,36) вместо Л„. корень 1.„ мы можем определить все элементы первого столбца матрицы 5. Точно так же, заменяя в системе (6,36) ) „ через "»2. Л» и т. д., мы определяем элементы второго, третьего н т.
д. и-го столбцов матрицы 5. Выражение (6,36) может быть идентично выражению (6,30) только в том случае, если матрица 5 имеет обратную матрицу 5 — ', т. е, если определитель 5 отличен от нуля, Отметим лишь, что последнее условие в действительности имеет место. Итак, мы видели, что для случая с различными характеристическими чпсламя матрицу можно привести к диагональной форме преобразовав!ем подобия. Следует отметить, что квантовая механика, в основном, ограничивается матрицами эрмитовского и унитарного типов. Для полного определения элементов 5,» и, следовательно, собственного вектора матрицы А необходимо пользоваться, кроме системы уравнений (6,36), также свойствамн унитарных матриц (6,70) или (6,72) (см.
8 6,4; 5,7), В 3 39,3 читатель может познакомггться с некоторыми примерами решения задач в области молекулярных систем в матричной форме. ГЛАВА 111 Вводя обозначение г =-— пч у =,(хс (7,7) Так как: (7,8) (7,1) Н ( ~(г! — 1(! — х') — ) + 1 (1 + 1) г = О; Их ~ ~(х) (7,9) с( ), (г~ с(х ( дх~ ((! — х ) — 1+ (((+!) г = О. (7,2) 1п =- сопз1. у (1 — хе)' (7,11) откуда (1 — хз) — -', — 2(ху =- О, с(у с(х (7,3) (7,12) у = с(1 — хз)', где ( — постоянная. 70 71 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА ДЛЯ НЕКОТОРЫХ СИСТЕМ В 7.
О некоторых дифференциальных уравнениях квантовой механики 1. Уравнение Лежандра. Как было показано, уравнение Шредингера представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка. При решении этого уравнения его можно разбить на несколько сравнительно более простых дифференциальных уравнений второго порядка известных типов.
К их числу относится уравнение Лежандра, которое имеет следующий вид: (1 — хе)у. + с — Г г=О, Частным случаем этого уравнения является уравнение Касаясь решения этих уравнений, следует отметить, лто, в отличие от других задач математики и математической физики, решение (7, !) и (7,2), применительно к квантово-механическим задачам, ограничивается условием регулярности функций г, т. е. они должны быть однозначными, непрерывными, конечнымн и квадратично интегрируемымии. Ради простоты сперва покажем способ решения последнего уравнения (7,2). Как мы увидим, решением его является полипом Лежандра. 2. Полииомы Лежандра.
Для получения полинома Лежандра рассмотрим дифференциальное уравнение Подвергнем это уравнение п-кратному дифференцированию; в ре- зультате мы получим (и. лу Дп с(п — ! у (1 — х )--, '-2(1 — л)х — -'-п(2( — л-:,- 1) — -- =- О. (7 4) ,1 х и ' ! 7(Х" Их" — ' В случае, если л =-1 1- 1, уравнение (7,4) принимает вид: (1 — хе) — —,. — — 2х — —,-,— -',— ((( -',- 1) —, = О.
(7,5) 7!1 — -'у сР ' у,, с~у и подставляя его в (7,5), получаем , ~(эг с(г (1 — хэ) —, — 2х — +1(1+ 1) г = О. с(х с(х с(гг дг с( ( с(г) (1 — хз) —, — 2х — = — ~(1 — х') — ), Нхг ' дх с(х ~ Нх)' то уравнение (7,7) в окончательной форме можно записать так: а это есть уравнение Лежандра. Теперь проинтегрируем уравнение (7,3). Для этого запишем его в виде Иу, 21х у '1 — х' В результате интегрирования, мы имеем где с — произвольная постоянная.
,Е!У,Е! (1 ха)! 4(х! 4(х' (7,13) (Е~ й) (7,18) ( — 1)' с =- 2'П (7,14) или тогда ) Р, (х) Р»(х) 4(х = 1, (Е = й), — ! 1 а(! (х« — 1)' г = — Р,(х) =— 2! Е1 4(х! (7,19) (7,15) где !Ег Р,(х) =- ' Р4(х) !=0, 1=1, (=2, (7,17) Е = 3, Ра(х) = — (5хз — Зх), 2 и отсюда 7З ЗВ О. К. да«та« Продифференцировав (7,12) Е-кратно, получаем Как видно, последнее выражение является решением уравнения Лежандра (7,9). В случае, если значение постоянной определяется выражением Выражение (7,15), которое обозначается символом Р,(х), носит название п о л и н о м а Л е ж а н д р а. Итак, полипом Лежандра (7,15) является решением уравнения Лежандра (7,2). Таким образом, уравнение Лежандра может быть записано в следующей форме: — ~(1 — х») ' ~+ Е(Е+ 1)Р (х) = О.
(7,16) «Е (» «ЕР4(х)! Ех~ бх Теперь не представляет никакой трудности решение этого уравнения для любого значения Е. Для иллюстрации приводим полиномы для значения Е от Е = 0 до Е = 4: Ра(х) =- 1, Р,(х) =. х, 1 Р,(х) = — (х« — 1), 2 Е = 4, Р4(х) =- — (35х« — 30ха+ 3). 1 8 Эти полиномы показывают, что наивысшим показателем степени х является Е. Можно показать, что полиномы Лежандра в интервале — 1( (х (1 (как мы увидим дальше, этот интервал является подхо- 72 дящнм интервалом при решении уравнения Шредингера) состав- ляют систему орто-нормированных функций, т. е. ! ~ Р, (х) Р„(х)4(х = О, — ! ! Р,(х) Р»(х)4(х = Е, (Е = й) 2 — ! 721+1 4!Ег и ~ ' ~ — нормирующий множитель.
2 3. Присоединенное уравнение Лежандра. Уравнение Лежандра, — (1 — х') — + с —, г = О, (7.1) посредством так называемой «рекуррентной» формулы можно привести к другому виду, а именно, к присоединенному уравнению Лежандра, которое решается очень просто. Для этого заменим функцию г через другую функцию, которая определяется соотношением ! г = (1 — хг)«Е-"Е"'Р, 2 (7,20) где Р есть функция от х. Дифференцируя (7,20) по х, получаем — = — тх (1 — х«) Ыг"-' Е+(! — х«) ! ег ' —, (721) 4(х 4(х (1 х.) л4х(1 х»)!Егаа . Р 1 (1 ха)!Ег '«! . (7 22) 4(х Их Тогда (7,31) Далее, дифференцирование последнего выражения по х, дает 21х с[х! — (1 — х2) — ( = ( — т(1 — х2)02 +тзх2(1 — х2)02'" — ') р— -"( — "-')-— 2!2 ! — (2х(т+ 1)(1 — хз)02") — +(1 — х2)ыз'"+', .
(7,23) 2а2+ Ьао — — О, ба, + (Ь вЂ” 2а) а, = О, 12а, -,'- (Ь вЂ” 4а — 2) аз —.— О, 20а, + (Ь вЂ” ба — 6) а,= О. Подставив это выражение в (7,1) и, разделив на величину (1 — х')ы'", получаем (1 — х') —,, — 2(2и + 1) х — + (с — т (т + 1)) Е = О. (7,24) , НЧ' дЕ 2[х2 а'х Если ввести обозначения а=(т+1), Ь=с — т(т+1), (7,25) приходим к уравнению [2п (и (1 — х') — 2ах — -]- ЬР = О, 2(х2 2[х (7,26) Допустим, что Р(х) может быть выражено в виде степенного ряда: Р =а2 -!- а, х + аз х'+ а, х'+...; (7,27) тогда (7,28) й'х — = а, + 2азх+ За,хз+ 4а,х'-)- .. — 2 = 2аз+ ба,х+ 12аах'+ 20а,хз+...
(7,29) 2(2 Г (2аз+ Ьа2) х + [баз+ а, (Ь вЂ” 2а)] х+ [12а4 + (Ь вЂ” 4а — 2) а2] х'+ + [20аз+ (Ь вЂ” ба — 6) аз] ха+... = О. (7,30) Так как Р(х) является решением уравнения (7,26), то последнее выражение должно превращаться в нуль при всех значениях х. Поэтому, в выражении (7,30) коэффициенты при членах, содержащих х в любой степени, должны быть в отдельности равны нулю.
74 Подставляя зти выражения в,'уравнение (7,26), группируя все коэффициенты при членах, содержащих х в одинаковой степени, получаем Как видно из этих выражений, с возрастанием показателя степени х, коэффициенты изменяются с определенной закономерностью. Из (7,31) можно заключить, что коэффициенты при х" могут быть представлены в таком виде: (п -]- 1) (п -]- 2)аз.ь2 .]- [ Ь вЂ” 2па — и (п — 1)] а„= 0; (7,32) где п — целое число или нуль.
Из (7,25) учитывая значения а и Ь, окончательно мы получаем выражение а„. 2 (п+ т)(п+ 2п+ 1) — с а„ (п + 1)(п + 2) которое носит название реку рр ентной формулы. Если известно значение коэффициента а„, соответствуюшего х", то рекуррентная формула позволяет определить а„+2. Таким образом, исходя только из двух коэффициентов а, и а„с помощью (7,33) могут быть определены все остальные коэффициенты в (7,27), соответствующие всем четным и нечетным показателям степени х. Ряд (7,27) должен удовлетворять условиям регулярности'собственных функций, в частности, он должен быть конечным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
