1626435897-c91cf2b6442cb8008f24e7d1becd3805 (844335), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Применим теперь разложение (П6.7), чтобы найти электростатический потенциал, создаваемый распределением заряда а (1) Ь (1). Это распределение имеет вид (ае/и) ехр ( — аЯЛ!). Мы должны умножить это выражение на разложение для 1 lг!! (П6.7) и на элемент объема (Яе/8) (Л! — р') пЫ[Ыф и проинтегрировать. Поскольку распределение заряда независит от угла ф, мы найдем, как и прежде, что единственные неисчезающие члены будут связаны с т = О, хотя мы имеем и отличные от нуля значения й.
Итак, мы находим, что ОЭ 2 а» Ле 4 а(1) Ь(1) —,!(п! = — — 2п — ~' (2й+1) ) Нр! ') (Л',— р',) е — "' х »=о -! 1 х Р [Л (а)) Сг» [Л (Ь) [ Р» ()»!) Р» ([»!) дЛ„(П6. 9) где Я» дается соотношением (П6.8). Первым шагом при выполнении этого интегрирования является интегрирование по 4([»!. Затем задача значительно упрощается с помощью хорошо известной теоремы относительно функций Лежандра: Р» (1!) Р» ()») л(р — О -! если йФ й', т.
е. вследствие ортогональности. Помимо множителя Р» (р,), в выражении (П6.9) имеются члены, не зависящие от р„и члены, пропорциональные р,'. Далее член Ро(р) равен единице, так что любая величина, не зависящая от 1»„ есть постоянная, умноженная на Ро(1»!), и, следовательно, ее произведение с любым Р»(р,) для й Ф О должно при интегрировании дать нуль. Другими словами, что касается членов, включающих величину Л, 'из множителя Л', — р'„то единственным неисчезающим при суммйровании по А будет член с й = О.
Относительно членов, включающих р'„заметим, что 2 !,~ 3)' так что 3 о(Р) 3 ! 1 2 Другими словами, р, 'есть линейная комбинация Ре(р,) и Р»()е!), так что, поскольку речь идет о членах, включающих р,', единственными неисчезающими при суммировании по й будут ,члены с й = О и й = 2. В результате мы видим, что суммирование Даухчентроаые интегралы по й в выражении (П6.9) в действительности содержит лишь члены для и = 0 и А = 2. Можно записать зто в явной форме, если только имеются формулы для Р, и Р„которые приводились выше, и для Яэ и (ег. Эти последние функции из (П6.8) таковы'): (П6.10) Теперь прежде всего подставим зти выражения в уравнение (П6.9), ограничимся значениями Ь=О и Ь=2 и проинтегрируем по г(р!.
В результате находим ! а ~ а(1)Ь(1) ' =аа)гг( ~ г([г! ~ (Л,' — рг)е-анхг(1е[Л(Ь)[Юг+ -! 1 +5 ~ Н[г! ~ (Л',— р )е и""'Рг[Л(а)[Яг[Л(Ь)[ Рг(р!) Рг(рг)г[Лг) = -! ! СО ы 1 =а*Я'(2 ~ (Л,' — — ) е-она!(Ео[Л(Ь)[г[Л! — — Р,(Р,) ~ е-оаь! Х 4 ! ! хг х Рг[Л(а)[1ег [Л(Ь)) г(Лг~ =а%а (1п „г ~ (Л,' — — ) Х ! хе- нхг![Л! ! ~ (Л' )е — онхг1п г+,(Л! 3) Лг х ~ е-она!(Л', — 3) г(Л! — 4 (рг 3) (Л» — 3) х ! СО х ~ е "х! [ (Л,' — — ) 1п г+ — 2Л! [ Ю!) .
ьг (П6.11) ') Читатель, анакомый с оригинальной статьей Сугиуры 121, где эти подсчеты были сделаны впервые, ааметит, что в этой работе он применяет определения О, которые приводят к величинам, в два рава превышающим наши. В современных исследованиях их обычно определяют так, как это сделали мы. ззз Приложение 6 ,1(злее проведем различные интегрирования по йЛ,.
Имеем хе ~ (Л2 1 ) е-авл, (Л вЂ” е-ан ( з ( 1 а)з + ~а~~ ) 1 — е-'"хе ~ —, (1+а)хЛ, + ' ) —— = —,, е- " (1+ а)х+ — а'Я')— — —, е-аа1а ~ 1+ аЯЛ, + — аЧхз (Л, '— — ) ~, где мы применили уравнение (2.11). Мы имеем также е-авеаЛ ~(Л вЂ” е- ахе + ~ е 1+аЯЛ 11= аЧ1е Х1 (П6.12) (П6.13) Другой интеграл ~ (Л', — — ) е-азх11п ' Ю,= хя (Л,' — — ) е-'вх 1п(Л,+1) ДЛ,— 1 3) 1е о=-а., ее- и' (1+аЮ,,+ — аЧх'(Л', — — )~ (П6.15) (П6.16) ~ (Л з) е-авм)п(Л,— 1)аЛ1 (Пб.И) Хз более сложен. Мы возьмем последние два интеграла из (П6.14) и сгруппируем их вместе с помощью выражения 1п (Л~ ~ 1).
Интегрируем по частям, полагая интегралы равными ~ иапо, где и = 1п(Л, ~ 1), йо =(Л; — Ц,) ехр ( — аЮ,)е(Л, Как и в случае (П6.12), имеем Двухцгнтрввзгв интегравгг ззз Тогда мы имеем для интеграла выражение (Л,* — — ) е-'нлг 1п (Л, ~ 1) г(Л, = — 1п (Л, ~ 1) —, х М— Лз СО нл'[1+агЕ~"'+ 2 а)~' (Л з)1 ~ + лз + ~ аваев Е ва ~ [1+аЯЛЗ+ 2 а'й' (Л' ,— З) ) Л г, 1аЛ1= лз = 1п (Лз ~ 1) —,, е- "л' [1 аггЛг+ 2 аЧ~'(Л, '— з ) ) + + ~,~, е~ "е ~" [ — (1~ай+ — )+(ай~~'К')+ — "а'Р ~г(х, л„$ (П6.17) где в последнем интеграле мы подставили х = Л, ~ 1. Последний интеграл в уравнении (П6.17) есть ОЭ вЂ”,, еь~" ( 1~ а)г+ — ) ~ е — ~* — + —,, (ай~ азггз) х 2 Г м еьнн ~ е-аазг(х+ еьвп ~ е вазг(х (П6 18) 1 аР Лзн1 лзьз Второй и третий иа этих интегралов, конечно, элементарны, так как СО е- анг)х= — е-нн(лыы 1 аД лзьг СО е- анхг(х= е — 'н<лзьп(1+аКЛз ~ а)г).
1 (ад)з лзь1 Первый интеграл в выражении (П6.18) есть интегральный логарифм, определенный в табл. (3.1): ~ е- "" — '= — Е([ — а)г(Лз ~ 1)1. (П6.20) л,ь! Привовиеиие Е Комбинируя (П6.14) с (П6.20), получаем ~ (Л,' — — )е-~м]п „' г]Л,= Хв = — е и""в [ 1+ а]тЛв+ — аЧтв ! Лв — — ! ] 1п ав!1е, [ — —,, еии (1 — а]г+ — аЧгв) Е! [ — а]т (Лв+ 1)]+ + —,, е- и ( 1+ аЯ + — аЧ!в ! Е! [ — а]т (Лв — 1)] —,, е- наЧ 2 Г ! 2 (П6.21) где последний член появился в результате объединения всех выражений, не содержащих логарифмов нли интегральных лога- рифмов, при значительном числе сокращений.
Теперь мы имеем все интегралы, нужные, чтобы найти ~ а(!)Ь(!) ~~ ', как это видно из (Пб.!1). Из этого соотношения ясно, что ряд членов можно скомбинировать, поскольку некоторые интегралы в уравнении встречаются дважды. Более того, можно упростить выражения путем введения величин 5, 5', определенных в табл. (3.1), а именно: 5 = е ин (1 + аЯ + — аЧтв), в в (П6.22) 5' еив ! 1 аЯ ! ав]гв) 3 Произведя необходимые подстановки в уравнении (П6.11) и комбинируя члены для максимального упрощения этого выра- жения, найдем 1 д(1)Ь(!) 2001 2 [1 э ()в,'— — ')(Л',— Ч1 15]п~~'~ !— 5'Е([ — а]! (Л + 1)]+ 5Е! [ — а]г (Л, — 1)] — а!те — 'а' ]~+ -]- З (]ив — ! ) ~Л 5-]-е иихв [ — ! аЯ вЂ” Лв — — аЯЛв ] ~ .
(П6.23) Следующим шагом в вычислении обменного интеграла является умножение выражения (П6.23), которое представляет потенциаль- ную энергию, обусловленную в месте расположения электрона 2 распределением плотности обменного заряда а(1)Ь(1) на плотность обменного заряда а(2) Ь(2) и интегрирование по координатам Двукягнтровггв интегрикгг электрона 2. Имеем а(2) Ь(2)г(аз=( — „ /е ~~з з (Л,*— р',) НЛ,(р,йр,.
Поскольку подынтегральное выражение не зависит от !р„ интегрирование по г[грз дает 2п. Затем мы интегрируем по г[[зз. Заметим, что каждый член уравнения (П6.23) либо не зависит от рз, либо содержит [зз в виде выражения ([зз* — '/,), пропорционального Р, ([зз). Другой множитель Л', — [з,' можно переписать в виде (Л, '— '/,) — ([з,' — '/,), так что этот множитель также имеет одно слагаемое, не зависящее от рм другое — пропорциональное Рз(р,). Принимая во внимание ортогональность Рз, мы видим, что при интегрировании по в[[!! не исчезают лишь члены, в которых умножаются друг на друга выражения, не зависящие от р„или в которых перемножаются члены с Р, (р,).
Теперь проинтегрируем по д[з„ учитывая, что ! ! ~ д[зз=2 ~ (р' ,— 3) гз[зз=45' (П6.24) — 1 — ! Мы найдем, что члены из первой скобки в (П6.23) можно скомбинировать. Тогда получим [аЬ|аЬ[ = — азйз ( е-'аз!/ Л, *— — )х ! х [5 1и '+ — 5'Е! [ — ай(Л, +1))+ 5Е! [ — ай(Лз — 1))— — айе-'"' ) Юз — — а й' ~ е-'вьз х з з з 3 ! Х [ Л,5+ е- вз ( — — ай — Л,— — айЛ,') ~ г[Лз. (П6.25) Первый интеграл (П6.25) уже был вычислен в (П6.21).
Последний интеграл имеет элементарный характер. Однако следует рассмотреть члены, содержащие интегральные логарифмы. Кроме того мы не можем непосредственно применить результат (П6.21) для вычисления первого интеграла, так как если мы подставим единицу для нижнего предела вместо Л„стоящего в (П6.2!), то интеграл станет расходящимся. Поэтому мы должны скомбинировать это выражение с выражениями для членов, содержащих интегральные логарифмы, и тогда найдем, что расходимости исчезают. Чтобы выполнить это, будем интегрировать от нижнего предела Ь до бесконечности, а затем, скомбинировав члены, перейдем к пределу при б — 1, 336 Приложение б Рассмотрим сначала интеграл ~ е в"г (Л' — — ) Ез' [ — аЯ(Лг ~ 1)! ь]Лг. (П6 26) ь Проинтегрируем по частям, полагая интеграл равным ~ ибо, где и=Ег' [ — а]г (Лг ~ 1)] ди=е паз+а г~1 о= — з з е иагз [1+ а]гЛг+ — а%з (Лз з— — ) ], (П6,27) з]о = е-овгз (Лз — — ) ь]Лг.
! 3) Находим, что в этом случае е овгз ( Ц вЂ” — ) Е][ — ай (Лг ~ 1)] Юг = ь = Е] [ — ай(Ь ~1И вЂ”,, е-вь ~1-[-а]7Ь+ 2 па~~(Ь. 3) ]+ ОЭ + ~ — е- ктггзем ~1+аЯЛг+ — аЧгз (Лз — — ) ] 'ь = Е] [ — Яа (Ь ~ 1)] —,, е-'"ь ~ 1+ а]сЬ+ — а%з (Ь' — — ) ~[— — Е( [ — 2а]с (Ь ~ 1)! —,„, еьов (1 ~ а]т+ — а'Я') + -]- еь "(ай~ аЧсг)е гик<ге'> — + азиз 2ай + з е~ 2 е ~ ~'~(2 П г(1+2а]г ~ 2аК), (П6.28) где последнее равенство (П6.28) получено подстановкой х = Лг ~ 1 и интегрированием с помощью известных методов. Теперь можно подставить результаты из (П6.21) и (П6.28) в (П6.25).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
