1626435897-c91cf2b6442cb8008f24e7d1becd3805 (844335), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Мы докажем нашу теорему следующим образом: будем исходить из регулярного представления и вспомним, что для него характеры определяются следующими формулами: )((Я~)=у, )((Я,)=0 для Я~чьЯ,. (П!2.43) Однако мы знаем, что сумма диагональных матричных элементов есть инвариант преобразования подобия, и вспомним, что, совершая 404 Приложение тз преобразование подобия для приведения регулярного представле- ния, мы встретим каждое неприводимое представление столько раз, какова его размерность.
Следовательно, имеем пртр(Я~)=й', если 1=1, (П12.44) ~ пртр (Я;) = О, если 1~ 1, где эта сумма распространяется на все представления, а величины )(р (Я,) суть характеры непрнводимых представлений. Возьмем теперь уравнение, комплексно сопряженное уравнению (П12.44), н построим сумму ~ ~ пот* (Я;) Я;ф, где $ — произвольная .'М; функция. Из (П!2.44) в таком случае имеем Х лрхр(Я) Япр=КФ р,Я; (П12.45) Вспоминая, что у,р (Я;) = — Х Г» (Я;)ы и взяв комплексно сопряженное этого уравнения, подставим результат в (П12.45) и найдем Х -'- г (Я ) '1Ярф = Ф р,ья; (П!2. 46) Уравнение (П12.46) утверждает, что если мы действуем на произвольную функцию ф проекционным оператором Р';р' (П12.42) для некоторого определенного неприводимого представления р н некоторого определенного партнера) и просуммируем результаты для всех неприводимых представлений и всех партнеров, то результатом будет сама функция ~Р.
Поскольку каждая из суммируемых величин есть базисная функция, нли один из партнеров одного из неприводимых представлений, то мы доказали нашу теорему— произвольную функцию можно записать как линейную комбинацию таких базисных функций. Более того, мы видим, что, действуя на функцию ф проекционным оператором (П12.42), мы получаем в точности ту компоненту ф, которая образует подобную базисную функцию.
Различные базисные функции ортогональны друг другу. Этот факт, не упомянутый ранее, будет установлен в следующем разделе. Таким образом, можно наглядно представить многомерное пространство с числом измерений, равным числу всех партнеров базисов всех неприводимых представлений группы. Данная функция ф в известном смысле имеет компоненту вдоль каждого из этих 405 Теория груяя направлений, и эта компонента может быть спроектирована с помощью проекционного оператора, соответствующего данному партнеру в базисе определенного неприводимого представления. Теперь можно увидеть с помощью этой аналогии, почему в некоторых случаях мы не получаем представителей всех типов симметрии из регулярного представления.
Если наша исходная функция ф не имеет компоненты в многомерном пространстве вдоль данного направления, то нам нечего и проектировать с помощью проекционного оператора, соответствующего этому направлению. Например, в нашем случае С,„, если исходить из функции ф, четной относительно угла ~р, то никаким проекционным оператором нельзя перевестн ее в нечетную функцию угла ~р, которая может служить базисной функцией представления Гг. Если наша функция ф есть базисная функция для одного из неприводимых представлений, она должна иметь компоненту лишь вдоль одной из осей в многомерном пространстве, и лишь проекционный оператор, относящийся к этой оси, даст какие-то результаты, будучи применен к ф, а именно он дает саму функцию ф С другой стороны, если оператор У)Р~ применяется к произвольной функции ф для получения проекции этой функции вдоль некоторого определенного направления, или, иными словами, для нахождения компоненты ф, образующей базисную функцию для определенного неприводимого представления, то, применяя У)Р' вторично, мы лишь снова проектируем проекцию функции ф и получим снова ту же самую функцию, которую уже получили.
Другими словами, имеется операторное уравнение У(Р))2 1 д',(Р~ф (П12А7) где У)Р~ — оператор (П12.42). Оператор, имеющий это свойство, общее для всех проекционных операторов, называется идемпотентным. й 4. Неприводимые представления и уравнение Шредингера В предыдущем параграфе мы занимались изучением природы групп и их неприводимых представлений.
Вернемся теперь к нашей основной проблеме — связи этой теории с решением уравнения Шредингера. В качестве первого шага докажем фундаментальную теорему: любой оператор, подобный гамильтониану или единичному оператору, который коммутирует со всеми операторами группы, не имеет отличных от нуля недиагональных матричных элементов между двумя базисными функциями базисов различных неприводимых представлений или между функциями, которые являются различными партнерами в базисе отдельного неприводимого представления. Приложение 12 406 Таким образом, если !4ю образуют базис для р-го неприводимого представления, где ! принимает все значения от 1 до и, пр является размерностью представления, а у1" ~ образуют базис представления р', тогда мы имеем ~ ф!.4-ф'!до=0, за исключением случая р= р' ! = !' (П12.48), где у' — некоторый оператор, коммутирующий со всеми операторами группы.
И, кроме того, если р = р', ! = !', так что интеграл не обращается в нуль, его значение не зависит от 1, т. е. является одним и тем же для всех партнеров представления. докажем эту теорему. Мы можем взять две функции !доил и 4гй~" ', подействовать на каждую из них одним и тем же оператором Я; группы, и значение интеграла не должно измениться. Причина этого в том, что действие Я; как оператора вращения или отражения сводится к замене переменных в подынтегральном выражении (П12.48), но значения интегралов остаются при этом неизменными.
Поскольку Я, коммутирует с 4о, во втором множителе не существенно, запишем ли мы Яьягп(У ~ или ЯЯ;818'. Тогда, если ! — рассматриваемый интеграл в формуле (П12.48), мы имеем != 1 (Я4"'*) ~(ЯЛ'ч) а = 1 р (Я1)пц 1 р (Я!)нр ~ !т *Урн ~~п т, п (П12.49) В нашем результате (П12.51) имеются множители Ьр Ьп, так что мы доказали утверждение (П12.48), что интеграл ! равен нулю, за исключением случая р = р', ! = !'.
Более того, поскольку индекс ! исключен из уравнения (П12.51), доказано и утверждение, что интеграл уравнения (П12.48) не зависит от !. Отсюда следует, что уравнение (П12.51) оказывается тождеством: суммирование по всем значениям еп в (П12.51) дает сумму лр идентичных членов, каждый из которых равен 1, так что эта сумма составляет пру, н уравнение автоматически удовлетворяется. Этот результат не зависит от того, какие Я; мы применяем. Просуммируем по операторам Я;, полное число которых й. Имеем и! = Х Х Гр(Я~),*„; Г„(Я,)еи ~ !'Р ~*Кй~„"~еЬ. (П12.50) Применим теперь теорему ортогональности (П12.13) и найдем К! = — „би;бп У, ~ 1т'*УЮТ"'«и. (П12 51) Теория груяя 407 Рассмотрим теперь следствия нашей теоремы.
Предположим, что мы пробуем решить уравнение Шредингера, разлагая волновую функцию в ряд ортогональных функций и выбирая коэффициенты с помощью вариационной теоремы. Предположим, что вместо того чтобы применять произвольный набор ортогональных функций, мы применяем функции с симметрией, соответствующей рассматриваемой задаче, выбирая их в качестве базисных функций некоторого определенного неприводимого представления группы операторов, коммутирующих с гамильтонианом.
Тогда из уравнения (П12.48) следует, что отличных от нуля недиагональных матричных элементов гамильтониана, кроме тех, которые берутся между функциями определенного типа симметрии (т. е. между базисными функциями Т)ю )сто типа, соответствующего неприводимому представлению Гр), не будет. Мы можем тогда решить наше вековое уравнение отдельно для каждого типа симметрии. Более того, мы видели, что матричные элементы гамильтониана между базис- ными функциями того же непрнводнмого представления будут теми же самыми независимо от выбора партнеров Т)о', соответствующих различным 1.
Другими словами, для каждого неприводимого представления будет иметься лишь одна вековая задача, и все собственные значения, возникающие из вековой задачи данного неприводимого представления, будут теми же независимо от выбора Это означает, что все решения уравнения Шредингера обладают свойствами симметрии базисных функций того или иного неприводимого представления группы операторов, коммутирующих с гамильтонианом. Для любого многомерного неприводимого представления мы будем иметь вырождение собственных значений уравнения Шредингера с числом вырожденных волновых функций, равным размерности неприводимого представления, 'причем собственные функции, соответствующие этим вырожденным состояниям, образуют базис для соответствующего неприводимого представления группы.
Иначе говоря, матричные элементы операторов Я; есть как раз Гр (Я,)зю образующие соответствующее матричное представление. Как общее правило, собственные значения, отвечающие различным неприводимым представлениям, не равны друг другу. Специальный случай, когда они равны друг другу, называется случайным вырождением; в этом случае вырождение обусловлено не симметрией, а связано с другими специфическими чертами уравнения Шредингера.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
