1626435897-c91cf2b6442cb8008f24e7d1becd3805 (844335), страница 97
Текст из файла (страница 97)
Пятый класс состоит из операторов Ф и г. П12.6. Диаграмма, показывающая, что вращение на.и относительно оси у = — г, переводящее точку 1 в точку а с последующей инверсией, переводящей а в 19, эквивалентно отражению в плоскости у = г, непосредст- венно переводящему 1 в 19. Я,э, ..., Ягы которые, как упоминалось выше, являются отражениями в шести плоскостях у = -1-г; г = ~х, х = ~ у. Иначе они могут быть описаны как вращения на угол и с последующей инверсией.
Так, например, Я„переводит х, у, г в х, г, у. Как видно из фиг. П!2.6, вращение на угол и относительно прямой у = — г с последующей инверсией производит именно это преобразование: вращение меняет х, у, г на — х, — г, — у, а инверсия преобразует этот результат в х, г, у. Существуют стандартные обозначения для этих и для других классов в соответствующих точечных группах. Первый класс обозначается символом Е, применяемым для тождественного преобразования.
Второй класс, состоящий из трех вращений на угол и относительно осей четвертого порядка х, у, г '), обозначается как ЗСеа, где 3 указывает число операторов в классе, С, означает вращение на угол 2п/4 относительно оси четвертого порядка, а верхний индекс 2 указывает, что это вращение производится дважды, т. е. что в результате имеет место вращение на и. Третий класс обозначается как 8Са; это класс, состоящий из восьми вращений относительно оси третьего порядка на угол ~2п/3. Четвертый класс обозначается как 6,/С,. Это означает, что класс состоит из шести опера- ') Как замечено выше (см.
стр. 433), оси г, у, г являются осями симметрии четвертого порядка для куба на фнг. П12.5.— Лрии. ред. Теория еруаа торов вращений на угол 2я/4 (указано символом С,) с последующей инверсией (указано символом 1). Пятый класс обозначается как 61Си; это класс из шести операторов вращений на угол 2п/2, или на угол я относительно оси симметрии второго порядка, такой, как г = — у, с последующей, инверсией. В этих обозначениях таблица характеров, легко получаемая из табл. П12.! 1, представлена в виде табл.
П12.12. Таблица П12.12 Таблица характеров аля группы Тл все все Влол Следующей группой, которую мы рассмотрим, будет группа О. Она состоит из вращений, преобразующих куб или октаэдр самих Фиг. П!2.7. Операции симметрии группы О. в себя. Группа содержит 24 преобразования симметрии, показанные на фиг. П)2.7. В состав группы входят 12 операторов группы Т, 6 операторов вращения на угол ~п/2 относительно осей х, у, г А г, ,!!2 ге Р Тв г т Тв 1 1 2 — 1 — 1 1 ! — 1 О О ! — 1 Π— 1 1 1 — 1 О 1 — 1 Пригпхение 12 г г "и ра г соответственно, обозначаемые символом 6Сы и 6 операторов вращения на угол я относительно осей, перпендикулярных к плоскостям отражения, которые подразумеваются в определениях операторов Яиь ..., Яге в группе Те обозначаемые как 6Сг.
Другими словами, каждый из операторов Яиь ..., Яге этой группы подобен соответствующему оператору из табгича Па.уз группы Те, но без инверсии вааисиые фуиипии дап иеариппдиыыд (или с двойной инверсией 1, так предетаааеиий еруппы О как эффект двух инверсий тот же, что и при тождественном преоб- 1 разовании).
Согласно этому определению, можно найти операторы Яиь ..., Яг, группы О из табл. П12.9, меняя знак каждой уг, гк, ку из переменных х, у, г; так, например, для группы О мы имеем Я1г ер (х, у, г) = ф (х, — г, у). Легко показать, что эта группа изоморфна с Те, так что ее таблица умножения, классы операторов и неприводимые представления идентичны с таковыми в Те. Базисные функции, однако, отличаются. Простейший набор базисных функций для группы О дан в табл. П!2.13.
Последняя кубическая группа одновременно является и наиболее сложной и одной из наиболее важных физически; это группа О». Она состоит из всех 48 операторов вращений и отражений, переводящих куб сам в себя. Можно описать эти операторы одним из двух простых способов с помощью уже рассмотренных примеров. Будем исходить из группы Тд, взяв 24 оператора этой группы и добавляя к ним 24 дополнительных оператора, идентичных с первыми, умноженными на последующую инверсию. Но можно исходить из группы О, взяв соответствующие 24 оператора, и добавить к ним 24 дополнительных оператора, образованных из них умножением на инверсию. В любом случае мы приходим к описанию 10 классов, а именно в обозначениях, введенных ранее, это Е, ЗС,', 8С,, 61С„ 61См 1, 31С'„81Сг, 6С„6Сг.
Что касается диаграммы, указывающей преобразования симметрии, то имеются по шесть эквивалентных точек, как в группе Тю проиллюстрированной на фнг. П12.5. Эти точки окружают каждую из восьми вершин куба. Отношение этой группы к группе О точно такое же, как и отношение Та к Т. Мы предпочтем описывать 48 операторов в терминах 24 операторов из Те. Обозначим через Я„..., Я,е операторы, отвечающие операторам Я„..., Я„группы Те с последующей инверсией.
Групповая таблица умножения может быть сразу же получена из таблицы умножения Т„, представленной табл. П12.10. Найдем индекс оператора произведения из этой таблицы. Если мы имеем Теория групп 437 два оператора со штрихом или два оператора без штриха, то оператор произведения будет без штриха; если мы имеем один оператор без штриха, а другой — со штрихом, то оператор произведения будет со штрихом. Мы упомянули, что в группе имеются 10 классов, т. е.
в два раза больше, чем в Тв. Имеются, таким образом, 10 не- приводимых представлений, из которых 4 одномерных, 2 двумерных и 4 трехмерных. Каждая базисная функция Тв ведет к двум базисным функциям и двум неприводимым представлениям Од, для операторов Я„..., Яг, оба такие представления одинаковы, а для операторов Я„...,Я,4 одно из них — тоже, что для Я„..., Ягы взятых в том же порядке, а другое противоположно первому по знаку, совпадая с ним по абсолютным значениям матричных элементов. Функциями базисов являются функции табл. П12.11 и зти Таблица П12.[4 Бйзнсные функцнн для группы Ой о эук БСВ хд тд ЛБ (гй, (Г!)и (г ) (Г2)и (г0 (Гг) (Гг) ([1)и г, г.
Гг г, [з г, г; г„ А,в Аги Агв 41и ц' Гв е е' гд г г„ г Гз ,Данн шесть снмаолоа для каждой базнсяой функцнн нлн ьабора базнснмх функцнй. Первый основан на обозначениях табл. П12.11 для группм ТВ. Напрнмер, функцпп (Гх) н (Гт) обе яаляштсн базнсннмн функциями для непрнаоднмого предстаалення Гх на Тв. Индекс в указывает, что базисная функция четка прп отраженнн, индекс и указнаает, что ана нечетна. Второй символ аналогнчным образом основан на обозпаченнях группы О н табл. П 12.15. Третнй снмаол (ЭУК) является обозначением, которое дается а книге Эйрпнга, Уолтера н Кнмбалла [5). Этп обозначения чаще всего применялись прн рассмотреннн молекул.
Остальные обозначения прнменялнсь а теории нрпсталлоа. Четвертые обозначения (БСВ) даны Боунертом, Смолухааскнм и Внгнером [б). Пятне (ЛБ)-обозначения Лаге н Бете [т) н шестые (Хд)-обозначения Хозарга н Джонса [5[. (Гз)в ([ 5)и (г ) (Га)и (Гз)в (1 5)и (г ) (Гг)и (г ) (Га)гс (Г5)в (Г )и Ев Еи Тгв Таз Т, Г12 Г! 2' Г25 г г Г25 [ хуг ха (уз — 22) + уа (ы — хй) + 24 (.хй — уй) ху2 [ха (уз — 22)+ уа (22 — хй)+ + га (хз — уа)1 Зхй — гз, р' 3(уз — гй) хуг (Зхз — гз), )г 3 ху2 (уй — 22) Уг, 2Х, ХУ х, у, г уг(уа — гз), гх (22 — хз), ху(хя — уз) х(уз — гз), у(гз — хя), г(хз — уз) Приложение 12 же функции, умноженные иа худ или полученные заменой трех величин х, у, г иа уг, зх, ху соответственно.
Представления могут быть найдены из табл. П12.11, и, применяя метод проекционных операторов, мы можем построить общие базисные функции для каждого иеприводимого представления. В табл. П12.14 приведены базисные функции для 10 иеприводимых представлений вместе с данными о представлениях и обозначениях этих 1О иеприводимых представлений, введенных различными авторами для обсуждения симметрии кубических молекул и кристаллов.
На основе приведенного описания можно теперь построить таблицу характеров иеприводимых представлеиий группы Ои. Оиа представлена в табл. П12.15. Мы воспользовались обозиачеииями, Таблица П12Лб Характеры для группы Оз Неприводимые представления отмечены символами, примененными в работе 131 и указанными в табл. П12.!4, а также символами, относящимися к группе Тл. злс1 зс1 6Са 2Са беса 61С2 ззса 6Са эук и выведенными с помощью группы Те, а также и обозначениями, применяемыми вообще в литературе по структуре молекул, например, в работе 15), для обозначения представлений; соответствие между этими обозначениями и прочими указаио в табл.
П12.14. Можно непосредственно видеть связь между этой таблицей характеров и табл. П12.12 для Та. Каждая пара иеприводимых представлений Оз имеет одни и те же характеры (а также и матричные элементы) для операторов первых пяти классов, содержащихся в группе Тл, приводимые в табл. П12.12 для этой группы. Однако в каждой паре первое представлеиие для Оз имеет знак плюс для опера- (Гз)а (Г1)и (Г ) (! 2)и (! з)а (! з)и (Г,), (Га)и (Гз)а (Г,) А,я Аги Ага А!и Ев Еи Тга Тги Т Т2и 1 1 1 1 2 2 — 1 — 1 — 1 — 1 1 1 1 1 — 1 — 1 О О О О 1 1 — 1 — 1 ΠΠ— 1 — 1 1 1 1 1 — ! — ! О О ! ! — ! — 1 1 — ! 1 — 1 2 о 3 — 3 3 — 3 1 — 1 1 — 1 2 — 2 — 1 1 — 1 1 1 — 1 1 — 1 — 1 1 О О О О 1 — ! — 1 1 О' Π— ! 1 ! — 1 1 — 1 — 1 1 О О 1 — 1 — 1 1 Теория груяя 439 тора У, второе — знак минус с соответствующим изменением знака для всех остальных операторов.
Что касается связи с группой О, содержащей операторы первых трех и последних двух классов табл. П12.15, то мы видим, что представления А,я и Аги (в обозначениях Эйринга и др. [5)) имеют те же матричйые элементы для этих операторов и те же характеры, что и представление Г, группы О (таблица характеров для О идентична с таблицей для Тю см. табл. П12.12). Аналогично А,я и Аг„имеют те же характеры, что и представление Г, группы О; Ея и Е„имеют те же характеры, что и представление Г, из О; Т, и ҄— те же, что и представление Г, из О, а Т, и Т,„— те же, что и представление Г, из О. В каждом из этих случаев мы имеем две базисные функции, указанные в в табл. П12.14 для каждого неприводимого представления группы Тя или группы О.
Обе эти функции — правильные базисные функции, однако функция с меньшими степенями х, у и г — это функция, приводимая в табл. П12.11 или П12.13 соответственно для этих двух групп. й 8. Расщепление уровней энергии атомов в кубическом или тетраэдрическом поле В 9 3 гл. 11 в нашем обсуждении конфигурационного взаимодействия для неона мы рассмотрели задачу расщепления мультиплетов атома при введении возмущающего поля тетраэдрической симметрии. Это частный случай более общего вопроса о расщеплении уровней энергии атомов при любом типе возмущающего поля.
Этот вопрос возникает не только в молекулярных проблемах, но также в задаче об энергетических зонах в кристаллах. Он был рассмотрен в знаменитой работе Бете 19). В настоящем параграфе мы обратимся к этой общей задаче. Рассмотрим сначала кубическое и тетраэдрическое поля; они являются единственными полями, представляющими действительно некоторую трудность; затем заметим, что соответствующая задача для полей с симметрией вращения, таких, как Сия, Ояя я т. и., тривиально проста. Можно легко описать метод, примененный Бете, на языке теории групп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
