1626435906-526b460e060575093d160ca0c398224a (844341), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Если в молекуле есть такая ось, - группа сим«Sjj4.2п , совпадаю2ть.где J?=При наличии нескольких осей симметрии молекула может относиться к группамJ)n,, J)или J 7^ ( m uуже исключили из рассмотрения молекулы, относящиеся к симметрииTj и 0^)9 В группеJ)л никаких других элементов симметрии, кроме поворотов Сд, ить осей С% , перпендикулярных главной оси, нет. Например, кгруппеJ)3 относится молекула этана в скошенной конформации. Вгруппеимеется( n -bi)плоскость симметрии, из них однаперпендикулярна главной оси. В группеJ)ncj всего JV плоскостей,есть также зеркально-поворотная ось порядка2л. На рисунке представлены различные конформации молекулы этана, относящиеся кгруппамЛ3 , J)3j и.При классификации молекул полезно использовать аналогии срассмотренными выше случаями.З а д а ч и2.1.Определите, к каким группам симметрии относятся комплексные ионы [ Р Ш 4 ] *меры [ P t2 .2 .[М[PbCtzB r l],w c - и транс-изоС623 г 2 ] 2~Определите симметрию соединенийI, 2 , 3.
Длял = 2 иУ е_д ],гдеп = О,IV = 3 рассмотрите различные изомеры.192 .3 . Найдите число элементов симметрии, которыми обладаютмолекулыSnCfy,£>кСв3Зг,2 .4 . Определите, чему равны числа симметриисящихся к группам6молекул, отноСм , J)nh, Ьгп, Td и Оь .2 .5 . Приведите примеры молекул, которые относятся к группамCm > Cn h ^3)nhи3 nd(-n = 2 > 3 >4)■2 . 6 . Перечислите группы симметрии, которые имеют 24,16,12,8 , 4 и 2 элементов симметрии.JU. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП СИММЕТРИИРассмотрим набор линейно-независимых функций координатtp2 , .
. .(рлВ результате преобразования симметрииВ каждаяиз этих функций перейдет в линейную комбинацию:вкоэффициенты,(зл )с,Хь зависят от операции Я . Следовательно, преобразованию симметрии можно поставить в соответствие квадратнуюматрицуС(Я). Произведению двух операций симметрии Q = P RС( Q ) ,которая равна произведению матриц:соответствует матрицаCij(Q)-ZCi h ( P ) - C Kj ( R ) .Представлением группы называется совокупность матрицС (Я),определенных для всех элементов симметрии. В общем случае результат действия операцииЯ на функциювыражается через линейную комбинацию всех базисных функций* Может оказаться, что спомощью некоторого линейного преобразования базисаперейти к такому новому набору функцийматрицы преобразования^можнодля которого всеС (В ) имеют блок-диагональный вид:{ (fi J можно разбить наЗто означает, что совокупность функций]?наборов, содержащихп 1У п А ,функций, так, что приоперациях симметрии функции каждого набора будут преобразовываться только друг через друга* Таким образом, вместо матрицС (Я)размерностименьшей размерностить мы можем рассматривать матрицы(fпг ++7i^=n).
Представление С(В)называется приводимым. Если число преобразующихся друг черездруга функций не может быть уменьшено никакими линейными преобразованиями( например, не удается привести матрицыA^CR),...блок-диагональ ному виду )♦ то говорят, что представлеА к неприводимы. Число П/± С ъ-нияразмерностью неприводимого представленияназываютА± . ( Ниже вместослов "неприводимое представление", используется сокращение НП.)В группах точечной симметрии размерности НП могут быть I, 2и 3. В группах, в которых нет поворотов третьего или более высокого порядкаЛ 2hi)9 имеются только одномерные представления. В группах, обладающих лишь одной осью:могут быть одно- и двумерныеНП(C3Vyмерные НП есть только в кубических группах (кает вопрос,СЛ илиРех~Tj и 0 ^ ) . Вознисколько различных НП может иметь группа симметриии какова размерность этих НП?Число НП в группе симметрии определяется числом классов.ПустьРиX - элементы группы, тогда элемент, равный Х~*РХ,Х~*РХ назытакже является элементом группы.
Преобразованиевается преобразованием подобия, а совокупность всех элементовХ ~ ^РХ7 где X - любой элемент группы, и есть класс. Лег£ всегда составляет отдельный класс.Действительно, для любого Xвидако убедиться, что элементХ ~ 1Е Х = Е Х ' 1Х = Е Е = ЕНайдем число классов в группеЕ , С*9С~*,<?У4, <5 , 6 W,Для любого отражения б= б , а обратные элементыдля С^ иравныэлементов:dкоторая содержит шесть21.—ментыС3иС£образуют о а с с .
Если найти все произведения ви-£даиз этих равенств следует, что элеХ~ 6 v i X f деьI, 2 и 3, аX- любой из шести элемен9 буг и &V3 также обра6тов группы, то можно убедиться, чтозуют класс. Таким образом, в группеимеются три класса:илпдаAJrAдля групп, содержащих, скажем, 16 или 24 элемента, задача непростая. Есть общие правила, позволяющие значительно облегчить разбиение элементов симметрии на классы.1. Элементы£ и I2 .
Два поворотавсегда образуют отдельные классы.7l>иС “ ^ вокруг одной оси относятся к одно-Joму классу, если есть плоскость, проходящая через ось поворота,или поворот на угол&вокруг перпендикулярной оси.3. Повороты на одинаковый угол вокруг разных осей относятсяк одному классу, если есть такой элемент симметрии, которыйсовмещает одну ось поворота с другой.4 . Две плоскости относятся к одному классу, если есть поворот, переводящий одну плоскость в другую.Применение правил I, 2 и 4 к группеС$уприводит к выводу,что совокупность элементов симметрии разбивается на три класса.Т е о р е м аI . Число НП в группе равно числу классов.Т е о р е м а2 . Сумма квадратов размерностей НП равна числу элементов в группе.Используя эти теоремы, можно найти число и размерность НПгруппы симметрии.
Рассмотрим группуС3у . Она включает шестьэлементов, которые распределены по трем классам.Из теоремы I следует, что в этой группе имеются три НП. Обозначим их размерности2.± 71^=6,ть1 ,иРешение этого уравнения очевидно:Следовательно, в группеС^+Согласно теореме 2 ,222.1 * 1 + 2 =- 6,имеются два одномерных и одно двумерное НП.22Для того чтобы более детально познакомиться с представлениемISгруппы симметрии, рассмотрим, как преобразуютсяJNH$атомов водорода в молекуленачим эти функцииhi , hz ифункциипри операциях симметрии* ОбозМолекула аммиака относится кгруппеСзуи обладает следующимиэлементами симметрии:дуг.
иЕf C^9C ^ , 6 V^6^Плоскости6yjипроходят через первый, второй и третий атомы водорода. ОперацииЕответствует единичная матрицаh1При повороте/010 \001.\ 100 /видОперацииДействительно,п-1010\1 0 0 /и[60!%/ \Ъ11 0 0 1.При отражении\'ь Ь/, остается на месте, а две другие функции ме-'ъ/0 1 0( 100\001нием группыI010 .V 0 0 I/переходит в100соответствует матрицаняются местами. Для операций/О О П] =* / 001\С^в ПЛОСКОСТИС3 ( £со/100 \)'&у4 ,иимеем/100 \(001Построенные матрицы являются представлеC3 V .
Результат умножения двух матриц соответствуетпроизведению элементов симметрии. Например,С$ — 6V2 ■. Эторавенство выполняется и для матриц:/010 \001\юо//100 \/001 \010( 001 /\ 010 /\iooyПокажем, что полученное трехмерное представление приводимо.Вместо функций~УЗh 3 можно взять их линейные комбинацииЬ (, Ъа и( к 1*1*2+ b j ) ,=( 2 h t~23Ji g~<Р з - ~ у = С ^ г ~ 1 > з ) -(f1 не изменяется:При всех преобразованиях симметрииRПоэтому каждому элементу симметрииможно поставить в соответствие число I . Это одномерное представление называется полносимметричным; Функцииtfa и(fjпри операциях симметрии преобразуются друг через друга. Матрицы преобразования имеют видЪС$С36Vj6 V(i{ Ю \ / - 1 / 2 3/2 W -1 /2 - 3 / 2 \ / Ю \(-1/2 3/2-1 /2V01 Л - 3 / 2 -1 /2 / \ -3 / 2 -1 / 2 Л 0 - 1 Л 3/21 / 2 / V -3 /23/2 \1/2/Построенное двумерное представление является неприводимым,+так как нет таких линейных комбинацийдля которых все матрицы преобразованийвид* Таким образом, переход от базисаимели бы диагональныйh n А^ик ФУН1С1^ИЯМ1fn Уг> и Уз позволяет перейти от трехмерного приводимого представления к двум НП: полносимметричному НП, которое осуществля(fj9 и двумерному НП с базисомется функциейиОднако один важный вопрос остался невыясненным.
Каким образом мы построили функциии(f3f которые преобразуютсяпо НП ? Другими словами, есть ли правило, с помощью которогоможно перейти от произвольного приводимого представления к НП?В теории групп разработан достаточно простой алгоритм, позволяющий разбить приводимое представление на НП. Для того чтобыиспользовать этот подход, необходимо знать характеры представлений. Характером называют сумму диагональных элементов матрицы преобразования.Рассмотрим представление группыЬу, Аиd7к ,. МатрицаJ/ 01°\001L\ 100 /9построенное для функцийсоответствующая операциилС3,имеет характер, равный нулю, так как все диагональные элементы - нули.
Характер представления обычно обозначают греческойбуквойXпоэтому можно записатьX (С^)= 0 , Зная вид матрицдля других операций симметрии, найдем характеры этого представления:24REC$Cj^ yfX(R)300i^v2^ v$ttМы видим, что матрицы преобразований для элементов симметрииодного класса имеют одинаковые характеры.
Это утверждение несложно доказать в общем виде. Воспользуемся тем, что характерпроизведения матриц не зависит от порядка сомножителей. Дейст-ТЬ71/ П/С'-ЗА, Тогда Т((С) = И™п, wi=i ик=1 ** *1а Х (С ) = Л C'K/<=IL JL S, СОг^ . Сравнивая выражения для Х(С) ивительно, пусть £ = Л Д аХ(С'), получаем Х(А&)=Х(ЗА)- Далее, если элементы XX-Zотносятся к одному классу, тоиY, ТогдаХ ( х ) = X ( z -1y z )= A C y z -1z ) = Х ( у £)-Х ( у ).ЗдесьЕ- единичная матрица, соответствующая тождественномупреобразованию. Таким образом, для того чтобы найти характерыпредставлений для элементов группы, достаточно определить ихдля операций, относящихся к разным классам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
