1626435897-c91cf2b6442cb8008f24e7d1becd3805 (844335), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Другую теорему о том, что число неприводимых представлений равно числу классов операторов, мы уже доказали. Изучим теперь, как провести приведение регулярного представления. Мы сделаем это с помощью метода, который сначала проиллюстрируем и проверим в случае С„, а затем докажем в общем случае. Будем исходить из табл. П!2.3 и применим наборы чисел, сопряженных числам этой таблицы, в качестве коэффициентов линейного преобразования от из к новому набору функций Фз.
Мы определяем 398 Привегеение 12 Я,Ф,=Ф, мы уже видели, как найти результат действия любого из операто- ров Яа на каждую из этих функций. Проделав это, мы получим следующие результаты: Я,Фа = ЯгФь = ЯгФь =ЯаФа =ЯьФа =ЯвФь =-Фь ЯгФг =. ЯгФг = ЯгФг — — Фм ЯаФг —— ЯьФг = ЯвФг = — Фг, ЯаФг = Фг ЯгФг = огФг ЯгФг = оаРФь, ЯаФг = Ф„ ЯьФг = оаФа ЯеФг = оРФа, ЯгФа = Фь ЯгФа — — оРФа ЯьФа — — оаФ„ Я,Ф,=Ф„ ЯьФа = оРФ,Я,Ф, = оьФг ЯгФь — — оаФь, ЯгФь = оРФь, Я,Ф,=Фа, ЯьФь=оаФв ЯвФь=оРФв, ЯьФв = Фв ЯгФв = аогФв ЯгФв = оьФв, Я,Фв = Ф„ ЯьФв = аогФь,ЯвФв = огФв. (П12.25) Сравнивая табл. П12.3 с соотношениями (П12.25), мы видим, что функция Ф, образует базис для одномерного представления Г,, а Фг образует базис для одномерного представления Гг.
Пара функций Фв и Фа образует базис для двумерного представления Гг, а Фь и Фв образуют другой базис для того же двумерного представ- ления. Следовательно, как мы и ожидали, у нас имеется один базис для каждого из одномерных представлений, и два — для двумерного представления. Сейчас мы докажем, что этот результат не случаен, но является частным случаем общей теоремы, относя- щейся к методам приведения регулярного представления. Мы обнаружили, что некоторый набор функций фа образует базис для представления Гр, причем 1(Г=7, Г,(Я,)ея(Я,)ф, (П12.26) для любого значения 1, 1' — индекс, отмечающий, какую из базисных функций мы рассматриваем (этн различные базисные функции, вообще говоря, обозначаются как партнеры), и ф — произвольная функция.
Посмотрим, как это связано с нашими результатами. В нашем примере уравнений (П12.24) функция Ф, образована в соответствии с (П12.26) с коэффициентами Г, (Я,) из табл. (П12.3); поскольку эти величины относятся к одномерному представлению, они не имеют индексов 1, 1. Эта функция Ф, должна тогда быть записана в соответствии с обозначениями (П12.26) как гигь. Анало- гично Ф, должна обозначаться как ~'". Третья функция Ф, соответ- ствует р = 3, 1 = 1 1 = 1, и Ф, соответствует р = 3, 1 = 2, 1 = 1, так что эти две функции представляют собой функции Дь), Д" ,— пару базисных функций для представления Гг, соответствуя 1 = 1. Теория грулл Аналогично СР, и Ф, образуют другую пару базисных функций для Г,, отвечая ! = 2.
Докажем теперь в общем случае, что функции, составленные согласно (П!2.26), действительно образуют базис для представления Г р. Теорема, которую мы хотим доказать, формулируется следую щнм образом: ЯяЯс =Я. (П12.29) и заменим суммирование в (П12.28) на суммирование по всем Я,. Подействуем затем оператором Яяс, обратным Яю на обе части (П12.29) слева н получим Яс = ЯйсЯв. (П12.30) Теперь, чтобы переписать (П12.28), нам нужны Гр (йс);~, где мы должны выразить Я; в терминах Яя и Я, согласно (П12.30). С помощью (П12.6) мы имеем Гр(Яс,'Я,)сс= ~ Гр(Ял')тсГр(Яв)сс. (П12.31) с Из (П12.11) Г (Яя)се=го(Я ) . Подставляя это в (П12.31), получаем Гр(ЯйсЯв)вс = ХХр(Ял)ыГр(Яв)сс (П12.33) с Пользуясь теперь (П12.33), найдем нз (П!2.28) Яя!сГ'= ч~", ~ Го(Яя)ссГр(Я,);сЯ,вР= ~ Г„(Яя)Щ'>, (П12.34) (я) с с что и требовалось доказать.
(П12. 32) Яяс)1 = ~г' Гр (Яя)ссс ссре~, (П12.27) где Т)яс' определяются из (П12.26). Для доказательства мы сначала подействуем оператором Яя на обе стороны (П!2.26). Имеем Ясвсв(ос! = ~ Гр (Яс)сссЯяЯсф. (П12.28) Далее, мы знаем, что оператор ЯяЯс равен одному нз операторов группы и, кроме того, весь набор операторов ЯяЯс включает те же операторы, что н набор Яо хотя онн перенумерованы иначе. Прн той н другой нумерации должно иметься и таких операторов. Смысл этого нашего утверждения может быть понят на примере табл. П12.1, где каждый ряд включает все операторы Я„Я„Яг, Ям Яг, Яг, хотя онн н располагаются в каждом ряду в различном порядке.
Напишем теперь Теория грулл 401 ветствует в точности определению базисной функции для неприво- димого представления Х" (такого же, как и наше представление Г,) в (9.6). С другой стороны, функция Ф, есть Фг=ф(р)+Ч (т — з )+р(Ч вЂ” з ) — р( — Ч)— — (- — — '.")- (- - — '") (П12.38) ф' = ч~~ ~Гр (Я,)гчЯФ» Я; (П12.39) что соответствует определению базисной функции для непрнводимого представления Х в (9.6). Заметим, как упоминалось при обсуждении этой формулы, что если ф — четная функция ~р, то мы будем иметь лишь базисную функцию Ф,, а Ф, обращается в нуль, и, напротив, если ф — нечетная функция, то Ф, обращается в нуль и лишь Фг будет отлична от нуля.
Мы видим, следовательно, что наше применение метода приведения регулярного представления эквивалентно методу сумм Блоха для группы Сг, (и это легко распространяется также на случай Ся,), для которой предназначались суммы Блоха. Однако это имеет место и в общем случае, и таким образом получается расширение метода сумм Блоха на любой тип симметрии. Это доставляет общий метод построения для любого типа симметрии линейных комбинаций атомных орбиталей, имеющих правильные свойства симметрии н способных служить симметричными орбиталями.
Это доставляет также общий метод составления из детерминантов, не имеющих какой-либо определенной симметрии, линейных комбинаций правильной симметрии для обсуждаемых нами задач. В нашей книге можно найти много примеров применения этого ценного общего. метода. Мы уже отмечали одну черту применения этого метода: при некоторых обстоятельствах, когда функция ф имеет определенные свойства симметрии, ряд базисных функций, построенных нашим методом, исчезает, а некоторые пары функций становятся идентичны друг другу, так что можно получить меньше независимых базисов, чем мы ожидали бы. Теперь изучим далее эту ситуацию, с тем чтобы глубже понять природу наших операторов.
Рассмотрим сначала предельный случай, когда функция ф (~р) сама образует базисную функцию для одного из неприводимых представлений. Мы будем исходить из рассмотрения частных случаев, встречающихся в группе С„, отыскивая результаты, допускающие обобщение. Найдем функции 402 Прилоисеиие 12 из (П12.26) для случая, когда в (П12.26) вместо произвольной функции ф применяется одна из функций Ф» из (П12.24). Мы можем сразу же найти эти функции из табл.
П12.3 и уравнения (П12.25). Находим, что ф> в (П12.39) принимает значения, указанные в табл. П!2.6. Из этой таблицы видно, что операторы, действуя на одну из базисных функций, могут порождать лишь ту же самую базисную функцию или ее партнера в базисе двумерного неприводимого представления. С помощью этих операторов невозможно получить базисные функции другого неприводимого представления. Тибаици П12.6 Величины ф~ из соотношения (П(2.30) для Сз, причем Ф» яеляется одной из Функций соотношения (П!2.24) Фт Ро=6Фь 1~'=!'з'=Дз' Ф у'т'=Я'=я'=Я'=я1 Фз 1~т) — (<з> — Ртв> Яз=О, Ф, ! =1 =!!з,=!зз,=О, Фз )п'=! м=Я'=11Р=О, Ф, 1 =1 =1(з1=!1з=О, =Я'=1з '=.О =О, Рз'=ЗФг 1(зт>=ЗФз, Яз=ЗФ, Я'= ЗФз Я'= ЗФ» Ят'=ЗФз 1зт'=ЗФе Я'=ЗФ» 1Й'=ЗФе Теперь покажем, что эти результаты могут быть сформулированы общим образом, справедливым для любой группы. Будем исходить из функции Ф~»е> й-го партнера в базисе д-го неприводимого представления; так, например, Ф» в случае Сз, есть второй партнер в одном из базисов третьего неприводимого представления.
Подставим эту функцию вместо Ф» в (П12.39). Пользуясь (П!2.5) и (П!2.13), имеем ~ Г,(а)чл>Ф(е>= ~ Г,(а),ч .У; Г,ж,).„Ф'е>= Я; Я> м = ~ 6 бшФ(и> ° (П12.40) Иными словами, мы либо получаем нуль, либо функция Ф)е>, подставленная нами вместо Ф» в (П12.39), есть функция базиса неприводимого представления с номером р и притом 1-й партнер в этом базисе, и в таком случае результат является 1-й партнером того же базиса, умноженным на д/лр.
Это правило включает все случаи, указанные в табл. П12.6. Мы построили, таким образом, оператор "' ~ Г,(Р,),чЯО К (П12.41) Я> Теория груяя который, действуя на 1-й партнер базиса р-го неприводимого представления, порождает !сй партнер того же базиса. Если 1Ф1, то он действует как оператор повышения или понижения, подобный тем, с которыми мы знакомы из теории атома. Обычные операторы повышения или понижения для сферически симметричных задач строятся в терминах операторов момента количества движения— метод, применимый лишь в этом частном случае (для справок, см., например, (2)). Оператор повышения или понижения (П12.41) имеет гораздо более общую применимость, а именно он справедлив для любой конечной группы и предоставляет весьма практичный метод нахождения полного набора базисных функций для данного неприводимого представления, если известен один из партнеров.
В случае 1 = 1 оператор (П12.41) воспроизводит ту самую функцию, от которой мы исходили. Другими словами, оператор (П12.42) есть оператор, который, действуя на )сй партнер набора базисных функций р-го неприводимого представления, порождает саму эту функцию, в то время как, действуя на базисную функцию любого другого неприводимого представления или на одну из остальных базисных функций того же неприводимого базисного представления, он дает нуль. Зто проекционный оператор, и мы покажем сейчас, что он действует так же, как и проекционные операторы, известные из теории атома и выражаемые, подобно применяемым там операторам повышения и понижения, в терминах операторов момента количества движения. Чтобы продемонстрировать применение проекционных операторов, прежде всего докажем теорему, утверждающую, что произвольная функция может быть записана как линейная комбинация функций, каждая из которых являлась бы базисной функцией для одного из неприводимых представлений нашей группы, Зто будет обобщением весьма простого утверждения, что любую произвольную функцию можно переписать как сумму четной и нечетной функций; этот последний случай имеет место в очень простой группе, которая будет рассмотрена позже и в которой единственными двумя типами базисных функций будут четная и нечетная функции соответствующей переменной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
