1626435897-c91cf2b6442cb8008f24e7d1becd3805 (844335), страница 92
Текст из файла (страница 92)
Таким образом, для этой частной задачи две функции с равными по абсолютной величине положительным и отрицательным значениями т соответствуют одному собственному значению. Мы имеем вырожденное состояние, хотя это вызвано и не многомерностью представлений группы операторов симметрии. Мы можем рассматривать это вырождение как случайное. Иногда оно описывается как вырождение, возникающее из обращения времени (см. $ 4 гл. 3). Зто описание основано на уравнении Шредингера, зависящем от времени.
Заменяя время ! на — ! и беря.'комплексно сопряженное уравне- х) Речь идет об)уравнении Шредингера дпя стационарных состоянибе отеер = Еер, когда ер ие аависит от времени. — Прим. перев. Приложение 12 412 ние, мы видим, что тр* удовлетворяет в точности тому же самому уравнению, которому удовлетворяет ф. Следовательно, тот факт, что сопряженная волновая функция удовлетворяет тому же самому уравнению, что и исходная волновая функция, и по этой причине также является собственной функцией, обусловлен возможностью замены 1 на — 1, т. е. обращения времени '). Закончим на этом наше обсуждение случая, когда единственными операторами симметрии являются вращения относительно оси, связанные с группой Си, и в качестве следующего возьмем наш случай Ся„включающий также отражение относительно осн ф = О.
Мы уже дали довольно полное обсуждение этого случая в й 2 и $ 5 гл. 8. Было показано, каким образом мы получаем 2У операторов Хч, Эч. Мы могли бы, при желании, перенумеровать их для удобства как Я,, ..., Язн. Была установлена групповая таблица умножения операторов, изучены их классы, число и типы неприводимых представлений и базисные функции.Мы провели весьма подробное обсуждение случая С„ в предыдущих параграфах этого приложения. Остается сделать лишь несколько замечаний. Одно из них состоит в том, что и в общем случае так же, как в случае С„, мы можем, при желании, пользоваться для двумерных представлений базисными функциями не только вида ехр (ипгр), ехр ( — (ппр), но также з)п тгр, соз тгр.
Весьма просто изучить действие операторов на эти базисные функции, а следовательно, и неприводимые представления, вычисляемые с помощью этих базисных функций, пример которых был дан в табл. П12.4 для случая У = 3. Другое замечание заключается в том, что мы нашли применения для характеров различных представлений, но не установилн еще, каковы они для общего случая Ся, Можно получить такую информацию из нашего изложения 2 5 гл. 8. Во-первых, мы имеем одномерные представления, возникающие в случае т = О, обозначенные нами как Х+ и Х в 2 5 гл.
8. Для Х+ из соотношения (8.27) характеры )( (Я,) равны 1 для каждого из 2У операторов. Для Х они равны 1 для й( операторов Х и — 1 для й( операторов Эч. Это соответствует первому и второму неприводимым представлениям С„, данным в (П12.15). Если )Ч вЂ” четно, мы имеем также два неприводимых представления, относящихся к лт = У(2, соответственно четное и нечетное относительно отражения. Как мы видели из (8.28), характеры первого представления суть ( — 1)ч для операторов Х ') Автор здесь не входит подробно в рассмотрение операции обращения времени. В частности, в тексте предполагается, что бгь"' =сто, т. е.
что гамильтониан действителен. В этом случае фоба — — ф~ (х, — 1). Однако в ряде случаев, имеющих физический интерес, в частности при учете спин-орбитального взаимодействия, это не так. Подробнее см. 111. — Прим. перез. Теория ерупп 413 и такие же для Э», в то время как для второго представления мы имеем ( — 1)' для Х и — ( — 1)' для Э». Для двумерных представлений результат действия Я, » и У» дается соответственно уравнениями (8.19) и (8.22). Оператор Х» умножает функцию на ехр (2п(те///1/).
Таким образом, два диагональных матричных элемента для двух базисных функций соответственно ехр (/лир) и ехр ( — /т р) суть ехр (2п/лп//М) и ехр ( — 2пиие//И). Следовательно, характер для этих операторов, будучи суммой двух диагональных матричных элементов, равен 2 соз (2пгле//М). Заметим, что, как в 5 3 гл. 8, два оператора Х» н Я» принадлежат к одному и тому же классу, н напомним, что все операторы одного н того же класса должны иметь один и тот же характер; это согласуется с результатами, полученными выше, поскольку соз (2птд/Ж) имеет то же значение, что и соз ( — 2пте///)/).
Что касается операторов У», то мы заметим из (8.22), что и/», действуя на одну из базисных функций, переводит ее в другую, умноженную на постоянную. Следовательно, в данном случае отличных от нуля диагональных матричных элементов у этих операторов нет и характеры для них будут нулями. Это согласуется с тем фактом, что в случае нечетного М все Э» принадлежат к одному классу, а в случае у четного у» с четными е/ принадлежат к одному, тогда как и/» с нечетными д — к другому классам; в обоих случаях сохраняется наш вывод, что все операторы одного и того же класса имеют одинаковый характер.
Прежде чем закончить рассмотрение случая Сл„, обратим внимание на сходство базисных функций для двумерных представлений ,с базисными функциями одномерных представлений группы С„. Напомним, что в этом последнем случае мы имели одномерные представления с базисными функциями ехр (/лир) и ехр ( — ппеу), вырожденными вследствие обращения времени, а не вследствие двумерности представления. Здесь же мы имеем двумерные представления с теми же самыми двумя базисными функциями, которые автоматически вырождены в силу симметрии. Различие между этими двумя случаями в том, что для Си, оператор отражения имеет отличные от нуля недиагональные матричные элементы между функциями ехр (ппер) и ехр ( — /пир), в то время как для Сл нет операторов, имеющих отличные от нуля недиагональные элементы между этими функциями. Конечные результаты в той мере, в какой речь идет о базисных функциях и вырождении в этих двух случаях, существенным образом согласуются.
В заключение представим графически характер неприводнмых представлений в двух простых случаях, а именно при л/ = 3 и У = 4. Если использовать вещественные представления из табл. П12.4 для С„, а не комплексные представления из табл. П12.3, н если применить соответствующее вещественное представление 414 Пр ° 12 для Са, то можно графически представить природу представлений указанием областей пространства, где базисная функция положительна, и областей, где она отрицательна, разделенных узловымн п, а. Группа Са б. Группа Се, Ф н г.$ П!2.1.
Природа симметрии длн базисных фуннннй непрнводнмых представлений Са, н Се . Волновая функция положительна в веааштриховаивоа облает» и отрицательна в ааштРихоаанноа, или наобоРот. Обоаначевна П, и Пт относЯтсЯ к косннУсопоДобным н синусоподобным балиевым функциям, соответственно четиы» и нечетным относительно линиями. На фиг. П12.1 показаны все представления, за исключением Х+, для которого нет узлов. Треугольник в случае Са, и квадрат в случае С„указывают характер симметрии потенциальной функции. Узловые линии являются в большинстве случаев прямымн линиями в силу симметрии, и они были бы прямымн для любого набора базисных функций, приводящего к тому же неприводимому представлению; единственным исключением является вертикальный узел у функции П, для Саш где и кривая узловая Теория грулл линия совместима с симметрией при условии, что нижняя ее половина будет зеркальным отражением верхней.
й 6. Группы трехмерных вращений и отражений В предыдущем разделе мы занимались исследованием группы вращений и группы вращений и отражений на плоскости.'-Можно задать вопрос, как они должны быть дополнены при переходе к трехмерным задачам. Простейшими встречающимися нам случаями вгв ваб Ф и г. 12.2. Симметрии некоторых групп вращений е отражениями. Кружкаин обозначены идентичные положения (подобяые одинаковым атомамя Числа Ь..б нли 1...!У указывают точки, в которые точка ) переходит 'при преоб- разованиях группы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
