1626435897-c91cf2b6442cb8008f24e7d1becd3805 (844335), страница 88
Текст из файла (страница 88)
П12.4, а не из табл. П12.3. В теории групп часто представляют интерес инвариантные свойства представлений. Каждая матрица имеет в качестве инвариантов собственные значения, или диагональные матричные элементы, определяемые в результате унитарного преобразования, диагонализуюшего эту матрицу; при этом всегда получаются одна и та же диагональная матрица и одни и те же собственные значения независимо от того, какой выбран исходный ортонормированный базис. Фактически сумма собственных значений есть единственный инвариант, необходимый для практических целей.
Эта сумма называется характером представления.и обозначается символом Х (Я„). В соответствии с правилом диагональной суммы, справедливым для этой матрицы, так же как и для гамильтониана, мы имеем (П12.14) Х (Яь) = Х Г (Яь)хп Можно доказать, что два неприводимых представления эквивалентны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые характеры. Например, характеры трех представлений, найденных для нашей группы С„, есть Х,(Я~)=(1, 1, 1, 1, 1, 1) для 1=1, 2, ..., 6, Х~(Я;)=(1, 1, 1, — 1, — 1, — 1), (П12.!5) Хз(Яв) =(2э — 1 — 1 0 0 0).
Заметим, что характеры Гз, а именно Гз (Ях)п + Гз (Яь)зм одинаковы, независимо от того, применяем ли мы представление из табл. П12.3 или из табл. П12.4, как и следовало ожидать в силу Теорил грулл 393 их инвариантности. Весьма часто в литературе различные представления описываются только с помощью их характеров. Можно заметить, что характер, соответствующий единичному оператору, обозначаемому обычно через Я„ равен всегда размерности представления. Вело в том, что если Я, — единичный оператор, то Я,и =и, так что по(П12.5) Г(Я,)» =бд, откуда и из (П12.14) видно, что Х (Я~) есть сумма пр членов, каждый из которых равен единице.
Имеется простая теорема относительно характеров представления группы, которая может быть доказана в общей форме и иллюстрацию к которой представляет (П12.15): характеры представления, соответствующие операторам данного класса, одинаковы. Напомним, что в случае Сз, оператор Я, сам по себе образует класс, Я, и Яз образуют второй класс, а Ях, Я„Яз образуют третий класс. Из (П12.15) видно, что характеры операторов Я, имеют один набор значений, равных, как мы только что видели, размерностям представлений; характеры Яз и Я, равны друг другу и имеют набор значений, отличающийся от набора значений для Я,; наконец, Ям Я,, Я, также имеют одинаковые наборы характеров, отличающиеся как от характеров Я,, так и от характеров Яз и Я>.
Следовательно, чтобы задать таблицу характеров представления, необходимо указать лишь набор характеров, отвечающих каждому из классов, но не каждому из операторов. Теперь можно применить уравнение (П12.13) и определение характеров представления, чтобы установить важную теорему ортогональности для характеров представлений группы. В уравнении (П12.13) положим 1 = 1, Г = 1' и просуммируем по всем ( и Г. В левой части имеем,Я у" (Ях) )( (Яь), а справа — нуль во всех зза случаях, исключая случай р = д, причем сумма по всем 1 состоит из пр одинаковых членов, так что справа множителем при брз оказывается д. Таким образом, мы имеем Х Х: (Я ) д.
(Я ) = аб . (П12.16) У1ь Можно преобразовать это выражение в сумму по всем классам, а не по операторам, суммируя по Сь — символам классов, и вводя число Ьь — число операторов в классе. Тогда имеем ~ й,д,*(С„) Х,(С,) =дб„. (П12.
17) съ В соотношении (П12.17) содержится утверждение, что векторы 'г' йьХр (Сх) ортогоиальны друг другу в пространстве, число измерений которого равно числу классов, так что различные Сь соответствуют разным компонентам векторов. Для каждого представле- 394 Прилозгение 1х ния р имеется один вектор. Именно этот результат служит доказательством нашего прежнего утверждения, что два неприводимых представления обязательно различаются характерами.
Однако число независимых ортогональных векторов, которое можно выбрать в пространстве данной размерности, равно размерности, а следовательно, в этом случае, числу классов. Это и доказывает теорему, что число неприводимых представлений равно числу классов. Из (П12.16) можно получить полезный метод изучения приводимых представлений. Пусть дано приводимое представление и мы хотим найти, на какие неприводимые представления оно может быть разбито.
Предположим, что при его приведении найдено представление Гр, представленное ар раз. Вспомним теперь, что сумма диагональных элементов матрицы есть инвариант преобразования подобия, а следовательно, характер приводимого представления должен равняться сумме характеров неприводимых представлений, на которые оно может быть разложено. Следовательно, характер приводимого представления есть Х'(Яа)=Хп Х,(Яа), (П12.18) У где )(' (Яа) пробегает набор характеров приводимого представления.
Возьмем теперь скалярное произведение )(' (Яа) с каждой величиной тр (Яа) в смысле соотношения (П12.16) '). Имеем в этом случае ХХ" (Яа)Х (Яа)=аа . (П!2.! 9) Яа Другими словами, мы непосредственно определяем значения ар. Нами установлено теперь достаточро свойств представлений, так что мы можем перейти к специальному приводимому представлению, называемому регулярным, которое весьма важно в обшей теории представлений и в особенности в приложении теории групп к молекулярным проблемам. 5 3.
Регулярное представление и проекционные операторы Будем исходить из произвольной функции ф (~р) и построим функции и1 = Я1ф (т) (П12.20) как и в соотношении (П12.2), получая по одной функции для каждого оператора группы. Если теперь подействовать оператором Я~ ') Вектор Х' (Яа) имеет своимя компонентами значения характеров приводимого представления для всех Яа, а вектор Хв (Яа) — значения характеров р-го неприводимого представления для всех Яа.— Прим. рад. Теорие груза 395 на каждую из этих функций, то найдем Язиз = Я~Яззй (<р) = Ядзу (~р) = иы (П12 21) где ЯзЯе = Яз определено групповой таблицей умножения.
Следовательно, любой из операторов Яз, действуя на любую из функций из, переводит ее в некоторую функцию из из того же набора, так что получается весьма специальный тип представления. Каждый матричный элемент Г (Я~)рч представляет собой либо нуль, либо единицу, причем каждая строка и каждый столбец содержат точно одну единицу. Можно найти эти матричные эле- менты из групповой таблицы умножения, и в табл. П12.5 приведены такие матрицы для нашего примера С„. Такое представление назы- вается регулярным. Оно, естественно, приводимо, как это видно и в нашем случае Сз„где оно является шестимерным представле- нием, так как группа Сз, содержит шесть операторов Я„..., Я,, а неприводимые представления, как мы знаем, будут одно- и дву- мерными. Применим теперь уравнения (П12.19), чтобы найти неприводи- мые представления, получаемые при приведении этого регулярного представления.
Из табл. П12.5 видно, что характеры регулярного представления для Сз, будут з( (Яз) = 6, з( (Яз) = О для з Ф 1. (П12.22) Если мы теперь, взяв характеры неприводимых представлений С,„(П12.15), воспользуемся уравнениями (П12.19), то найдем Х Х" (Яз) Х (Яз) =6, Яз Х Х" (Яз)тз(Яз)=6, (П12.23) Яз Х Х" (Яз) Хз(Яз)=12 ззз Так как в этом случае я = 6, то мы видим из (П12.19), что а, = аз = 1, а з —— 2, откуда следует, что при редукции регулярного представления в этом случае мы найдем один экземпляр представления Г,, один Г, и два Гз. Мы кратко покажем, каким образом осуществляется такое приведение.
Но прежде чем это делать, мы легко можем усмотреть, что этот результат может быть обобщен. Для общего случая группы с я операторами мы имели бы вместо представления, данного в табл. П12.5, аналогичный набор матриц, в котором единственная матрица с ненулевыми диагональными элементами представляетЯ„ так как любой другой оператор переводит нашу исходную функцию зр (у) в некоторую другую.
Таким образом, характер тожде- Приложение !2 Таблица П!2.5 Матрнчное представленне группы Са, с и! =)444р в качестве аванса В таблицах даны Г (Яа)ц ! 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 ! 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 ственного преобразования )( (Я,) в регулярном представлении должен равняться д. При выполнении суммирования в соотношении (П12.19) единственный неисчезающий член должен возникнуть при Яа — — Я,, так как лишь в этом случае характер регулярного представления )('е (Яа) отличен от нуля. Мы видели уже, что )(р (Я!) всегда равняется размерности представления. Следовательно, для регулярного представления суммирование по (П12.!9) ! 2 Г (М!)ц 4 5 6 1 г Ма)ц 3 4 5 6 1 2 г (Яз)ц 3 4 5 б 1 О О О О О О 1 О О О О О О 1 О О О О О 1 О О О О О О 1 О О О О О О 1 О О 1 О О О 1 О О О О О О 1 О О О О О О О О 1 О О О О О О 1 О О О 1 О О О 1 О О О О О О 1 О О О 1 О О О О О О О О О О 1 О О О 1 О О О О О О 1 О 1 2 г(я4)ц з 4 5 б 1 2 г(л)5)ц з 4 5 6 1 2 Г(.Р)6)Ц З 4 5 6 О О О О О О 1 О О 1 О О О О О О О О О О 1 О О 1 О О О О О О О ! О О 1 О О 1 О О О О 1 О О О О 1 О О О О О О О О 1 О О О О О 1 О О О О 1 О 1 О О 1 О О О О О О О О О О О О О О 1 О 1 О О О О ! О О О О О 1 О О О О О О О Теория грулл 397 Ф,= Фз= Фз= Фз= Ф,= Фв = из + из+ из+ ие+ из+ ие и, +из+из — и,— и,— ив и, + взиз+ виз, из + взиз+ вие, из+ в ив+ в ив, из + виг+ взив (П.12.24) где, как и прежде, в обозначает ехр (2пПЗ).
Покажем теперь, что эти функции Фз образуют базисы для неприводимых представлений группы. Мы должны подействовать каждым из операторов на каждую из этих функций и посмотреть, что при этом получится. Из (П12.21) должно всегда приводить к й-кратной размерности представления, а это означает, что ар — число, указывающее, сколько раз р-е неприводимое представление встречается при приведении регулярного представления, должно равняться размерности представления пр.
Это подтверждает, в частности, наш результат для Сз„что при приведении регулярного представления каждое из одномерных представлений встречается один, а двумерное представление — два раза. Этот результат имеет важные следствия. Когда мы проделаем линейное преобразование от базисных функций регулярного представления к базисным функциям неприводимых представлений, каждое неприводимое представление, должно иметь лр базисных функций в силу своей размерности. Но мы видели также, что каждое неприводимое представление должно встретиться пр раз.
Следовательно, л' базисных функций (приводимого представления.— Прим. ред.) будут принадлежать к этому неприводимому представлению. Это означает, что сумма квадратов размерностей различных неприводимых представлений должна равняться полному числу базисных функций. Но это число, как мы видели из построения регулярного представления, равно числу операторов в группе. Таким образом, мы получаем доказательство теоремы, что сумма квадратов размерностей неприводимых представлений должна равняться числу операторов в группе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
