1626435897-c91cf2b6442cb8008f24e7d1becd3805 (844335), страница 94
Текст из файла (страница 94)
Простейшая из этих групп Т есть группа вращений, переводящих правильный тетраэдр сам в себя. Преобразования показаны на фиг. П12.4, где изображен сначала правильный тетраэдр (фиг П12 4, а), стоящий на одном из своих ребер, а затем(фиг. П12.4,б) изображен куб, в который этот тетраэдр может быть вписан так, что вершины его четырех углов совмещаются с вершинами четырех из восьми углов куба.
Пронумерованные точки на фиг. П!2.4, б— это точки, в которые преобразуется точка ! операторами группы. ') Имеются в виду так называемые поворотные изомеры молекулы этапа — затененный, или цис-изомер и шахматный, или транс-нзомер; последний представляет устойчивую конформацию.— Прим. ред. 421 Теория групп Мы видим, что имеется 12 операторов: Я, — единичный оператор; Яз, Яз, Я, — операторы вращения на угол и относительно осей х, у и г; Я„Я„Я, и Яз — операторы вращения на угол Ф и г. П!2.4. Преобразования симметрии группы Т. Точка ! переходит в одну нз точек !...гу прк каждом преобразованкн вращения кз группы.
Верхняя фигура — регулярный тетрзэдр, котормй переходит в себя прк «аждом вращении группы. 2п/3 в положительном направлении относительно осей, соединяющих начало координат соответственно с точками а, Ь, с, с( (направление считается положительным, если мы смотрим из вершины тетраэдра по направлению к началу); Яо, Я„Я, Я„и Ягз — операторы вращения на угол 4п !3 относительно тех же самых четырех осей. Аналитическая формулировка этих операторов дана в уравнениях ЯтхР(х, д, 2) =т!з(х, д, 2), Яттр(х, д, 2)=ч!з( — ц, — 2, х), Язгр(х, у, г)=ф(х, — у, — г), Язф(х, у, г)=тр(у, — г, — х), Я,ф (х, у, г) = тр( — х, у, — г), Язхр(х, у, г) = тр(г, х, у), ЯатР (Х, д, ?) = тР( — Х, — у, 2), (П12.67) Яготр(х, у, г)=тр( — г, — х, у), Язтр(х, у, ?)=тр(у, г, х), я„ф(х, у, г) — тр(г, — х, — у), ЯахР(х, У, г)=ху( — У, г, — х), ЯгзхР(х, У, г)=тР( — г, х, — У).
Таблица умножения группы приведена в табл. П12.7. С помощью этой таблицы умножения можно проверить, что эти операторы образуют группу, и можно найти классы. Находим, что имеются четыре класса: первый состоит из единичного оператора, второй— из операторов Я„Я„Я„третий — из операторов Яз, Яа, Я„ Я, и четвертый — из операторов Я„Яиы Яго Я„. Таким образом, мы видим, что должно иметься четыре неприводимых представления, из которых тйои должны быть одномерными, а одно— трехмерным, так что 1 + 1' + 1' + 3' = 12.
422 Прилояееиие 12 Таблица П!2.7 Таблица умномеиня группы Т Указаны значения Д, где я †инде из соотношения Яа=Я!Я .. 6 6 7 В 9 10 1! !2 2 3 4 5 б 7 8 9 10 11 12 7 8 5 б 8 7 6 5 6 5 8 7 !2 11 1О 9 10 9 12 11 11 12 9 10 1 4 3 4 1 2 3 2 ! 8 6 7 7 5 8 б 8 5 5 7 б 9 12 10 11 !! !О !2 9 12 9 11 !О 10 !1 9 12 1 4 2 3 4 1 3 2 2 3 1 4 3 2 4 1 9 !О 11 12 9 1О !! 12 5 7 8 б 8 6 5 7 6 8 7 5 7 5 6 8 11 12 !О !2 11 9 9 10 12 !О 9 11 1 3 4 2 3 1 2 4 4 2 1 3 2 4 3 1 Два из этих четырех неприводимых представлений легко построить. Первым, как и в каждой группе, является тождественное одномерное представление, в котором каждый оператор группы преобразует функцию саму в себя.
Базисной функцией для' такого представления может служить постоянная или в более общем случае функция, принимающая тождественные значения в каждом наборе 12 эквивалентных точек, как это показано на фиг. П12.4. Другим представлением, которое сравнительно легко построить, является трехмерное представление: выбрав в качестве базисных три функции х, у и г, мы найдем, что каждый из операторов группы преобразует каждую из этих функций в одну из этих же функций с коэффициентами ~1, как это очевидно из определения операторов.
Матричное представление в этом трехмерном случае, обозначаемое Ге, указано в табл. П12.8, где приведены матричные элементы всех неприводимых представлений. Мы видим, что операторы Я„Я2, Я„Я6 имеют диагональные матрицы, тогда как матрицы других операторов не диагональны. Это понятно, так как операторы Я„Я2, Я„Я„как это видно из групповой таблицы умножения, образуют абелеву подгруппу, однако не коммутируют Теория ерулл 423 с другими операторами. Заметим, что характер класса, состоящего из одного опеРатоРа Я, длн тРехмеРного пРедставлениЯ Ры Равен трем, т. е. размерности представления; характер класса операторов Яг, Я,, Я, есть — 1, а характеры других двух классов равны нулю.
При желании, можно было бы выбрать другой базис, в котором могли бы быть диагонализованы, например, Я„Я, и Яэ — операторы вращения относительно оси третьего порядка, проходящей Таблица П/2.8 Матричные элементы для группы Т ва егив/3 Яв НВ НВ Нв ЯВ НВ НЫ Яв ЯГЗ 1 1 1 1 Г1 1 1 1 1 1 1 ! Гг 1 1 1 1 1 1 Гз через точку а, которые образовали бы абелеву циклическую подгруппу, а не операторы вращений на н относительно осей второго порядка, выбранные для диагонализации в табл. П12.81). Этими тремя функциями могли бы быть три ортогональные линейные комбинации х, у, г, две из которых имели бы узловые плоскости, 1) Под осью л-го порядка подразумевается ось, вращение вокруг котоой на л1рэ тождественно совмещает тело само с собой.
Вращение на врв элементарный угол вращения) переводит тело в эквивалентное положение.— Прим. иерее. (Гв)11 (Гв)гв (1'в)з! (Гв)!г (Гв)гг (1 в)зг (1 в)вз (Г ) (!в)зз 1 — 1 — 1 ΠΠΠΠΠΠΠΠΠ— 1 1 — 1 ΠΠΠΠΠΠΠΠΠ— 1 — 1 1 О О О О 1 — 1 — 1 1 О О О О О О О О О О О О 1 1 — 1 — 1 1 — 1 1 — 1 О О О О О О О О О О О О О О О О 1 — 1 1 — 1 1 — 1 †! 1 О О О О О О О О О О О О 1 1 — 1 — 1 О О О О 424 Приложение /2 проходящие через ось Оа (где Π— начало координат) под прямым углом друг к другу, а третья имела бы узловую плоскость, перпендикулярную к оси Оа, например (2к — у — г)/)/б, (у — г)ф' 2 (х + у + г)/)ГЗ.
Однако этот выбор функций установил бы некоторое предпочтительное направление Оа, отличаемое от других трех осей третьего порядка, а именно от ОЬ, Ос и Ое/, и, следовательно, функции были бы не такими симметричными, как примененные в табл. П12.8. В этом обсуждении возможностей диагонализации различных операторов отметим примеры некоторых общих правил, которые можно установить для коммутационных свойств вращений относительно различных осей. Согласно этим правилам, вообще говоря, вращения относительно различных осей не коммутируют друг с другом; исключение составляет лишь тип, встреченный нами в случае операторов Я„Яе, Я„а именно операторов вращений на угол и относительно осей, проходящих под прямым углом друг к другу, Рассмотрим теперь остальные одномерные представления.
Относительно оси Оа заметим, что она является осью симметрии третьего порядка, как и в группе С,; мы уже указывали, что операторы Я,, Я, и Я, образуют абелеву подгруппу группы Т, имеющую таблицу умножения, идентичную таблице умножения операторов Я„Я, и Я, группы С,. Естественно ожидать некоторую связь между представлениями группы Т и представлениями Се. Мы нашли одномерное представление, аналог тождественному представлению для С,, однако пока не получили ничего сходного с одномерными представлениями, базисные функции которых имели бы вид ехр (~щ).
Попытаемся найти такие представления. Можно с достаточным основанием ожидать, что диагональными матричными элементами операторов Я, и Я, для этих двух представлений будут ехр (2пе/3) и ехр (4пе/3) для первого и ехр ( — 2п//3) и ехр ( — 4п//3) — для второго.
Используем преимущество нашей теоретико-групповой техники, чтобы определить, можно ли найти эти представления и базисные функции. Во-первых, посмотрим, нельзя ли предсказать полный вид этих представлений на основании уже имеющихся сведений. Поскольку мы имеем дело с одномерными представлениями, характер, соответствующий каждому оператору, должен совпадать с диагональным матричным элементом этого оператора, Мы знаем, что характеры представления должны быть одинаковь|ми для операторов одного и того же класса.
Таким образом, для двух представлений можно ожидать, что диагональные матричные элементы должны иметь вид ехр (2пе/3) для операторов Ям Я,, Я, и Яе и ехр(4п(/3)— для уело Яео, Я„и Яы в случае первого представления и быть комплексно сопряженными этих значений — в случае второго. Теория грулл Мы знаем, что диагональный матричный элемент для единичного оператора Я, должен равняться единице.
Таким образом, нам известны все матричные элементы,'за исключением матричных элементов для операторов Я„Я,, Я„которые должны быть идентичными. Посмотрим, нельзя ли воспользоваться уравнением (П12.17), уравнением ортогональности для характеров неприводимых представлений группы, чтобы найти эти оставшиеся значения.
Это уравнение имеет вид Х й,11„'(С,) 11, (С,) =дб„, са где суммирование ведется по всем классам Ся, йа — число операторов в л-м классе, р и д относятся к различным неприводимым представлениям, а д — число операторов в группе. В тождественном представлении характеры равны единице для каждого из четырех классов. Потребуем теперь, чтобы наш неизвестный набор характеров для исследуемых представлений был ортогонален набору характеров тождественного представления в смысле уравнения (П12.17).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
