1626435897-c91cf2b6442cb8008f24e7d1becd3805 (844335), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Они образуют два одномерных представления для нечетных У. Для четных й/ они образуют два из четырех одномерных представлений. Они имеют те же типы симметрии, которые уже обсуждались в 2 7 гл. 4 н обозначались Х+ и Х-. Простейшей базисной функцией для четного представления будет просто единица или произвольная постоянная, для нечетного представления — это з! п/1/ф.
Для четного й/ случай т = /1//2 также имеет специфические особенности. Две функции (8.23) принимают вид ехр(И/~р/2) о(<р) и ехр( — /й/~р/2) о ( — ер), где о (<р) — по-прежнему произвольная функция от ер с периодом 2п//1/. Здесь мы опять находим, что сумма и разность этих двух функций дают базисные функции для одномерных неприводимых представлений группы. Так, имеем 212 Гя. 8. теория груни и симметрия вогновыя функций функции стремится к нулю. Мы имеем дело с осциллирующей функцией такого периода, сходной, например, с соз Мер, однако, когда гу становится бесконечно большим, функция обладает касательной, которая колеблется бесконечно быстро между плюс и минус бесконечностью.
Если желательно иметь непрерывную функцию с непрерывной производной, то единственный вид, возможный для о (<р) в пределе при )у' — оо,— это постоянная. Следовательно, мы приходим к функциям ехр(гррр) и ехр( — еинр) в качестве единственно возможной пары базисных функций для двумерных представлений в этом предельном случае цилиндрической симметрии. Это те самые функции, которые уже обсуждались в связи с задачей о двухатомной молекуле.
В 2 2 гл. 4 были отмечены стандартные обозначения, согласно которым случай т = 1 называется П-состоянием, и = 2— Л-состоянием, т = 3 — Ф-состоянием и т. д. Разница между случаем конечного ге' и случаем цилиндрической симметрии состоит в том, что в первом случае последовательность значений и ограниченна, тогда как в последнем случае она неограниченна. Когда мы переходим к одномерным представлениям задачи с цилиндрической симметрией, случай гп = )У/2, который встречается для четных М, можно не рассматривать: он соответствовал бы случаю бесконечного т, нли бесконечно быстрой осцилляции, что не отвечало бы реальным физическим приложениям. Однако случай гп = =0 остается. Что касается симметричной, или четной, волновой функции, которая не меняется при замене ~у на — еу, то зависимость от ~р выражается просто константой.
Этим характеризуется обычное Х+-состояние электрона, движущегося в цилиндрически симметричном поле. Это рассуждение не доставляет нам базисной функции для антисимметричного, или нечетного, случая при т = О, т. е. нет волновой функции, меняющей знак при замене еу на — ер. Базисная функция з)п(Уу/2), рассмотренная нами ранее для этого случая, приводит к тем же затруднениям, о которых упоминалось выше: она становится функцией, осциллирующей бесконечно быстро при М -+ оо.
На самом деле, среди решений уравнения Шредингера для одного электрона, движущегося в цилиндрически симметричном поле, нет базисных функций Х -типа симметрии. Чтобы найти базисные функции для этого типа симметрии, необходимо перейти к двухэлектронной проблеме. Напомним, что из (4.18) мы нашли Х -мультиплеты, появляющиеся в проблеме двух электронов с равными по абсолютной величине и противоположными по знаку значениями тг в молекуле Н,. Так как тесная связь между случаем симметрии типа С„, и цилиндрической симметрией очевидна, мы можем использовать для различных неприводимых представлений обозначения, аналогичные применяемым для двухатомной молекулы.
Так, можно обоз- д 6. Группа Сао и проблема цилиндрической симметрии 213 начать двумерные представления символами П, Л, Ф..., как это делалось для двухатомной молекулы. Для функций с экспоненциальными множителями ехр(1апр), ехр( — еаэр) мы можем соответственно обозначать базисные функции Пе, П и т. п., как и для двухатомной молекулы. Для одномерных представлений„соответствующих случаю в =О, можно применять обозначения Х', Х, как для двух- атомного случая.
' Для четных У и одномерных представлений с еп = ))Г!2 можно применять в качестве верхнего индекса плюс или минус совершенно так же, как для Х' и Х . Для иллюстрации можно привести типы симметрии в случае малых значений У. Для ее' = 3 имеются два одномерных представления Х+ и Х и двумерное представление П. Для Л1 = 4 имеются два одномерных представления Х+ и Х с еп = О, двумерное П-представление и два одномерных представления с т = 2, которые можно обозначить как Га+, Л . Для ее' = 5 имеются представления Х+, Х, П и Л; для й( = б имеем Х+, Х, П, Л, Ф+ и Ф .
Сходная ситуация имеет место для ббльших значений У. Обозначения, предложенные нами, аналогичны обозначениям для двухатомной молекулы и, следовательно, удобны в настоящем контексте. Однако они не являются стандартными обозначениями, принятыми в литературе. Стандартным методом обозначения различных представлений является просто применение для них символов Г,, Га,.... Каждое представление имеет свой собственный индекс. Так, для случая ее' = 6 Матис') [2), который обсуждал гексагональную молекулу Н„применяет обозначения, в которых представления, обозначаемые нами как Х+ и Х, названы Г, и Г,; другие одномерные представления, которые обозначались здесь через Ф' и Ф, названы Г, и Г,; двумерные представления, которые мы обозначали П и Л, называются Га и Г,.
Этот тип обозначения обладает тем преимуществом, что он может быть использован для любой конечной группы и будет применяться нами в последующем обсуждении различных других типов симметрии. Те, кто занимается молекулярной симметрией, обычно применяют другие обозначения (3, 4!. Они применяют символы А и В для одномерных неприводимых представлений, Š— для двумерных и Т вЂ” для трехмерных представлений. В частности, представления, обозначаемые нами как Х' и Х, обозначаются, как А, и Аа; остающиеся два одномерных представления (для четных ее) обозначаются как В, и Ва, причем индексы 1 и 2 по-прежнему относятся к плюсу и минусу.
Двумерные представления, которые нами сбозначались как П, Л, ..., обозначаются через Е„Е„... Для группы Ран применяются те же самые символы, однако добавляется индекс йе или и в зависимости от того, является функция четной или нечетной относительно инверсии. а) См. также приложение 13. 214 Гв. 8. Теория грулл и симметрия военовмк функций ЛИТЕРАТУРА 1. 5! а ге г 3. С., !анап!иш ТЬеогу о! А!оппс 5!гис!иге, чо!.
!1, Незч Уогй, 1960, сЬ. 19. 2, М а 1 1 Ь е 1 з з 1.. Р., М. !. Т. Гиезпц 1961; РЬуз. Кеч., 123, 1209, 1219 (1961). 3. Еуг!пй Н., ВГа11ег 3., К!шЬа11 С.Е., 13иап!ишСЬеш!з!. гу, Ыечг г'огй, 1944. (См. перевод: Г. Э й р и н г, Д. У о л т е р, Д. К и и б а л л, Квантовая химия, ИЛ, !948.) 4. $ р о не г Н., Те 11е г Е., Кеч. Моб. РЬуз., 13, 75 (!941). 5». %'18 и е г Е. Р., Сгоир ТЬеогу апб !Н арр1!са1юпз !о !Ье !йиап(иш Меспап!сз о! А1огп!с Брег!га. (См. перевод: Е. В и г н е р, Теория групп, ИЛ, 1961.) 6*. Н ! 3 ш а п В. Н., АррПеб Сгоир-ТЬеоге!!с апб Ма1г!х Ме!Ьобз, Ох!огб, 1955.
7". ч а и 4 е г у!Г а е г 3 е п В. 1... Сггирреп!Ьеоге!1зспе Ме1Ьойеп 1п бег Г3иап!епшеспап12. (См. перевод: В. В а н д е р В е р д е н, Метод теории групп в квантовой механике, Харьков — Киев, 1938.) 8'. Н е 1 и е Ч., Сгоир ТЬеогу !и !3иап!иш МесЬап!сз. (См. перевод; В. Х е й н е, Теория групп в квантовой механике, ИЛ, 1963.) 9". Л ю б а в с к и й Г. Я., Теория групп и ее применение в физике, М., 1957.
10*. М и г и а 8 Ь а и Р. 17., ТЬе ТЬеогу о! Сгоир Кергезеп!а1юпз. (См. перевод: Ф. Д. М у р н а г а и, Теория представлений групп, ИЛ, 1950.) 11е. Л а н д а у Л. Д., Л и ф ш и и Е. М., Квантовая механика, М.— Л., 1948. Глава 9 МЕТОД БЛОХА ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ СИММЕТРИЧНЫХ ОРБИТАЛЕИ й 1. Введение В $ 1 гл. 5 упоминался метод, примененный Блохом [1) для построения линейных комбинаций атомных орбиталей в задаче об л1 атомах, расположенных в вершинах правильного А(-угольника. С подобным расположением мы встречаемся при рассмотрении атомов углерода в бензоле или линейной цепочки атомов, имеющей место, например, в одномерной модели кристалла. Этот метод лежит в основе многочисленных работ по квантовой теории твердых тел и до настоящего времени является весьма ценным для обсуждения многих молекул, как уже отмечалось ранее.
Он тесно связан с рассмотренной в предыдущей главе группой Сн,: в итоге он приводит к методу, который, исходя от атомных орбиталей, строит из них линейные комбинации с надлежащей симметрией, служащие базисными функциями для неприводимых представлений группы Сл,. Иначе говоря, симметричные орбитали строятся методом ЛКАО.
В настоящей главе обсуждается метод Блоха и некоторые его приложения к проблеме энергетических зон в твердом теле, проблеме, которая будет разобрана весьма подробно во втором томе этой серии. Однако прежде чем начать рассмотрение этого метода, укажем, что он является специальным случаем значительно более общей процедуры„которая подробно обсуждается в з 3 приложения 12, а именно метода проекционных операторов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
