1626435910-98d12f7c1a67c8f6e5fdab7067ff707a (844345), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Из этого, следует, что ряд должен быть полиномом. Это возможно прн условии, если коэффициенты при х"+' и всех высших членах равны нулю. Таким образом все члены ряда обрашаются в нуль после х". Это условие (а„+2 = О) по рекуррентной формуле приводит к следующим результатам: (и+ т)(и+т+ 1) — с= 0,1 (7,34) с = (п + 2и) (п + т + 1).
Если ввести обозначение (7,35) 1= и-)-т, то с=[(1+ 1). (7,36) Подставляя последнее выражение в уравнение Лежандра (7,1), получим — Е(! — х2) ' '-( -)- (Е (! —,'- 1 — ' —, ! г = О. (7,37) 2йх ) ' йх] ( ' 1 — Г) ЗВ' 75 Так как то окончательно мы имеем + (1 (Е + 1) — т (пс + 1) )— сЕ'" Р, (х) (7,38) Если ввести обозначение сР" Рс(х) с(х'" (7,39) (7,44) с12 у с(у (1 — х') — — 2 (т -1- 1) х — -1- сЕх2 с(л (7,46) Р~~ (х) = (1 — хз) Ы2'" сЕ'2 Р, Ех) с(х (7,41) (7,47) с?2 Р,"'(Х) Н', (Х) сЕх2 (1= Ес).
Е (Е -!- 1) —, Рс(х) = О. (7,42) ?с 76 Зто и есть присоединенное уравнение Лежандра, решением которого является присоединенный полином Лежандра. Следует отметить, что поскольку п и и — целые числа и в частном случае они равны нулю, то 1также имеет целочисленные или нулевое значения. Таким образом 1 =- 0,1, 2, 3... 4. Присоединенный полипом Лежандра. Возмем дифференциальное уравнение Лежандра — ~(! — х) ' ~+ Е(1+ 1) Р,(х) = О, (7,18) с( Е, сЕР,(х) ! и-кратное дифференцирование его приводит к следующему вы- ражению „сЕ~+2 Р,(х) сЕ"'+' Р,(х! то уравнение (7,38) можно записать в следующей форме: + 11 (Е + 1) — т (т .+ 1)) у = О. (7,40) Ясно, что решением последнего уравнения яв.чается выражение (7,39).
Если функцию от х, обозначенную символом Р, (х), определить как где Р,(х) — полином Лежандра, то подстановка ее в уравнение (7,40) приводит к следующему выражению: (1 — х') ' — 2х — ' — = — ~(1 — хз) сР Р, (х) сЕР',"(х) сЕ (, ЕР (х)) сЕх' Е Е ! , — ~(! — х') „' ~ -!- (1(1 + 1) — ! , Р, (х) = О. (7,43) Как видно, последнее уравнение представляет собой присоединенное уравнение Лежандра, решением когорого является присоединенный полином Лежандра, т.
е. сЕ Р, Сх) Р,"'(х) = (1 — хз) 02. где, как было показано, 1 сЕ' (х2 — 1)' 2' П с(х' есть поливом Лежандра. Выше (в пункте 2) было показано, что наивысшим показателем степени х в полиноме Лежандра является 1. Из этого следует, что функция Р, (х), являясь конечной, должна оборваться на члене, содержащем х'+' . Таким образом при лс) Е, Р, (х) = О. Отсюда следует, что сп (1. (7,45) Далее, можно показать, что в интервале — 1(х (1 функции Р',"(х) образуют систему ортогональных н нормированных функций, т. е. +! 3 Р, (х) Рл (х)с(х = О, (1 ьь Ег), — ! +! са ~ Р, (х)Р2 (х)сЕх=-1, (Е = й). — ! Значение нормирующего множителя с можно найти из значения интеграла (7,47), а именно, +! Р (х) Р„( ) 2 (1+пс)! 2Е+ 1 (Š— т)! ' Отсюда 21+ 1 (! — 1п)! .2 (!+т)! ' с(~х' е— Е.(х) = с' (7,57) (7,48) и = е-' Е„(х), йс Н.,(х) е — к е — х? (х) Йх Йх (7,58) сРи с(зЕ„(х) Ж (х) Йхз дх' Нх х — -1-(х — а)у = О.
ау ' ах (7,50) Решая это уравнение, получим (7,51) у = сх* е — ", (7,54) где 6(" у п = —. ах (7,55) (7,56) Е (х) =- е'и, тз 5. Полинам н присоединенный полинам Лагерра. При решении уравнения Шредингера появляется также другое дифференциаль- ное уравнение второго порядка, которое может быть представлено в виде ~(2 г дг х„, + (р + 1 — х) — + (а — р) г = О. (7,49) Здесь а и () принимают целочисленные значения, а также и нулевое значение, если г удовлетворяет условиям регулярности. Для решения этого уравнения рассмотрим следующее дифференциальное уравнение: где с — произвольная постоянная.
Из (7,51) следует, что одно из частныл решений уравнения (7,50) может быть у = х*е х (7,52) Продифференцнруем уравнение (7,50) а-кратно, в результате мы имеем ,(~+гу ~~а+1у ( у х г -1-(х -!- 1),-+(а+ 1) — =О, (7,53) Последнее выражение можно записать в следующей форме: ~(за йс х + (х+ 1) -- + (а -',- 1) и = О, с(хг 2х Если мы введем новую функцию Е. (х), которая определяется как то, согласно уравнениям (7,52) и (7,55), мы имеем Эта функция Е. (х) носит название пол и нома Лагер р а Из выражений (7,56) и (7,57) следует, что Подставляя эти уравнения в (7,54), получаем х ', +(1 — х) " + аЕ,(х) = О, (7,59) а2Е,(х), Ж.„(х) Ясно, что решением этого уравнения является полипом Лагерра.
Е„(х). Далее, р-кратное дифференцирование (7,59) приводит к вы- ражению — (6 1-х)" Е'(х) +( — б)" '"(')=О. (760) — +, + Если р-кратную производную Е„(х) обозначим символом Е'„(х), з т. е. Е! (х) = (хз сР Е„(х) (7,61) то подстановка ее в уравнение (7,60) дает х " +ф -!- 1 — х) " + (а — ЯЕ~(х) = О. (7,62) ( Ез(х) Ы.з(х) Как видно, это уравнение представляет собой уравнение (7,49), если г заменить функцией Е~(х). Функция Е'„'(х), которая является решением дифференциального уравнения (7,49), носит название присоединенного полино ма Л а герр а.
Так как полинам Лагерра является функцией от х, то его степень определяется степенью х. Из выражения (7,5?) видно, что в полиноме Лагерра наивысшей степенью х является а, По выражению (7,61) ?9 присоединенный полипом Лагерра есть производная полинома Лаггерра ()-порядка. Поэтому в присоединенном полнноме максимальная степень х будет а — р. Зто становится совершенно наглядным, если мы представим присоединенный полипом Лагерра в раскрытой форме: а1 1 ., а(а — 6) /.',(х) = ( — 1)' — ' !х" — ' — ' х'-' — ' + (а — (1)!! 1! + а (а — 1) (а — 8) (а — р — ! ) 2! о — з — 2+ (7,63) Из того факта, что в Е„(х) наивысшей степенью является х", а в Е',(х) — х' — ', следует, что р ~(а.
(7,64) Ясно, что все члены присоединенного полинома, для которых р) а, должны быть равными нулю. Можно показать, что функции /.„(х) не являются ортогональными. Однако в интервале 0 <х <оо функции е †"1»Е„(х) образуют ортогональную и нормированную систему функций. Также можно показать, что в интервале О < х <оо функции ~/' — » .е ' х .Е„(х) (а1)» образуют орто-нормированную систему.
Необходимо отметить, что присоединенные полиномы Лагерра могут удовлетворять квантово-механическнм условиям регулярности собственных функций, в частности, условию конечности, только в том случае, если а н р являются целыми положительными числами или равны нулю.
й 8. Некоторые простые системы В этом параграфе будет показано применение волнового уравнения Шредингера к трем простым системам, а именно, к частице в потенциальном ящике, к гармоническому осциллятору и к рота- тору. Рассмотрение этих систем представляет не только самостоятельный научный интерес, но и имеет большое значение для изучения молекулярных и кристаллических систем методом квантовой статистики, для молекулярной спектроскопии и т. д. В дальнейшем мы увидим, что многие сложные системы могут быть апроксимированы при помощи этих простых систем. 1. Частица в потенцнальном ящике.
В качестве потенциального ящика мы можем рассматривать прямоугольный ящик с ндеально отражающими стенками н с ребрами а, Ь и с. Пусть координаты х, ао ф(х, у, г) = Х(х) У(у)2(г), (8,3) каждая из которых зависит только от одной координаты, Если теперь подставить (8,2) и (8,3) в уравнение (8,1) и разделить на ХУУ, получим (8,4) Как видно, в этом уравнении каждый член левой части зависит только от одной переменной, от х, у и г соответственно; а их сумма равна постоянной величине, Зто возможно в том случае, если каждый член левой части также равен какой-то постоянной. Обозначим этн постоянные величины через — 2тЕ»/л», — 2глЕ /7»» и — 2л»Е,/7»», и тогда мы будем иметь следующие три уравнейня, каждое с одной переменной: РХ 2т — „, + — „, (Е, — (/,) Х = О, 2т — „, (ń— 1/,)У= О, (8,5) 2т — „, (Е,— (/,)2=0, 81 у н г прямоуголькой системы с началом в одной из вершин ящика имеют направления ребер а, Ь и с соответственно; и пусть в этом ящике находится частица с массой т.
Внутри ящика потенциальная энергия равна нулю, а на границах и в остальном пространстве она сразу возрастаетдо бесконечности. Зти условия точно можно запи- сать следующим образом: (/»=0 при 0~<к<а, (/»=оо при х<0 и хе» а, (/,=О» О <у<Ь, и,= » у<О н у> Ь, (/,=О» 0<г<с, С/,=оо» а~о и г>~с, Уравнение Шредингера для этой системы мы можем написать в такой форме: д»ф, д»ф д»ф, 2гл — + — -!- — -1- —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
