1626435897-c91cf2b6442cb8008f24e7d1becd3805 (844335), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Проверим эти правила в рассматриваемом случае. Прежде всего, если все три Я являются Х-операторами, то результат вытекает из уравнения (8.7). Другие случаи следуют из соотношений, приведенных ниже, и могут быть все сразу получены из таблицы умножения: Х~ (Х1Фа) = ХФ-1+» = 81-~-1+» = Хге1Л» = (ХгХ1) =эь Х3 (~1Х») = ХФ1+Ь = ~-г+1еа =:у -3+1Х» = (Хгсг1) Х»1 ~АХ1ХА) = гу Ф1|» ~г+1+» = ~ее1ХА= (ге гХ1) Х »1 ~ г (~1ХА) = 81 Ф1+» = Х-г+1+а = Х-ге1Х» = (~Ф1) Хь л г (Х1 л») = л г л-1+» = Х-г-1+» = гт г+1ге А = (Э гХ1) Эь Хг(91Э») =Х~Х 1+А=Х~ 1е»=81 ~+1гу»=(ХФ1) Уь "ч'(ч1гча) =У~Х 1+а= Э'-1+»= Х-ге18га=( ч 811) бг» (8.14) з) Точнее, в левой части этого равенства оператор Я1 умножается справа на оператор, являющийся результатом умножения Я1 справа на Я», тогда как в правой части равенства оператор, являющийся результатом умножения Яг справа на Я1, умножается справа на Я», результат умножения каждый раз определяется таблицей умножения группы.— Прим.
ред. 204 Гл. В. Теория групп и симметрия волновых функций Таким образом, доказано, что наши операторы удовлетворяют ассоциативному закону. Мы показали, что они удовлетворяют всем условиям, определяющим группу. В дальнейших параграфах будут обсуждены вытекающие отсюда следствия. Прежде чем перейти к этому обсуждению, упомянем еще об одном свойстве группы, которое можно иллюстрировать на уже рассмотренном случае. Иногда можно выбрать из операторов группы некоторый набор операторов, внутри которого выполняются все постулаты.
Такой набор операторов называется подгруппой. В рассматриваемом случае У операторов Х„как это можно проверить непосредственно, образуют подгруппу, которая называется Сп-группой. Из соотношения (8.7) видно, что последовательное применение любых двух операторов этой подгруппы есть оператор этой же подгруппы; она включает тождественное преобразование; обратным оператору подгруппы Хе будет оператор Х о, являющийся также оператором этой подгрупйы, и, наконец, операторы подгруппы удовлетворяют ассоциативному закону. Более того, данная подгруппа обладает специфическим свойством: из соотношения (8.7) следует, что любые два оператора этой подгруппы коммутируют друг с другом Такая группа, в которой все операторы коммутируют, называется абелевой группой. Все операторы такой группы могут быть одновременно диагонализованы, что возможно только для абелевой группы.
Необходимо указать, что набор операторов Эо сам по себе не образует группы, в чем читатель может без труда убедиться. Группы операторов могут быть охарактеризованы одним существенным признаком. Можно определить так называемые классы операторов и, как мы увидим, важно знать, сколько имеется классов в группе и какие операторы входят в каждый класс. Формальное определение класса операторов проводится следующим образом. Исходят из одного оператора, скажем Ят. Затем берется любой другой оператор, скажем Яо и обратный ему, обозначаемый обычно как Я»'. Наконец, образуется оператор Яс'ЯтЯП Все такие операторы, получаемые с помощью всех Я;, принадлежат ') к тому же самому классу, что и Яп Исследуем наш случай для определения имею- шихся здесь классов.
Начнем с оператора Хо, подставив его вместо Яп Подставляя Хр вместо Яь так что Я = Х „, находим, что Я,гЯгЯ; есть Х рХ Хр — — Х„так что это не приводит в классе, содержащем Хе, к новым операторам. Заменяя Я; на Эр, так что Яс'=Эр, получаем Я,гЯ~Я, = УрХ Э = ЭрЬ ер = Х .
Таким образом, мы видим, что Хе и .~' принадлежат к одному и тому же классу. В частном случае г) = 5 и д = )е'/2 для четного У в соответ- г) По определению.— Прим. ред. Ю 4. Неприеодимые представления и базисные функции 205 ствующем классе имеется лишь один оператор, однако все другие классы Ха и Х а содержат по два оператора. Теперь подставим ',У, вместо Яр Если Я, заменяется на Х„, то Яе'ЯлЯ; становится равным Х „;У,Хр=Х рУае = л' +яр Если же Я, заменяется на Ур, то Я,'ЯлЯ; становится равным'З„У Уя = = УрХ „,=Э е ер.
Следовательно, в одном классе с Уа содержатся р'у+яр и Э а„р, где р — некоторое целое число. Другими словами, в одном классе с Эе мы имеем У,, где д' равняется любому четному целому плюс д (отметим, что это определение включает 2/ ея,„поскольку д — 2е/ = — е/). Следствия этого будут различными в зависимости от четности или нечетности /у'. Если Л/ четно, то добавление к индексу "У числа, кратного й1 (напомним, что это необходимо, чтобы перенести индекс в набор возможных его значений), не изменяет четности индексов.
Следовательно, имеются два класса операторов У: один с четными и один с нечетными индексами соответственно. С другой стороны, если й/— нечетное число, то добавление У меняет четность индексов. Поэтому все операторы Э будут в этом случае принадлежать к одному классу. Подсчитаем число классов операторов. Для четных /Ч имеются два класса операторов, содержащих каждый по одному оператору (а именно Х, и Хнрл), (й//2) — 1 классов, содержащих каждый по два Х-оператора, и два класса, содержашие Э-операторы. Иначе говоря, имеется всего (й//2) +3 классов. Для нечетного Л/ имеется один класс, содержащий оператор Х„(й/ — 1)/2 классов, содержащих каждый по два Х-оператора, и один класс, содержащий и/-операторы, т. е. имеется всего(й/+3) /2 классов. В следующем параграфе выяснится, что это доставляет нам важную информацию относительно природы группы.
й 4. Неприводимые представления и базисные функции В ~ 1 этой главы мы убедились в важности неприводимых представлений и связанных с ними базисных функций в теории групп. Напомним читателю положение дела. Можно выбрать конечное число функций, таких, что любой из операторов группы Яь действуя на одну из этих функций, приводит в результате к линейной комбинации функций того же набора. Эти функции называются базисными функциями, а матричные элементы различных операторов относительно этих функций образуют представления. Согласно общему положению, обозначая базисные функции через и„с различными значениями и, мы имеем Ясцт = ~ 7(Яе)нтця ° (8.15) Слева стоит выражение, получаюшееся в результате действия Я; иа и„. Справа стоит некоторая линейная комбинация функций ия гоб Гл.
а. Теория груни и симметрия волновая функций с коэффициентами Г (Я;)я . Будем полагать базисные функции ортонормированными. Если умножить обе стороны (8.!5) слева на и„"— комплексно сопряженную базисной функции и„— и проинтегрировать по объему, то находим, что (Я!)»т = 1' (Яе)»т ). (8.16) Другими словами, коэффициенты Г(Я;)„— не что иное, как стандартные матричные элементы оператора Я~ относительно базисных функций. Мы видели, что отличные от нуля матричные элементы возникают лишь между функциями, отвечающими одному и тому же значению энергии, так что существование неприводимых представлений и базисных функций связано с проблемой вырождения.
Напомним, что число базисных функций представления, а следовательно, число. значений, которые может принимать индекс еп нли й, называется размерностью представления, или иногда порядком представления. Важной особенностью теории групп является то, что она позволяет нам предсказывать значения матричных элементов Г(Я~)а „ не отыскивая их с помощью решений уравнения Шредингера. Применяя эти методы, можно заранее определить, как должны зависеть шредингеровские волновые функции от различных переменных, таких, как углы, и этим упростить нашу задачу решения уравнения Шредингера. Примеры такого рода уже разбирались в $1 этой главы.
Исследуем далее эти общие методы. Прежде всего следует заметить, что если имеется набор базисных функций, то, очевидно, возможно подвергнуть эти функции унитарному преобразованию, изменяющему матричные элементы Г(Я~)» согласно обычным правилам теории матриц. Два набора матричных элементов, или два представления, считаются в теории групп эквивалентными, если они могут быть получены друг из друга подобным образом.
В некоторых случаях оказывается возможным с помощью унитарного преобразования получить новый набор базисных функций, который распадается на два или более набора, таких„ что не существует отличных от нуля матричных элементов для любого оператора группы между базисными функциями, одна из которых принадлежит одному из этих наборов, другая — другому. Как указывалось ранее, в таком случае мы говорим, что приводим представление, разбивая его на два илн большее число представлений меньшей размерности. Если это не может быть достигнуто с помощью унитарных преобразований, представление называется не- приводимым.
Имеются весьма важные теоремы, помогающие определить число и размерность различных неприводимых представле- ') Таким образом, (Я;)„есть ~ ийое; и йт.— Прим. ред. р д. Неприаодииыс представления и базисные функции 207 ний данной группы. Мы считаем два неприводимых представления различнымн лишь в том случае, если одно из них не может быть получено из другого преобразованием подобия или унитарным преобразованием базисных функций.
Эти теоремы формулируются следующим образом: 1. Число различных неприводимых представлений равно числу классов операторов в группе. 2) Сумма квадратов размерностей всех неприводимых представлений равна числу операторов в группе '). В большинстве случаев, которые нам встретятся, эти две теоремы позволяют однозначно определить размерности всех неприводимых представлений группы. Из сформулированных выше теорем ясно, что для группы, содержащей конечное число операторов, число различных неприводимых представлений равно самое большее числу операторов в группе (поскольку число классов никогда не может превышать числа операторов). Любой набор базисных функций для одного из этих неприводимых представлений имеет одни и те же матричные элементы для операторов группы (не учитывая возможного преобразования подобия). Таким образом, если мы каким-либо способом можем найти базисы для каждого из неприводимых представлений, то можно будет определить эти матричные элементы.
Следовательно, мы располагаем методом, позволяющим нам предсказывать вид матричных элементов различных операторов группы между волновыми функциями, являющимися решениями уравнений Шредингера; они должны быть теми же элементами, что и определяемые с помощью любых базисов. В группе Сп, для четных /1/ имеется, как мы видели, (й//2) + 3 классов с 2/т/ операторами, а для нечетного й/ имеется (й/+ 3)/2 классов с 2/т/ операторами.
Для й/ четного, следовательно, должно иметься (/1//2) — 1 двумерных неприводимых представлений и четыре одномерных неприводимых представления, поскольку ~ — 1+4= ~ +3, 4( ~ — 1)+4=2У, (8.17) а для нечетных /т/ должно иметься (/т/ — 1)/2 двумерных неприводимых представления и два одномерных неприводимых представления, так как ') +2= ч, 4( ~ /+2=2У. (8 18) ') Т.
е. порядку группы. Порядком конечной группы называется число влементов группы.— Прим. рсд. а) Соотношения (8нт) н (8.!8) являются математическим выражененм сформулнрованных выше теорем.— Прим. перев. 2(>8 Гв. 8. Теория срули и симметрия вояновык функций С другой стороны, в группе Сл, которая включает лишь повороты, ио не отражения, имеется />/ операторов Хв, каждый из которых сам по себе составляет класс, поскольку Х ХвХ = Х . Так как число классов равно числу неприводимых представленйй, а число операторов, равное числу классов, равно сумме квадратов размерностей неприводимых представлений, то мы видим, что каждое неприводнмое представление должно быть одномерным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
