1626435897-c91cf2b6442cb8008f24e7d1becd3805 (844335), страница 98
Текст из файла (страница 98)
(21+ 1) угловых функций, определяемых решением задачи с центрально-симметричным полем для данного значения 1, доставляют (21'+ 1)-мерный базис неприводимого представления группы всех вращений и инверсий, включая и содержащиеся в группах Оь и Тю Для этих последних групп он должен быть базисом приводимого представления, так как максимальная размерность неприводимых представлений О„или Те есть 3. Мы хотим знать, какие неприводимые представления этих групп появятся при приведении этого приводимого представления. Метод нахождения ответа на этот вопрос совершенно очевиден. Нам надо воспользоваться Прилояееиие 12 440 Таблица П12.1б Таблица характеров для приводимого представления группы 0» Использованы базисные функции, которые задаются сферическими гармониками, отвечаюп1нми данному 1 с т= — 1, — 1+1,..., 1; классы операций обозначены, как в табл. П12.15.
Указаны атомные обозначения Б, Ро, В и т. и. зс1 зсз зесзе 6Ст 61Сл 61Сз ЗЕСз 6Сл 5 ро П ро 0 1 1 1 0 методом характеров и уравнением (П12.19). Мы должны найти характеры классов операторов для (2! + 1)-мерного базиса, а затем применить указанное уравнение вместе с характерами группы Ой или Тл, указанными соответственно в табл. П12.1 н П12.112, чтобы решить, какие представления найдутся в каждом случае. Среди классов операторов для групп О» и Тл мы находим вра. щения на углы 360'lп, где и = 2, 3 и 4, а также инверсии. Можно выбрать ось сферических координат в качестве оси симметрии.
Тогда поворот на угол 2п/и умножает базисную функцию ехр (!тгр) на ехр (2п!лз!и). Эти величины, таким образом, представляют диагональные матричные элементы операторов вращения для примененных базисных функций. Характер группы, соответствующий оператору вращения на угол 2пlп, тогда есть 2лЬп 61п ~2н (1+ — )— е " = " . (П12.71) 51П ( — ) Вывод соотношения (П12.71) основан на замечании, что сумма в левой части равенства эквивалентна сумме геометрической прогрессии, для которой имеется элементарная формула, доставляющая результат, легко преобразуемый к виду, данному в этом уравнении.
Можно применить теперь (П12.71), чтобы построить таблицу характеров для приводимых представлений группы Ою доставляемых (2! +1)-мерными базисами. Соответствующая таблица для группы Тл получится, если опустить классы операторов, не входящие в Тл. Характеры для классов операторов, не вкпючающих ин- Теория групп 441 версии, находятся из (П12.71). Напомним, что для сферически симметричных задач волновые функции с четным1 — четны, а волновые функции с нечетным ! — нечетны относительно инверсии, чем и определяются характеры для остальных классов операторов.
Таблица характеров представляется тогда в виде табл. П! 2. ! 6 для 1= 1,..., 4. Зная эти характеры, можно применить уравнение (П12.19) и таблицу характеров неприводимых представлений О» или Тю данных в табл. П!2.15 или табл. П12.12, чтобы найти, какие представления встречаются при приведении каждого из этих приводимых представлений. Без труда находим для Ою что для ! = О мы имеем А,а в обозначениях ЭУК, или Г, в обозначениях БСВ, для ! = 1, Т„, или Г„; для 1 = 2, Еа и Т,а, илн Г„и Г„, для 1 = 3, Аа„, Т„, и Т„, или Га, Гм и Га;, для 1 = 4, Ата, Еа, Ттд и Т,, нли Г„Гыь Гм и Гв, .
Для Та подтверждается результат, выражаемый в (1 !.5). Нас может также интересовать действие кубического или тетраэдрического поля на атомные мультиплеты с инверсионной симметрией, противоположной по сравнению с мультиплетами, возникающими в случае отдельного электрона, т. е. на мультиплеты Ео, Р, Ое, Р, О'. Для этих волновых функций действие операторов вращения идентично действию на одноэлектронные функции, однако операторы инверсии ") дают противоположный знак.
Другими словами, для этих мультиплетов таблица характеров для группы 0» получается из табл. П!2.16 изменением знака каждого характера, соответствующего классу операторов с обозначением, включающим символ Я, при сохранении знаков характеров классов с обозначением, не включающим Я. Поступая таким образом, мы найдем, что результаты для 0» отличаются от приведенных выше в обозначениях ЭУК тем, что индексы и и й меняются местами; в обозначениях БСВ штрихованные неприводимые представления заменяются на нештрихованные и наоборот.
Для Та подтверждается результат (1!.6). Для каждого из типов симметрии в группе О» мы приводим единственный базис в табл. П! 2.14. Однако для каждой из этих симметрий возможно бесконечное множество базисов из функций в виде полиномов по х, у и г.
Некоторые из этих функций были протабулированы Лаге и Бете [7] и часто называются кубическими гармониками. В табл. П!2.!7 даны кубические гармоники для каждого из типов симметрии, упомянутых выше для 1 = О, 1, 2, 3, 4. В каждом случае мы приводим обозначения непрнводимых представлений по Эйрингу, Уолтеру и Кимбаллу; по Боукерту, Смо- ') Под операторами инверсии адесь следует понимать, помимо собственно инверсии, операторы, определение которых включает инверсию.— Прим. ред. Приложение 12 442 Таблица П12.17 Кубические гармоники по Лаге и Бете !71 длн 1=0, 1, 2, 3, 4 Обозначении длн неприводнмых представлений те же, что и в табл. П12.14. Полиномы, если разделить их на г', с тем чтобы получить функции лишь угла, нормированы таким образом, что интегралы по всем углам от квадрата нх равны 4п БСВ ЛБ 1 Рлйх, Рлйу, РгЗг (Зхз — гг), (уз — гз) 'г' й !' 15 )/ 15уг, Гг)бгх, Г'15ху Рл105хуг 5 .— /' 3 Х 5 -л 3 -- )' ? ( хз — — хгз), — 7? 7 ~уз — — угз 2 ( 5 )' 2 ~ .
5 — У7 ( гз — — ггз) 2 в. 5 )'!05 Р 105 Рг105 — х(уз — гз), — у(гз — хз), г(хз — уз) 2 2 5 — / 3 у' 2! ( хе+уз+гв — — гв) 4 \, 5 — Рл!5 ~хв — — (ув+гв) — — гз (Зхз — гз) ~, — г 1 3 2 ~ 2 7 21 -г 6 — )' 5 ~ ув — гв — — гз (уз — гз) ~ 4 1 7 3 — 3 — у' 35уг (уз — гз), — Р 35гх (гз — хз), 2 2 3 — )' 35ху (хз — уз) 2 21 — Г 1 х 21 - Г 1 — ргйуг ! хз — гз), — рл5гх ( уз — — гз), 5 (.
7 )' 2 (, 7 21 - л 1 — Р 5ху гз — — гз) 2 1, 7 Авг Т!и г г пв г„ Т 4ги взв Гм Т1н Г15 Т Ггв Авл г Гвг Т г „ Тгл луховскому и Вигнеру и по Лаге и Бете. Соответствия с другими параллельными обозначениями даны в табл. П! 2.14. Кубические гармоники Лаге и Бете нормированы так, чтобы, разделив на г' и сделав их, таким образом, чисто угловыми функциями, мы, интегрируя квадрат какой-нибудь из них по углам, получили в результате 4п. 443 Теория групп Рассмотрение действия полей симметрии См„с)иа и т.
п. на атомную функцию значительно проще, как это уже было отмечено выше. Атомные функции с определенными значениями тг доставляют базисные функции для неприводимых представлений, зависящие от ~р через функцию ехр (1тф). Необходимо лишь заменить па на гпг и рассмотреть базисные функции для различных неприводимых представлений Си, нли Рпа, как мы это уже сделали, чтобы увидеть, что каждый атомный уровень энергии будет расщепляться на невырожденный уровень, соответствующий тг — — О, двумерные уровни, отвечающие пгг = ~1, =Е2,..., и (для четного 1) одномерный уровень, отвечающий тг = !. Тип симметрии для каждой из этих волновых функций может быть непосредственно найден иа основании наших сведений о группах Сло и 0гч».
ЛИТЕРАТУРА !. 'йГ г К п е г Е., Сгоир ТЬеогу апд 1!в Арр!!са1!опв 1о 1Ье Яиап1игп Месьап)св о1 А1опис Брег(гв, Хеиг Уогк, 1959. (См. перевод; Е. В и г н е р, Теория групп, ИЛ, 1961). 2. 8!а 1 е г Л С., !еиап!игп ТЬеогу о1 А!огп!с 5!гис1иге, чо!. 11, Хеиг Уогк, 1960, сЬ. 20. 3. Цг ! 6 п е г Е., Со!!. ХасЬг., 546 (1932). 4. Н е г г 1 п К С., РЬув.
Йеч., 52, 361, 365 (1937). 5. Е у г ! п 6 Н.„ЪЧ а 1! е г 3., К! гп Ь а 1! б., анап!игп СЬегп)в!гу, Хем уогЬ. 1944. (См. перевод: Г. Э й р и н г, Д. У о л т е р, Д. К и м 6 а л л, Квантовая химия, ИЛ, 1948.) 6. Воискаег1, 5гпо!исьоигвк1, !йг)япег, РЬув. Кеч., 50„58 (1936) 7. чоп бег 1. а 6 е, В е ! Ь е Н., РЬув. Йеч., 71, 612 (1947). 8. Н о я а г ! Ь Н., 1 о и е в %., Ргос. РЬув. Ьос., А65, 355 (1952).
9. В е 1 Ь е Н., Апп. РЬув., 3, !33 (1929). Добавление редактора перевода Групповые постулаты и определения некоторых основных понятий теории групп Поскольку ряд определений в изложении теории групп автором сформулирован лишь в аспекте конкретных приложений и в связи с этим не вполне точно и четко, мы приводим здесь вкратце наиболее необходимые определения. !. Группой называется множество 6 обьектов (называемых элементами группы), в котором для любой пары объектов, взятых в определенном порядке, определена операция (называемая групповым умножением), сопоставляющая однозначно каждой паре объектов из 6 некоторый объект из 6 и удовлетворяющая следующим аксиомам (групповым постулатам).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
