1626435897-c91cf2b6442cb8008f24e7d1becd3805 (844335), страница 95
Текст из файла (страница 95)
Иначе говоря, учитывая одновременно оба наши представления с помощью знака .+-, имеем (П12.68) 1 + Зд (Сг) + 4ег глцз + 4е лалцз 0 где )((Сг) — искомый характер, который соответствует второму классу, состоящему из операторов Яг, Я„Я,. Однако егл !з + еал уз и уравнение (П12.68) сразу же приводит к результату д (С,) = 1, так что матричные представления для двух исследуемых одномер- ных случаев таковы: Г (Я,) = Г (Я,) = Г (Яз) = Г (Яа) = 1, Г (Я,) = Г (Яа) =1 (Яг) = 1" (Яз) = егглцз, (П12.69) Г (Я,) = Г (Яао) = Г (Я„) = Г (Я,г) = е ' а "цз.
В равенствах (П12.69) верхний знак в показателе экспоненты соот- ветствует одному представлению, нижний — другому. Таким образом, мы нашли все неприводимые представления, однако было бы интересно найти и базисные функции для только что найденных последних двух представлений. Это можносделать методом проекционных операторов (см. уравнение (П12.26)). В ка- честве первой попытки получить простую функцию попробуем выбрать для аР функцию только от х.
Если мы применим просто х, то немедленно найдем, применив (П12.26) и равенства (П12.67), определяющие операторы, что все функции 7)Р' обращаются в нуль. 426 Приложение 12 Воспользуемся тогда х', в этом случае Яв'е' = Яз вр = Яз Ф вЂ” Яв 1е' = Х ЯввР=Яв вР=Яе Ф Яв вр=у Яввр=ЯвоФ=ЯпФ=Жзвр=г. Таким образом, для базисных функций находим 4 (х'+ е+гез1зу'+ елвнв1згв) (П12.70) где опять верхние знаки дают базисную функцию для первого из двух представлений (П!2.69), нижние — для второго.
Читатель легко проверит, что различные операторы, действуя на функции (П12.70), дают правильные значения матричных элементов в соответствии с (П12.69). Интересно и полезно посмотреть, как отдельная функция типа (П12.70) может диагонализовать вращения на угол 2п/3 относительно каждой нз четырех осей третьего порядка столь симметричным образом. Эти функции, конечно, не являются наиболее общими базисными функциями, возможными для этих представлений, однако можно выбрать общие функции, умножая функции (П!2.70) на функции, имеющие одни и те же значения в любом наборе из двенадцати эквивалентных точек на фиг. П12.4.
Иначе говоря, мы умножаем на любую базисную функцию тождественного одномерного представления. Теперь рассмотрим группу Т„. Эта группа содержит, кроме двенадцати операторов группы Т, еще двенадцать, каждый из которых получается из соответствующего оператора группы Т инверсией. Таким образом, оператор Ям определяется соотношением Ям ф (х, у, г) = ф ( — х, — у, — г), или является просто оператором инверсии; Я„определяется уравнением ЯвМ (х У г) = ф ( — х, у, г) и т.д. Групповая таблица умножения легко строится из таблицы для группы Т; произведение двух операторов, включающих инверсию, идентично произведению двух соответствующих операторов без инверсии, а произведение операторов, включающего инверсию и не включающего инверсии, является оператором, включающим инверсию.
Оператор инверсии коммутирует с каждым из операторов группы. Группа имеет восемь классов: четыре, найденные нами среди операторов Яо..., Я,з, и еще четыре — среди операторов Я,з,..., Яз,, разделяющихся на классы таким же точно образом, как и операторы Я„..., Ям. Следовательно, существует восемь неприводимых представлений, из которых шесть одномерные и два трехмерные. Легко построить неприводимые представления и базисные функции для них. Во-первых, мы можем воспользоваться базис- ными функциями четырех неприводимых представлений группы Т.
Они образуют базисные функции для половины представлений Тв. Теория ерулл 427 Постоянная функция и две базисные функции (П12.70) не меняются при инверсии, и что касается этих представлений группы Т, матрицы операторов Ям,..., Яы идентичны с матрицами Я„..., Яоп взятыми в этой последовательности. С другой стороны, базисные функции х, у, г трехмерного неприводимого представления меняют знак при инверсии, так что они дают неприводимое представление группы Тю для которого все матричные элементы операторов Ям,..., Я„равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку матричным элементам операторов Я„..., Яио Остальные неприводимые представления описать довольно легко.
Существуют еще три одномерных представления, матричные элементы которых для операторов Ям,..., Яы имеют противоположный знак по сравнению с матричными элементами Я,..., Ясь и другое трехмерное представление, матричные элементы которого для Ям, ..., Я„идентичны с матричными элементами для Я„..., Яоь Базисные функции для этих представлений проще всего построить, умножая базисные функции четырех представлений Т на функцию хуг, не меняющуюся при действии всех операторов группы Т, но меняющую знак при инверсии.
Мы переходим теперь к важной по своим физическим приложениям группе Тд, которая уже встречалась нам при изучении молекулы СН, и все операторы которой, вращения и отражения, преобразуют правильный тетраэдр сам в себя. В этом случае имеются 24 оператора, как показано с помощью эквивалентных точек на фиг. П12.5. Первые 12 идентичны операторам группы Т. Следующие 6: Ям, ..., Ям — так называемые несобственные операторы вращения на угол ~п/2 относительно осей х, у, г соответственно. Иначе говоря, Я„есть поворот на я/2 относительно оси х с последующим отражением в плоскости х = 0; ߄— поворот на — и/2 относительно оси х с последующим отражением и т. д.
И, наконец, Я„,..., ߄— отражения в шести плоскостях: у = г, у = — г, г = х, г = — х, х = у, х = — у соответственно. Мы даем определения этих операторов в табл. П12.9. Группа Тд изоморфна группе перестановок четырех объектов, например букв, а, Ь, с, А как уже было упомянуто в $ 1 втой главы.
Очевидно, что каждый оператор переводит каждый из углов тетраэдра в некоторый другой угол, так что он переставляет буквы, отмечающие углы, т. е. а, Ь, с, е/. Эти перестановки букв указаны в табл. П12.9. Таблица умножения группы Тд весьма обширна, однако для полноты изложения она приведена в форме табл.
П12.10. Когда мы рассмотрим операции для определения классов, то найдем, что имеются пять классов операций: тождественное преобразование, вращения на угол я относительно осей симметрии второго порядка Яя, Я, и Яь вращения на угол 2п/3 относительно осей третьего порядка Я,, ..., Янь попадающие теперь в один класс, Приложение )2 428 Таблица П)2 9 Операции группы Та а не в два, как в случае группы Т, несобственные вращения на ~п/2 Я„,..., Я„и отражения Я„, ..., Я„. Таким образом, должно иметься пять неприводимых представлений, из которых два одномерных, одно двумерное и два трехмерных, удовлетворяющие соотношению 1' + ! ' + 2' + 3' + 3' = 24.
Обсудим теперь эти неприводимые представления. Первое одномерное представление есть, конечно, тождественное с базисной функцией, которая может быть выбрана постоянной, или функцией, принимающей одинаковые значения во всех двадцати четырех точках, эквивалентных данной точке. Чтобы найти другие представления, полезно исходить из уже изученных нами базисных функций для группы Т и посмотреть, не могут ли они служить базисными функциями для группы Та. Имеются две функции (П12.70), образующие базисы для еще двух одномерных представлений группы Т.
Мы найдем поэтому, что операторы Я„..., Я(а группы Та, Пир(х, у, г)=ф(х, у, г) Рдз (х, у, г)=1р(х, — у, — г) )2гзу(х, у, г) =1Р( — х, у, — г) ЩЬ(х, у, г)=$( — х, — у, г) ЙД~(х, у, г) = ф (у, г, х) Пдз(х, у, г)=-зр( — у, г, — х) Лгчр(х, у, г)=~у( — у, — г, х) йдз(х, у, г)=~у(у, — г, — х) йаф(х, у, г)=ф(г, х, у) Руф(х, у, Р)=1Ь( — г, — х, у) Рпр(х, у, г)=ф(г, — х, — у) й,гф(х, у, г)=~у( — г, х, — у) Р~ фу (х, у, г) = ц' ( — х, г — у) РгД~(х, у, г)=ф( — х, — г, у) Р~аф(х, у, г)=$( — г, — у, х) Р~Д~(х, у, г)=$(г, — у, — х) )сгг3Р (х, у, г)= 1Ь (у, — х, — г) РсаФ(» у г)=$( — у х — г) Й,аф(х, у, г)=$(х, г,у) йпрр(х, у, г)=~у(х, — г, — у) РгНР(х, У, г)=-~Ь(г, У, х) Рггф(х, у, г)=ф( — г, у, — х) Пггф(х, у, г) =ф(у, х, г) Р»Д3(х, у, г)=$( — у, — х, г) (аЬса) (Ьаис) (сааЬ) (йсэа) (асаЬ) (ЛЬас) (Ы ) (саЫ) (иаэс) (сЫа) (аасЬ) (Ьсан) (асаЬ) (сс(Ьа) (Ьсаа) (ааЬс) (сас(Ь) (Ыас) (аЫс) (Ьасд) (ансЬ) (сЬас() (асЫ) (с(Ьса) Теория групп 429 Таблица П72.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
