1626435897-c91cf2b6442cb8008f24e7d1becd3805 (844335), страница 53
Текст из файла (страница 53)
9.1. Энергия как функция т для периодического потенциала с симметрией соответственно Сап и Сао. границы, соответствующие лг = — У(2 и пг = р((2, не отвечают двум различным функциям. Имеется лишь одна такая функция, и риводящая к невырожденному или одномерному представлению, которую мы получим при т = (((2. Для всех нечетных ))( края зоны Бриллюэна не соответствуют целым значениям т. Наибольшие значения, попадающие внутрь зоны, будут иметь место для пт = = ~())( — 1)(2, и здесь нет одномерного представления, соответствующего краям зоны Бриллюэна. Из соотношения (9.22) следует, что значению лг = О отвечает энергия Н(О)+2Н(Ц+2Н (2)+. „ 1+23 (И+ 25 (2)+...
Краям зоны Бриллюэна, соответствующим т = ~У(2, отвечает энергия Н = Н(0) 2Н(Ц+2Н(2) 1 — 2Б (Ц~-2Б(2) Зти значения не зависят от У, так что полная протяженность набора энергетических уровней, связанного с этой атомной орбиталью, не зависит от У, если только интегралы О(л'), 5(() остаются неизменными.
Когда мы переходим к кольцу из все большего и большего числа атомов, сохраняя, однако, межатомное расстояние неизменным, эти интегралы меняются лишь в малой степени (изменения возникают вследствие увеличения угла между связями какого-либо Э д. Энергетические эоны и теория твердого тела 225 атома с его соседями; этот угол стремится к 180' при возрастании Н).
Таким образом, протяженность энергетической зоны остается примерно постоянной. Число уровней энергии, однако, возрастает пропорционально М. Следовательно, при Ж вЂ” оо уровни энергии будут все более тесно сближаться друг с другом. В пределе мы будем иметь набор энергетических уровней, по существу непрерывно заполняющий некую полосу. В теории твердого тела она называется энергетической зоной. Такие энергетические зонычрезвычайно важны в теории твердого тела, и в следующем параграфе мы дадим краткое описание некоторых их важных свойств. 9 4.
Энергетические зоны н теория твердого тела В предыдущем разделе мы видели, что в случае длинной цепочки атомов уровень энергии, который для изолированного атома составлял бы Н(0) [что имело бы место, если бы межатомное расстояние приближалось к бесконечности, так что все интегралы типа Н (1), Н (2), ..., 5 (1), 5 (2), ..., зависящие от перекрывания атомных орбиталей различных атомов, обращались в нуль1, расщепляется на большое число разделенных узкими промежуткамиуровней энергии. Эти уровни образуют полосу, заключенную между крайними значениями энергии, определяемыми (9.23) и (9.24). Ширина полосы быстро увеличивается с уменьшением межъядерного расстояния.
Мы обсуждали случай лишь с одной атомной орбиталью. Однако подобная энергетическая зона возникает за счет каждой атомной орбитали. Энергетической зоне в проблеме с М атомами в кольце отвечает У волновых функций, так что в соответствии с принципом Паули в ней может находиться 2У электронов,' по М с каждой из проекций спина. В случае кольца атомов водорода или кольца атомов щелочного металла, где каждый атом вносит лишь один электрон, имеется только Н электронов, заполняющих эти уровни энергии, так что последние заполняются лишь наполовину.
Естественно, эти М электронов находятся в низших состояниях, с низшими одноэлектроииыми энергиями. Если уровни энергии расположены так, как показано на фиг. 9.1 (обычная ситуация для основного состояния), то это означает, что уровни вблизи т = 0 будут заполнены, а уровни вблизи краев центральной зоны Бриллюэна — пусты. Верхний из заполненных уровней или нижний из незанятых уровней называется уровнем Ферми, поскольку соответствующее значение энергии связано со статистикой Ферми.
Эта ситуация вполне аналогична той, с которой мы встретились для двухатомных молекул в табл. 6.1 и 7.1 и фиг. 6.1 и 7.1. Как и в случае двухатомной молекулы, низшим одноэлектронным энергиям соответствуют связывающие, высшим — разрыхляющие орбитали. Физическая причина появления связывающего и разрых- 226 Гл. 9. Метод Блоха длл симметричных орбиталей ляющего характера орбиталей — та же, что и в случае двухатомных молекул.
Если обратиться к равенству (9. ! ), определяющему функции Блоха, то видно, что для случая и — О, соответствующего нижнему краю энергетической зоны, волновая функция принимает вид ~ а (~р — Ч~~), так что з-подобные атомные орбитали на соседних атомах складываются с одинаковым знаком. Между ними возникает заряд перекрывания, который приводит к тому же механизму связи, что и в случае двухатомных молекул. С другой стороны, для т= д!,'2 волновая функция становится ~ ( — !)' а (<р — ч;), так что атомные орбитали, относящиеся к последовательно расположенным ядрам, входят в сумму с ~ротивоположнь|ми знаками и имеют узлы между атомами, и мы получаем ту же ситуацию, что и в случае анти- симметричной, или разрыхляющей, орбитали в двухатомной молекуле.
Другими словами, механизм связи в случае цепочки атомов не отличается от того, который имеет место в двухатомных молекулах. В случае не одного, а двух электронов на атом, как это имеет место в случае цепочки из атомов гелия, должны были бы быть заполнены как связывающие, так и разрыхляюшие орбитали. Мы имели бы дело с ситуацией, аналогичной случаю двух атомов гелия, когда как связывающая, так и разрыхляющая молекулярные орби- тали заняты. В таком случае разрыхляющие электроны компенсировали бы эффект связывающих, что приводило бы в итоге к слабому отталкиванию.
Одновременное этим мы имели бы целиком заполненную энергетическую зону, а не наполовину заполненную, как в случае водорода или атомов щелочного металла. Вопрос о том, заполнена ли полоса целиком или частично, является решающим при изучении электрических свойств цепочки атомов.
Во втором томе, где мы обратимся к энергетическим зонам в твердых телах, мы найдем, что если цепочка становится достаточно длинной, так что Лг можно считать практически бесконечно большим, и если зона лишь частично заполнена электронами, то возникает возможность появления электрического тока вдоль цепочки атомов. В частности, если имеется кольцо атомов, подобное рассматриваемому нами, и если мы приложим электродвижущую силу вдоль этого кольца, например, с помощью возрастающего магнитного поля, проходящего сквозь контур кольца, то обнаружим, что появляется ток, так что у нас имелся бы проводник. С другой стороны, если энергетическая зона целиком заполнена, ток не мог бы течь.
Мы отложим соответствующее обсуждение этого вопроса до второго тома, однако можно дать элементарное толкование причины такого различия, которое можно считать удовлетворительным до тех пор, пока мы не обратимся к более строгому объяснению. З 4. Энергетические зоны и теория твердого тека 227 Причина заключается в следующем: если индуцируется электро- движущая сила и появлятся ток, то мы ускоряем электроны для того, чтобы привести их в движение. Это увеличивает их кинетическую энергию, так что в процессе создания тока необходимо увеличивать энергию всей системы.
Если рассматривается частично заполненная энергетическая зона, то непосредственно над занятыми уровнями имеются уровни энергии, на которые возможен переход электронов. Таким образом, возможно бесконечно малое увеличение энергии за счет перераспределения электронов внутри энергетической зоны. Это очень сильное упрощение, однако при этом мы не отклоняемся полностью от картины того, что происходит при возникновении тока.
Если же имеется заполненная энергетическая зона, то, наоборот, вызвать малое увеличение энергии перераспределением электронов невозможно. Единственный способ увеличить в этом случае энергию — это перевести электроны в совершенно незаполненную энергетическую зону, сообщив им значительно ббльшую энергию. Это не может быть достигнуто при малом ускоряющем поле, и в результате ток не возникает. Следовательно, у нас имеется изолятор. Таким образом, различие между проводником и изолятором зависит от того, имеются ли частично заполненные энергетические зоны — характеристика проводника — или же лишь целиком заполненные зоны с совершенно пустыми зонами над ними и энергетической щелью между ними — случай изолятора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
