1626435897-c91cf2b6442cb8008f24e7d1becd3805 (844335), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Другими словами, можно выбрать базисные функции так, чтобы каждый оператор имел диагональную матрицу. В данном случае это возможно вследствие того, что все операторы коммутируют друг с другом, или же вследствие того, что группа является абелевой. Как было упомянуто ранее, одномерность всех неприводимых представлений является общей характеристикой абелевой группы.
В следующемпараграфемыперейдем к исследованию базисных наборов и неприводимых представлений для групп С„, и Сл, выводя с их помощью вид зависимости волновой функции от угла (р. й 5. Базисные функции для неприводимых представлений групп Сл и Сп Так как мы знаем, что решения уравнения Шредингера в цилиндрически симметричном поле зависят от угла (р как функция ехр (((п(р), то, очевидно, естественна мысль исследовать подобные функции в качестве возможных базисных функций для наших групп Сл, и Сл. Начнем с группы Сл, содержащей/>/операторов Хсг Напомним, что, согласно (8.3), Х >р ((р) = ф ((р (- 2п(//Ф), где >р((р) — любая функция от (р.
Заменяя >р((р) на ехр((лг(р), найдем, что Х е(тк — е(т(к+ало>м) егл(тд>>>(е(то (8.19) откуда видно, что результат действия на функцию ехр((т(р) одного из операторов Х, группы есть умножение этой функции на константу ехр(2я/лп)/)>/). Другими словами, функция ехр(/т(р) есть базисная функция одномерного неприводимого представления группы, а константы ехр(2п(т(//У) для каждого значения (1 являются в этом случае диагональными матричными элементами, образующими представление. Величина т должна быть целым числом, чтобы базисные функции могли являться однозначными функциями положения в пространстве. Итак, мы имеем независимые неприводимые представления, для которых базисные функции имеют вид ехр(инр) с л> = О, 1, 2, ..., У вЂ” 1. В итоге имеется />/ неприводимых представлений, как мы и ожидали.
Однако можно построить более общие базисные функции: если взять ехр[( (т+ пМ) ф], где л — целое число, то получим Хве(('"+ л>о = е((™+ и) ( о+зло>л> глв = е м е((т+™>к = егл(тв(с(ек"'+л>(>о (8.20) З д. Неприеодимие представлении групп С» и С» 209 так что эта функция независимо от значения и умножается при действии на нее оператором Хе на тот же самый множитель, что и ехр((иир).
Другими словами, можно найти бесконечный набор базисных функций для каждого из наших неприводимых представлений. Произвольная линейная комбинация подобных функций опять образует базисную функцию; соответственно неприводимому представлению, для которого ехр(йер) есть базисная функция, существует общий вид базисной функции еетч ~~~~~ Алеем»ч (8.21) Каждая из функций ехр(/пй/гр) обладает свойством периодичности с периодом 2п/Л/. Следовательно, наша базисная функция является произведением функции ехр((т<р) на периодическую функцию ~р с периодом 2п/Ф, причем последняя входит в выражение (8.21) в виде разложения Фурье в комплексной форме ~А„ехр((л/1/гр). и Такая функция является наиболее общим видом базисной функции, которая можетбыть выбранадля группы С». Этот результат, в соответствии с которым наиболее общее решение проблемы периодического потенциала (в этом случае периодического по ~р с периодом 2п//1/) можно записать как произведение функции ехр (1»кр) на периодическую функцию того же периода, что и потенциал, называется теоремой Флокс.
Мы найдем много важных приложений ее в нашем дальнейшем рассмотрении. Она дает наглядную иллюстрацию возможностей теории групп в отношении предсказания вида волновой функции. Теперь можно разобрать более трудный случай группы С»,. Здесь имеются не только операторы .Те из уравнений (8.3), но также и операторы Э . Если, как и прежде, в качестве базисных функций выбрать ехр(гиир), то найдем 2пе1 у е' 'е=е (» /=егпьпег»е-' 'е.
(8.22) Другими словами, ехр(/пггр) не образует базиса для одномерного представления группы, так как оператор Уе приводит к умножению не на ехр(/пир), а на ехр( — иву). Мы приходим, естественно, к предположению, что две вместе взятые функции ехр(ипц) и ехр( — ивр) образуют базис для двумерного представления группы. Это и на самом деле так. Только что было установлено, что любой из операторов группы, действуя на ехр(ггпу), приводит к постоянной, умноженной либо на ехр(гиггр), либо на ехр( — /гпгр); совершенно тривиально можно проверить, что этот же результат имеет место для функции ехр( — ил<у).
Таким образом, каждый оператор группы, действуя на любую из функций, приводит к линейной комбинации этих двух функций. 210 Гя. а. Теория груня и симметрия волновая функций По аналогии со случаем группы Ся можно построить в общем виде базисные функции для группы Сят Выбирая две функции вето Х Апеепяо е-ето Х Апе-'и"о (8.23) и и найдем, что они также образуют базисные функции для группы, а вследствие бесконечного числа постоянных в них они представляют общий вид базисных функций. Проверим, что они являются базнсными функциями. Имеем Х еепиР ~ Апевпно егквтотцеето Ч~~ ~А е™_#_о (8 24) 8Гоеето Х Апеепнч= езпетве~а вто ~~~ ~А е-впво (8 25) к и Аналогичные соотношения имеют место, когда З' н Уо действуют на функции ехр( — гяир) ~ А„ехр( — гпА/~р).
Другими словами, мы и видим, что две функции (8.23) образуют базис для двумерного представления группы Сят Такие представления имеются для т = 1, 2, ..., (/1/ — 1)/2, если У вЂ” нечетное число, и для еп = 1, 2, ..., (А//2) — 1, если А/ — четное. Иначе говоря, имеется (А/ — 1) /2 двумерных неприводимых представлений для нечетного А/и (А//2) — 1— для четного А/. Таковы правильные числа двумерных неприводимых представлений, как это было видно из подсчетов в конце 2 4 этой главы, проверенных соотношениями (8.17) и (8.18). Другие случаи, ел=О, и ел = А//2,для четных/1/ — этоособыеслучаи, которые мы сейчас рассмотрим. Для еп =О две функции (8.23) будут иметь вид ~ А„ехр((п/Уер) и и ~ Ап ехр ( — /пА/ф.
Первая из них представляет произвольную функцию от еу, периодическую с периодом 2п/А/. Ее можно назвать о (ер). Вторая функция — не что иное, как о ( †). Из уравнений (8.24) и (8.25) находим, что Х о(еу)=о(Ч) Э п(ер)т в( Ч). (8.26) В этом частном случае, хотя и имеется двумерное представление, оно приводимо. Можно построить функции п (ер) ~ о ( — ер), которые приводят к .2о(о(р) ~ о( — р)) т у(р) ~ о( — р).
1уо("(Ч') ~ и( Ч>)1= ~(о(%) ~о( — Ф)). (8.27) Другимн словами, о (~) + о ( — ~р), четная функция от ер, образует базис для одномерного представления группы и характеризуется Я 6. Груииа Спо и проблема цилиндрической симметрии 211 Хо (е'л'огзо (ер) ~ е-епм/зо ( — ~р)) = 1)ч (еснч/зо ( ) + -смч/з ( )) ие (есъизо (,р) и- й- пчгзо(,р)) — ~ ( 1)ч [еежо/зо(<р) ~ е енч/зо( — «р)). (8.28) Другими словами, .Тч умножает такую базисную функцию на ( — 1)ч, а Э умножает ту базисную функцию, в которой берется верхний знай, на ( — 1)', а ту, где берется нижний знак, — на — ( — 1)'. Эти две функции и образуют упомянутые два неприводимых представления для случая четного й/. Простейшими базнсными функциями в этом случае будут соответственно соз(/(/ф/2) и з1п(й/~р/2).
й 6. Связь группы Сао с проблемой цилиндрической симметрии В предыдушем параграфе мы рассмотрели типы базисных функций и соответствующие неприводимые представления для симметрии типа С„,. Было отмечено, что, переходя к пределу при /1/ - со, легко получить случай цилиндрической симметрии, группу С,. Рассмотрим полученные выше результаты и исследуем их отношение к тем задачам цилиндрической симметрии, которые уже обсуждались в связи с двухатомной молекулой.
Рассмотрим сначала одно из двумерных неприводимых представлений в случае См, с базисными функциями ехр((пар) о (~р), ехр( †сто) о ( — ер), где о (ф) — периодическая функция от <р с периодом 2п/й/. Когда й/ неограниченно возрастает, период этой тем, что и Я и Э„действуя на нее, дают ту же самую функцию, в то время как о(<р) — о( — ~р), нечетная функция от ер, образует базис для другого одномерного представления, такого, что Я „действуя на нее, дает ту же функцию, в то время как действие Эо приводит к умножению на — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
