1626435897-c91cf2b6442cb8008f24e7d1becd3805 (844335), страница 47

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 47)

Однако онн достаточно ценны н поучительны, чтобы служить весьма наглядной иллюстрацией. На фнг. 8.1 (а также на фнг. П!2.3) изображена структура молекулы аммиака ИНз. Она состоит нз трех атомов водорода, образующнх равносторонний треугольник, н атома азота, расположенного непосредственно над центром этого треугольника, но не лежащим в плоскости водородных атомов. Симметрия этой молекулы обозначается как С„.

Если бы имелось )т' атомов водорода, расположенных в вершинах правильного М-угольника, т. е. мы рассматривали бы не частный случай гь! = 3, то такая симметрия обозначалась бы С„,. Наша задача — решение уравнения Шредингера для электрона, движущегося в самосогласованном поле, создаваемом ядрами н усредненным электронным зарядом атомов молекулы. Вследствие симметрии потен- ь) Употребляемый автором английский термин «зупппе1гу орегацоп» можно перевести как «операция симметрии» или «преобразование симметрии».

В физической и математической литературе на русском языке преимушественно употребляется термин «преобразование симметрии», и поэтому в нашем переводе мы предпочли именно этот термин. Однако в квантовомеканическом контексте преобразование симметрии удобно и естественно рассматривать как оператор. В связи с этим автор употребляет также термин «зупппе1гу орега1ог», не проводя, однако, при этом четкой границы между употреблением терминов ыупппе1гу орега1ьзп» и «зупппе1гу орега1огь. При переводе мы старались по возможности шире пользоваться термином «оператор симметрии».— Прим.

ргд. 198 Гл. 8. Теория груня и симметрия волновык функций цнальная энергия электрона в самосогласованном поле должна быть одинакова в наборах эквивалентных точек, как, например, в шести точках, указанных для М = 3. Этн точки располагаются подобно по отношению к атомам. В общем в случае С», точки, эквивалентные точке с полярными координатами г, фо (где фо лежит между О н и/У), имеют то же самое значение г н ф = фо + 2пе//Ф, где е/ = = О, 1, 2, ..., /т/ — 1, нлн ф = — фо + 2пе///1/, где по-прежнему еаа а в-1ае тр а д =ут" кт Ф и г.

8.1. Проекция молекулы аммиака на плоскость, перпендикулярную к оси вращения. Укатано б эквввалавткмх точек Лля симметрии Саа. е/ = О, 1, 2, ..., У вЂ” 1. Иногда удобнее записывать значения д в виде О, ~-1, +.2, ..., ~ (Л/ — 1)/2, если /1/ — нечетное число, н в виде О, ~1, +2, ..., ~- (/1//2) — 1, /)//2, если /)/ — четное.

Каждый нз этих методов записи приводит к одному н тому же набору точек. Очевидно, если /1/ увеличивается прн фиксированном г, мы получаем все большее число эквивалентных точек, расположенных на окружности радиуса г с центром в начале координат. Предельный случай прн бесконечно большом У, обозначаемый кзк С „получается, когда в каждой точке на этой окружности потенциальная энергия одинакова, т. е. в случае круговой, нлн цилиндрической, симметрии. Этот случай мы встречаем для помещенной в центре окружностн двухатомной молекулы с разными, вообще говоря, ядрами н осью, перпендикулярной к плоскости бумаги. Таким образом, очевидно, что должна существовать тесная связь рассматриваемой задачи с задачей о двухатомной молекуле, изученной ранее.

Сдругой стороны, если одновременно увеличиваются н /)/ н г, причем расстояние между ядрами остается неизменным, мы полу- р 2. Группы Смь и Онп кок примеры комсчмьсх групп 199 чаем в пределе случай линейной цепи со столь большим У, что малый сегмент периметра правильного многоугольника превращается практически в прямую линию. На фнг. 8.2 тем же способом изображена структура молекулы бензола СеН,. Симметрия здесь такая же, как в случае С„, если не учитывать одного обстоятельства. Дело в том, что эта молекула располагается в плоскости, так что здесь имеется дополнительная симметрия по отношению к отражению в плоскости молекулы.

Ф и г. 8.2. Молекула бензола. указано 1а ьквнввлентных точек Лля сныыетрнн Сеь н Оаа в плоскости молекулы Если применить цилиндрические координаты г, у н г, то в любой плоскости г = сопз1 Ф О имеется 2тт' эквивалентных точек, как н в случае Сп,. Однако имеется н другой набор 2У эквивалентных точек и плоскости, являющейся зеркальным отражением первой плоскости в плоскости молекулы; нначе говоря, заменяя г на — г, мы переходим от некоторой точки к эквивалентной ей другой точке.

Этот тнп симметрии известен как Р,щ. Случай Спь будет служить нам основным примером прн обсуждении теории групп, но в приложении 12 (~ 6) будет рассмотрен результат операции отражения в плоскости а = О, входящей в группу симметрии Риа. Простейший пример преобразований симметрии группы Рпа мог бы встретиться для молекулы, в действительности не существующей, — молекулы Нп, которая содержала бы У атомов водорода, расположенных в вершинах правильного М-угольника и образующих замкнутое кольцо илн замкнутую цепь.

Такое кольцо подобно трем водородным атомам аммиака нли шести водородным атомам бензола в отсутствие тяжелых атомов. Впрочем, это образование 202 Гл. В. Теория групп и симметрия волновмя функций Далее аналогичным образом рассмотрим ХчГт . Имеем Хч3УвтР(~~) =Хитр ( 7+ у ) =етв ~ (~Р+ ы )+ у + 2п( — у+р) ~ ) (8 8) или в виде операторного равенства ХчА =~-ч+ . С другой стороны, (8.9) чтр(ер) ~ртр ('р+ и ) — ер ~( — <р+ — )+ — "~~ = (8.10) ®з чеу(р) так что ~вХч =~э+в. (8. 11 Так как это выражение не равно (8.9), мы видим, что Х- и бг-операторы не коммутируют друг с другом, хотя, согласно (8.

7), два Х-оператора коммутируют, поскольку очевидно, что Х,Х, = Х,+, — — Х„,- ХвХч. И, наконец, имеем ~ч~втг(ср) — ~чту ( р+й! ) — тг [ ( р+ !ч )+й! )— =ту[ р — ~~~, Р) [=Х-черту(ср), (813) так что ~чбс =Х-ч+. (8.13) Поскольку это не равно л'рл'ч, что легко видеть, переставляя р и д, то два л'-оператора не коммутируют друг с другом. ф 3.

Условия, определяющие группу ') Если некоторый набор операторов удовлетворяет четырем условиям, определяющим группу, то, как показано в теории групп, из этого можно сделать много существенных выводов. Мы сформулируем здесь эти четыре условия и покажем, что наш набор из 2тт' операторов типа Х„ и' образует группу. Первоеусловиезаключается в том, что последовательное применение любых двух операторов набора само должно являться каким-либо оператором этого набора.

Мы уже установили, что это имеет место для наших операторов: уравнениями (8.7), (8.9), (8.11), (8.13) определяются правила для т! Групповые постулаты. По общим вопросам теории групп и теории представлений групп см. работы [5 — 10!.— Прим. ред. й 3.

Услоеия, определяющие еруппу подобных последовательных применений, показывающие, что в каждом конкретном случае результатом является оператор того же набора. Совокупность правил такого рода, определяющая результат последовательных применений двух операторов, называется таблицей умножения группы. Вторым является условие существования в наборе операторов оператора тождественного преобразования.

Мы видели, что тождественное преобразование представлено оператором Ха и что, таким образом, это условие удовлетворяется. Третьим является условие существования в наборе для каждого из операторов набора обратного оператора. Эго будет оператор, последовательное применение которого с заданным оператором даст тождественное преобразование.

В нашем случае обратным каждому оператору Хч будет оператор Х ч, так как из (8.7) ясно,что ХчХ ч —— Ха, т. е. оператор тождественного преобразования. Обратным какому-либо оператору ',Уч является этот же самый оператор Эч, так как из (8.13) видно, что бгчйч =Хе. Следовательнг), это третье условие удовлетворено. Четвертое условие требует, чтобы операторы удовлетворяли ассоциативному закону, т. е. для любых трех операторов набора Яг, Я1, Я» должно быть Яг (Я1Я») = (ЯгЯ1) Яь где каждая пара операторов в скобках обозначает оператор последовательного применения обоих операторов пары или, что то же, произведение их в указанном порядке в соответствии с таблицей умножения группы ').

Характеристики

Список файлов книги