1626435897-c91cf2b6442cb8008f24e7d1becd3805 (844335), страница 87
Текст из файла (страница 87)
388). В этой таблице каждый из операторов группы С„соответствует одной из шести перестановок трех объектов а, Ь, с. Перестановки любых А! объектов, как может быть доказано, образуют группу, называемую симметрической группой степени У'). Для У = 3 можно установить точное соответствие между симметрической группой и группой С„. Аналогичным образом позднее в $ 7 этой главы и табл. П12.9. будет найдено, что симметрическая группа степени )т'=4 имеет ту же структуру, что и группа, называемая группой тетраэдра и представляюшая собой группу преобразований Прилазсзние 12 Я,(';) Я,(„,) Я,(„,) Таблица П12.8 Пепрнвадимые представления группы Сз, Для первых двух неприводимых представлений Е+ и Х в качестве базисных функций использованы 1 и з!п Зф. Для третьего представления П применены базисные функции ехр(пр) и ехр ( — ир).
Величина в †сокращенн. обозначение для ехр(2п!/3) и зР†д ехр (4п!/3) = ехр ( — 2н//3) % Яг Яз Яз Яз Яз 1 1 1 1 1 1 — 1 — 1 1 в О О О О аР О О зР в вг О О 1 1 1 — 1 вг О О 1 О 1 в О г, (яй Гг (Я!) Гз (Я!)и Гз (Я!)г! г (яй "з (Я!)гг х) Точнее, группа О изоморфна группе П, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие Ф, такое, что из яз, яг Е О, язяг= = лз следует Ф (д!) Ф (дг) = Ф (дз). Взаимно однозначное соответствие Ф называется тогда изоморфизмом (см. также добавление к приложению 12).— Прил.
рзд. симметрии, совмещающих правильный тетраэдр сам с собой. Две группы, между которыми можно установить такое же соответствие, как между С„и симметрической группой степени й/ = 3 и которые имеют, следователь- Таблица П12.2 но, одинаковую структуру, наперастаиовкн симметрической гРУппы зываются изоморфными '). Р( б 5 гл. 8 мы исследовали базисные функции для непри'( ) иьс '1 водимых представлений группы асЬ,/ С„„, частным случаем которой ,' аьс ', является Сз,. Как было уже Яз( ьи,,/ указано, простыми базисными ~ иьс 'х функциями для одномерных Яз(,ь ) представлений будут константа и з!и 3!р, а для двумерного представления можно взять две функции ехр (1!р) и ехр ( — щ).
С помощью этих базисных функций могут быть вычислены матричные элементы неприводимых пред- Теория груп» ставленнй, определяемые согласно уравнению (8.15). В уравнениях (8.19), (8.22) и (8.27) содержатся правила, необходимые для нахождения матричных элементов в группе С„. Из этих уравнений мы получаем значения для матричных элементов, приведенные в табл.
П12.3. Мы получили теперь сведения относительно группы, которую будем применять для иллюстрации, н ниже мы продолжим обсуж; денне общих теоретико-групповых методов и теорем, используя этот случай в качестве примера. $ 2. Общие свойства представлений В Э 4 гл. 8 были введены матричные элементы операторов, образующие представление операторов. В уравнении (8.15), имеющем вид Я;и =~Г(Яе)» иы (П12.5) А ~ Г(Я,),„Г(Я,)„=Г(Я,)„, е (П12.
так что этн матрицы комбинируются в соответствии с матричным правилом умножения. Можно доказать, что любой набор матриц, определяемый уравнением (П12.5) с помощью набора базисных функций, имеет такие свойства. Для этого перепишем соотношение (П12.5) в виде Яти = ~ч~ Г (Ят)е и,. (П12. 7) утверждается, что результат действия оператора Я~ на одну из базисных функций набора и» представляет собой линейную комбинацию базисных функций. Если базисные функции выбираются ортонормнрованными, то в этом случае, как было доказано (см. (8.16)], величины Г (Я;)» просто являются матричными элементами (Яе)» оператора Я; относительно базисных функций.
Так как всегда можно определить ортонормнрованные линейные комбинации базисных функций данного набора, то предположение ортонормированности базисных функций не ограничивает общности и мы, начиная с этого момента, будем опираться на это предположение. Относительно представлений имеется много теорем, которые можно доказать. Во-первых, покажем, почему матричные элементы операторов относительно базисных функций рассматриваются как представляющие группу. Основанием для этого является то, что матрицы, определяемые по (П12.5), имеютту же таблицу умножения, что и операторы в том смысле, что если Я,Я; = Я„, то Приложение 12 Подействуем теперь оператором Яг на обе части равенства (П12.7).
Так как величины Г(Я,)„являются числами, то Яг в правой части уравнения (П12.7) действует только на и„и мы имеем ЯзЯ1и = ~ Г (Я1)„Яи,. е (П12.8) Положим Язи = Х Г (Яг)р ир р (П12.9) и подставим в уравнение (П12.8). Тогда имеем Я~Я1ив —— Явив — — ~ Г(Я,)р„Г(Я1)„„ир — — ~ Г(Яг) ир, (П12.10) р,г р откуда немедленно вытекает уравнение (П12.6).
Относительно представлений можно доказать ряд теорем, но мы не будем давать доказательств; читатель может найти их в стандартных изложениях теории групп 11]. Прежде всего, если базис выбран ортонормированным, то матрицы Г (Яз)11 будут унитарными матрицами, т. е. что и имеет место на самом деле; единственные отличные от нуля элементы — это те, оба индекса которых / и / равны 1 или же оба равны 2, и мы имеем Гз (Яг)и — — ео = ехр (2я//3), Гз (Яз)и = = еог = ехр ( — 2я(/3) с аналогичными соотношениями для Гз (Я2)22, ГЗ (ЯЗ)22.
Г(Яй ),,= Г (Яг),з, (П12.11) где Яг' обозначает оператор, обратный Яю и где Г (Яг)зз обозначает матричный элемент, комплексно сопряженный Г (Яд)12. Примеры к этой теореме легко видеть из табл. П!2.3. Во-первых, она, очевидно, удовлетворяется для матричных элементов Г, и Гг. Далее, для Гз она требует, чтобы для операторов Яо Ям Яв, Яв, совпадающих с обратными себе, мы имели Г (Яг)гв = Г (Яз);г или, иными словами, их матрицы должны быть зрмитовыми. Их диагональные матричные элементы должны быть вещественными, что и имеет место: Гз (Я,)и — — Гз (Я,)2, = 1, а диагональные матричные элементы Гз (Яз) для й = 4, 5, 6 равны нулю.
Что касается недиагональных матричных элементов, то единственными неисчезающими элементами будут Гз (Я,)„и Г, (Яв)зг, оба равные 1; Гз (Яз)гг и Гз (Яв)гг, равные ог и вгг, или ехр (2я(/3) и ехр ( — 2и//3) соответственно; Гз(Яв)ы и Гз (Яв)гг, равные еоз и ео, или ехр ( — 2зи/3) и ехр (2я//3) соответственно. Теперь вспомним, что операторы Я, и Яг обратны друг другу. Мы должны поэтому получить 1 3 (Яг)!1 1 3(ЯЗ)зо (П12.12) Теория еруля 39! Таблица П(2.4 Неприводимае представление Гз длп еруппы Сз, Для вычислений применялись в качестве базисных функций соз!р и 5(п !р 2П С05— 3 2п — мп— 3 2л 5!ив 3 2я С05— 3 2п С05— 3 2П 5(П— 3 2П вЂ” 5!П— 3 2П С05— 3 2П С05— 3 2П 5(П— 3 2п 5!П— 3 2п — Саз— 3 2П Саз— 3 2п — 5!П— 3 2п — 5!П— 3 2п — Саз— 3 Гз(Ж)5! !'з (Я!)г! г (я) Гз (Я!)55 Существует весьма важная теорема относительно ортогональности матричных элементов в неприводимых представлениях. Эта основная теорема заключается в следующем: ;; Г„(Я,)»Г,(Я,)! ! = ~ б„б„.бн,.
(П12.1З) Я» Здесь Гр и Га относятся к двум представлениям. Суммирование ведется по всем операторам группы. Величина хг — число операто- При унитарном преобразовании ортонормированных базисных .функций матрицы Г (Я»)» претерпевают преобразование подобия. Можно доказать, что существует преобразование подобия, диагонализующее матрицу Г (Я»)» для фиксированного значения Я». Вообще говоря, можно диагонализовать одновременно матрицы лишь для операторов Я», коммутирующих друг с другом. Таким образом, выбирая базисные функции, применяемые при получении представлений табл. П12.3, мы можем одновременно выбрать диагонализованными матрицы операторов вращения Яг,.
Ям Яз, коммутирующие друг с другом, но не можем диагонализовать одновременно с ними какой-нибудь из операторов Я„Я5, Я„не коммутирующих, как это видно из таблицы умножения, с Я„Яг и Яз. Мы могли бы, однако, выбрать унитарное преобразование базисных функций, диагонализующее Я! и Яз, которые коммутируют друг с другом, но не диагонализующее другие Яо Для Г, и Г, новые базисные функции совпали бы с прежними, но для двумерного представления Гз функциями базиса стали бы соз !р и 5(п !р.
Можно легко показать, что неприводимое представление Гз для С„при этом базисе дается в табл. П12.4. 392 Привонение 12 ров в группе, а и — размерность р-го представления. Чтобы уяснить важность этого утверждения в нашем случае Са„следует обратиться к табл. П12.3. Можно утверждать, что если мы возьмем элементы любых двух строк из этой таблицы, умножим элементы одной строки на сопряженные элементы другой и просуммируем все шесть произведений, то результатом должен быть нуль, если только взяты различные строки.
Если оба элемента берутся из одной и той же строки, то результат должен быть й !пр, т. е. 6 для одномерного представления и 3 для двумерного представления. Например, мы имеем Га (ЯЖ 1'з (Ж)гг+ Га (Яз)нГз (Яг)м+ ° ° ° + 1'з (Яе)пГз (Яв)м = = 1+оРаР+ее+О+О+О = 1+ в+аР=О Гз(Я~);,Гз(Яды+ . +Гз(Яе)йГз(Яе)ы=1 ) (т1=3. Мы получим те же результаты, если применим неприводимое представление для Гз из табл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
