1626435897-c91cf2b6442cb8008f24e7d1becd3805 (844335), страница 96
Текст из файла (страница 96)
70 Таблица умнпменип алп группы Т,1 5 6 7 6 9 10 11 12 13 14 15 16 17 16 2 3 Я 19 20 21 22 23 24 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 !7 !8 2 3 4 !920 2! 22 2324 7 8 5 6 !2 11 1О 9 8 7 6 5 10 9 !2 11 б 5 8 7 11 12 9 '10 14 132! 2224 23 20 ! 9 16 15 23 24 1920222! 1817 20 19 !5 16 18 17 14132221 1718 ! 3 14 16 15 24 23 !43 412 321 2 2 3 3 4 4 18 24 14 20 16 22 17 23 20 14 21 15 23 ! 7 13 19 22 16 24!8 19!3152! 22 ! 5 24 17 20 13 21 16 18 23 13 20 15 22 23 !8 14 19 16 2! 1724!9 14 5 5 б б 7 7 8 8 9 9 10 10 !1 11 12.
!2 13 '13 8!! !2 1 610 9 2 2 8 б 9 457!О 1! 2 3 5 19 20 13 14 20 19 14 13 2! !6 22 15 22 !5 21 16 23 !7 18 24 24 18 17 23 9 3 2 б тождественные операторам Т, преобразуют каждую из этих функций в нее же, умноженную на константу. Однако операторы отражения нз Та преобразуют каждую из этих двух функций в другую. Следовательно, мы должны брать совместно эти две функции в качестве двух базисных функций для двумерного представления группы 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 !4 !5 !б !7 18 8 6 7 7 5 8 6 8 5 5 7 б 11 12 10 12 11 9 9 10 12 !О 9 11 14 19 20 13 20 19 22 16 2! 21 15 22 23 24 18 24 23 17 9 12 !0 11 1 4 2 3 1! !О 12 9 4 1 3 2 !2 9 11 10 2 3 1 4 10 11 9 12 3 2 4 1 1 3 4 2 5 7 8 6 3 1 2 4 8 6 5 7 4 2 1 3 6 8 7 5 2 4 3 1 7 5 6 8 16 15 22 21 24 23 18 17 222! 161517 182324 18 23 17 24 20 13 19 14 24 ! 7 23!8 ! 3 20! 4 19 14 20 19 13 22 16 15 21 20 ! 4 13 ! 9 15 21 22 16 21 22!5162324 17!8 15 16 21 22 18 17 24 23 23 18 24 ! 7 19 14 20 13 17 24 18 23 14 19 13 20 19 13 14 20 21 15 16 22 13 19 20 14 16 22 21 15 218 126 9!1 3 1О 12 1 769 8 5!1 347 435 1210 4 !1 9 2 6 710 5 8!2 7 910 512 1! 1 б 8 3 7 5 124 ! 10 1 4 23 17 19 13 21 ! 5 24!8 !319!622 ! 8 24 20 14 15 21 17 23 14 20 22 1б 21 16 23 18 19 14 22 15 17 24 14 19 16 21 24 17 13 20 ! 5 22 18 23 20 13 4 3651112 3487109 12102475 !1 9 4 2 6 8 8 5 1О !1 3 2 7612923 256910 1 7 81211 1! ! 3 5 7 12 3 1 8 б 8 912! 4 7 1! !О 4 1 Приложение !2 Та.
Ситуация в точности аналогична соотношению между группами С, и Са„: две базисные функции ехр (пр) и ехр ( — 1гр) в группе С„ где они были базисными функциями для двух одномерных представлений, переходят друг в друга при действии операторов отражения, входящих в группу Са„так что в группе С„они вместе образуют базис для двумерного представления.
Здесь аналогично две функции (П12.70) образуют базис для двумерного представления Тл. При желании можно, совершив линейное преобразование этих двух функций, взять их сумму и разность, пропорциональные Зх' — г', 3 3 (уа — га). далее, можно рассмотреть три функции х, у, г, совместно образующие базис для трехмерного представления группы Т. Мы найдем, что они подобным же образом служат базисом и для трехмерного представления из Тл. Таким образом, мы объяснили одно из одномерных представлений, двумерное представление и одно из трехмерных представлений Тл, однако нам недостает второго одномерного и второго трехмерного представлений. Чтобы получить сведения о природе этих представлений, нужно несколько подробнее заняться изучением наших операторов, и это удобнее сделать для группы перестановок, чем для группы вращений — отражений ').
В некоторых отношениях простейшим типом перестановок являются так называемые транспознции: две буквы в последовательности а, Ь, с, д просто меняются местами. Так, например, перестановка, переводящая последовательность а, Ь, с, д в Ь, а, с, д, есть транспозиция. В рассматриваемом случае имеются шесть транспозиций, соответствующих шести парам букв, и изучение табл. П!2З указывает, что им соответствуют операторы Я,э,..., Я„. Заметим, далее, что любая перестановка может рассматриваться как результат некоторого числа последовательных транс- позиций. Так, из групповой таблицы умножения (см. табл.
П12.10) видно, что произведения двух операторов из набора Яиь ..., Яа„ расположенных в нижнем правом углу таблицы, включают все операторы Я„..., Яиь Каждый из этих операторов может рассматриваться как результат последовательных транспозиций. Аналогично каждый нз операторов Ям,..., Я,а может быть построен в результате последовательного применения одного из операторов Ятэ, ", Яаа и одного из операторов Я,, Я„Я„как это видно из групповой таблицы умножения. Иными словами, каждый из операторов Ям, ..., Я„ может рассматриваться как суперпозиция трех последовательных транспозиций.
Мы далее видим, что все операторы Я„..., Яыь содержащиеся в группе Т, могут ') Напомним, что группа Та иэоморфна симметрической группе четвертой степени, т. е. группе перестановок четырех объектов. Если отвлечься от природы элементов групп, то этн две группы идентичны.— Прим. ред. Теория еруяи 431 рассматриваться как образованные четным числом транспозиций, в то время нак операторы Яы,..., Яьь содержащиеся в Тя, но не в Т, образованы нечетным числом транспозиций. Следовательно, весьма естественно искать представления, в которых все операторы, составленные из четного числа транспозиций, преобразуют функцию так же, как в группе Т, а операторы, составленные из нечетного числа транспозиций, вводят дополнительный множитель — 1.
Иначе говоря, мы можем полностью найти одномерное представление, в котором диагональный матричный элемент каждого из операторов Я,,..., Я„есть 1, а каждого из операторов Ям,..., Ям есть — 1. Будем искать базисные фуниции для такого представления. Из рассмотрения операторов следует, что такая функция должна быть инвариантной относительно изменения знаков двух из трех переменных х, у, г'и относительно циклических перестановок переменных, но должна менять знак при перестановке двух переменных.
Простейшая из таких функций имеет вид (х' — у') (у' — ге) х х (ге — х'), где квадратичная зависимость от переменных обеспечивает инвариантность функции относительно перемен знаков х, у, г; эта функция, конечно, не меняется при цинлической перестановке переменных, однако транспозиция, например, х и у меняет ее знак. Итак, эта функция образует базис для неприводимого представления, существование которого предполагалось. Перемножая двучлены, мы найдем, что эта функция тождественна с — [х' (уе — ге) + у' (ге — х') + г' (х' — у')1.
Мы могли бы получить эту функцию непосредственно, применяя оператор из (П12.26) к функции — х'у' в предположении рассматриваемого представления, однако возможно, что это не совсем очевидная базисная функция, хотя к ней привел бы систематический подбор произведений степеней х, у, г с возрастающими показателями. Мы должны еше найти другое трехмерное представление и, естественно, попытаться скомбинировать функции х, у и г с функциями, изменяющими знак при перестановке двух индексов.
Довольно естественно попробовать выбрать три фуннции х (уе — ге), у (ге — х'), г (х' — у'), очевидно, имеющие правильный тип симметрии, и если мы испытаем действие на них всех операторов, то найдем, что они образуют базис для трехмерного представления, отличного от того, ноторое мы уже нашли. Итак, мы получили базисные функции для всех пяти неприводимых представлений и, чтобы найти представления, остается просто подействовать операторами на эти фуннции.
Представления даны в табл. П12.11. Применяя представления, указанные в этой таблице, и теорему (П12.26), можно построить функции надлежащей симметрии, или симметричные орбитали, из произвольных функций. С 4 ь| ! О т со О Е 1 4 -~с оо-о-о-оо 44 ! о о о о х-- ! и % 4 4 сс —— ! -~ч ! 44 з О О о с о -о-о -оо о а о о О О » в 44 3 й О со Сс в з О О О О со О 4 з и а й » й~ -ооо ! ! о-ооо--оо о-ооо--ао -ооо-ооо- о о ооо ооо- о о а о -ооо ооо- Ь О -ооо ооо о о !а.!О ~,(О -~с -4с а( ' 'а!О -~ю -с ! )с 444 4О !О -~О 44 — О '~ Сс 'а!С ! со 4О 'а!О ~ 4 Ъ! ь|-— ! ~ 41 СО ь|- ь! !" ! 4 Ъ~ -~О ~ !44-О О-О-ОООО— о-о-ооьо- ОО-О О-Оо ! -оооо-о-о -оооо-о-о о о-оооо! о-о-оооо оо о-о оа оо-о-о-оо оооо о о ! оо--ооо-о оо--ооо о оо -ооь-о оо--ооо-о о о о о оо о-ооо — оо -ооа ооо— -ООО-ООО о — о-оооо- а-О-ОООО— ОО О О ОО ! оо-о-о-оо -оооо-о-о ! -оооо о-о ! о-о-оооо! о-о-оооо- оо-о-о-оо оо-о-о-оо оооо о-о оооо-о ь оо--ооо-а ! оо--ооо-о ОО--ООО-О оо--ооо о а.
о оо о-ооо--оо о ооо--оо о-ооо — оо -ооо ооо- -ооо ооо- с + 4 Н ! н ! ъ 433 Теория грулл Полезно также иметь таблицу характеров группы. Для этой цели необходимо описать классы, которых здесь пять: Я,, тождественное преобразование, образует первый класс; Яз, Яа, Яз составляют второй, класс вращений на угол и относительно осей симметрии второго порядка х, у и аз); Яб,..., Я,з — третий, класс вращений относительно осей симметрии третьегб порядка, а именно: Ф и г. П12.5.
Преобразования симметрии группы Тб. Точка 1 переходит а одну на точек 1...2а при каждом преобрааоаании группы. Преобразовании перечислены а табл. 11!2.9. Я, — вращения относительно оси [111[ в положительном направлении на угол 2п/3 (т. е. относительно оси, определяемой компонентами 1, 1, 1 вдоль трех координатных осей), Я, — вращения относительно оси [1 1 1) (т. е. относительно оси, определяемой компонентами 1, — 1, — 1), Я, — вращения относительно оси [1 1 !), Яа — вращения относительно оси [11 1[ и Яо, ..., Ятз — вращения относительно тех же осей на угол 2п/3, но в отрицательном направлении, причем направления вращений определяются, если смотреть с конца вектора на начало координат. Четвертый класс состоит из операторов Я,з, ..., Я,з, представляющих, как мы видели раньше, несобственные вра1цения на угол 4.п/2 относительно осей х, у и г, т. е.
Яно например, представляет вращение на 1) Оси д, р, г, как легко видеть из фнг. П12.5, являются осями симметрии второго порядка для тетраздра и вместе с тем осями симметрии четвертого порядка для изображенного на том же вертеже куба.— Прим. ред. Лриложеиие 12 угол и/2 относительно оси х, при котором у меняется на г, г на — у с последующим отражением, заменяющим х на — х. Аналогично определяются и другие операторы класса. Иначе можно рассматривать Я,а как вращения на угол — и/2 относительно оси х, заменяющие у на — г, г на у с последующей инверсией, при которой х, у, г все меняют знак.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
