1626435894-d8fc059aa7a13c20ed940af85260205a (844333), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Используя полученные выражения для волновых функпнй валентного электрона, для потенциала обменного взаимодействия положительного и отрицательного ионов получим Ь = 4пА Чг(К), (2) где ф(К) — волновая функция электрона в возбужденном атоме. Эта формула справедлива, если расстояние между ядрами значительно превып>ает размер отрицательного иона: Я Т а 1. Задача 1.24.
Получить выражение лля потенпиала обменного взаимодействия атома водорода с многозарядным ионом. В данном случае одно из состояний квазимолекулы соответствует нахождению электрона в поле протона, другое — в попе многозарядного иона. Расстояние между протоном и многозарядным ионом достаточно велико, так что их поля действия разделены барьером. Поэтому электрон можно считать локализованным либо в поле протона, либо в поле многозаряд- 32 ного иона. Воспользуемся общей формулой для потенциала обменного взаимодействия т1 = /('1'н 1г Ф вЂ” Ф РФнИа где Фн, Ф; — волновые функции, центрированные соответственно на протоне и многозарядном ионе и учитывавшие влияние соседнего иона. В качестве поверхности раздела о выберем плоскость, перпендикулярную оси, соединяюшей ядра, и отстояшую на расстояние Я, от протона и Ят от многозарядного иона (Я, + Ят = Я) .
Воспользуемся тем, что, вопервых, волновые функции электрона экспонеициально зависят от рас- стоЯниЯ г по своего центРа (Фн ехР(-7н г), Ф, ехР( — 7,г)), и, вовторых, тем, что искомый интеграл сходится на малом расстоянии от оси, соединяюшей ядра. Вычисление интеграла (1) с учетом этих двух обстоятельств для потенциала обменного взаимодействия дает Я (7н + 7с) 7н/Я~ + 7~/Яг (2) Очевидно, оптимальный выбор плоскости 5 соответствует ее лрохожде.
нию через вершину барьера, который разделяет сферы действия поля протона и многоэарядного иона. Получаем Я, = Я/(1 + э/У), где с — заряд многозарядного иона. Далее, показатели экспонент в волновых функциях электрона выражаются через энергию электрона в соответствуюшей облас. ти и равны 7н= 1 — — + Здесь и — главное квантовое число, отвечающее нахождению электрона в многозарядном ионе. При этом 7„= 7г = 1 — 2,/2/Я = 1, так что имеем 4л Я,/У Ф Н (Я 3 ) 1 ю (Я 2 ). (3) (1+И)' '1'и = Хн Фн Ч'; = Х;Фг Воспользовавшись кваэиклассическим приближением, получим выражение дла Хн и Х, в полном соответствии с задачей 1.16: Хн = — — ехр — — — —, Х; = — - ехр (4) Поскольку 7н = 7, = 1, то с учетом выражения для волновой функции 33 Выразим квазимолекулярные волновые функции электрона в поле протопи Фн и многозарядного иона Ф; через волновые функции электрона в поле изолированных протона Фн и многозаряпного иона Чч стандартным' способом, описанным в задаче 1.16: электрона в атоме водорода фг(г) = е "/х/я отсюда получаем (5) Соотношение (5) справедливо, если расстояние между ионами достаточно велико, так что их действия разделены барьером.
Это имеет место при выполнении условия (6) Я ~ 4ъ/Т Полученное выражение является обобщением на случай многоэарядного иона (8) задачи 1.16 для потенциала обменного взаимодействия иона и атома. В частности, полагая с = 1, в случае обменного взаимодействия протона с атомом водорода получаем т5 = 4Яе (7) В рассматриваемом случае зависимость от орбитального момента содержится в радиальной волновой функции. Используя квазикласггческое выражение для радиальной волновой функции, получим Р„,(г) = Рао(г) ехр ~ ( ~ 1 г„ ]„1 (2) 34 что находится в полном соответствии с результатами задачи 1.16. Задача 1.25.
Определить потенциал обменного взаимодействия атома с многозарядным ионом, считая волновую функцию электрона в поле многозарядного иона квазиклассической, а орбитальный момент электрона 1 — малым по сравнению с зарядом иона. Используем общуюформулу, полученную в задаче 1.24 для потенциала обменного взаимодействия атома водорода с мнэгозарядным ионом,в конкретном случае.
Будем считать, что в поле многозарядного иона состояние электрона описывается квантовыми числами: л — главное квантовое число, 1 — орбитальный момент электрона, т — проекция момента электрона на ось, соединяюгцую ядра. Наша цель — получить конкретные выражения для потенциала обменного взаимодействия с учетом квазиклассических выражений для волновой функции жектрона. Сначала найдем зависимость потенциала обменного взаимодействия атома водорода и многозарядного иона от орбитального момента электрона в многозарядном ионе.
При вычислении интеграла по поверхности в эа. даче 1.24 мы считали, что в области сходимости интеграла волновая функция электрона в многозарядном ионе не зависит от углов О. Эта справедливо при условии 10 << 1. Поскольку 0 - р1Я и основной вклад в интеграл вносят расстояния от оси р- )1, - Н(~Т, то это соответствует выполнению условия 1' <)1х/Т Здесь Р„,(г) — радиальная волновая функция возбужценного электрона с главным квантовым числом л и орбитальным моментом /, находящегося в попе многозарядного иона заряда с; нижний предел интегрирования в формуле (2) находится в пределах 1 ч ге < л'/г..
При г з. л'/Л связь между радиальными волновыми функциями с разными орбитальными момента. ми электрона принимает вид дыг)т Р„~(г)=Р„о(г)е гг га с/ (3) Учтем, по резонанс соответствует т = 1 и угловая волновая функция элект- рона в поле многозарядного иона на ось, соединяющую ядра, равна +1 Ую(в,ф) =ч~- — -Р,( В). 4я Отсюда находим связь между потенциалом обменного взаимодействия атома водорода и многозарядного иона для разных значений орбитального момента электрона в поле многозарядного иона: С(с+ О г1щ=т/2/+1 е Ьяе.
(4) Далее, для простоты рассмотрим предельный случай: 4з/2~И <2. (5) Представим молекулярную волновую функцию электрона в поле много- зарядного иона в соответствии с формулой (5) задачи 1.16 в виде произведения. Мз) Хг(гз) '4г(Г2) Здесь Ф; — волновая функция электрона в поле многозарядного иона в отсутствие протона; Х~(г,) в соответствии с формулой (5) задачи 1.16 имеет вид '/' ' Хг(гз ) — ~ е г, где г, з — расстояние электрона соответственно до протона и многозаряд. ного иона. Отсюда следует 1 Х;Ф )=- Л е поскольку у = 1 и Я, = Я/,/г.. Далее, из условия резонанса у; = ун = 1 имеем с' 2с 2 — — — — — -= 1. (6) з д Для главного квантового числа при г. В.
1 (Я, = Я/х/Т Я, = /1) это дает л =;/2й72. Далее,основываясь наформуле (5) задачи 1 24 и используя квазиклассическое выражение для волновой функции возбужденного з-элект- 35 рона в поле миогоэарядного иона и полученные выше соотношения, при У > 1 находим д о е — я'1зя 4~/У~А ~22 г,/Ж Выражение для потенциала обменного взаимодействия в случае отличного от нуля орбитального момента валентного электрона может быть получено с учетом формулы (4.) . Задача 1.2б. Определить потенциал обменного взаимодействия двух- атомного молекулярного иона с собственной молекулой иа больших расстояниях между ними 1по сравнению с размером молекулы).
Рассмотрим случай, когда переход определяется только одним валент. ным электроном. Например, в случае взаимодействия Нз ('Х ) и Нз (~Е ) переход совершает один из электронов в состоянии 1о, с направлением сйина, противоположным направлению спина иона. Асимптотическое выражение для волновой функции электрона вдали от молекулярного иона имеет вид 1 — — ! ф~,„(г) =А(д)г т е "'". в Здесь г — расстояние от центра молекулы до электрона, д — угол между вектором г и направлением оси молекулы, 7'12 — энергия связи валентного электрона. Поскольку расстояние между молекулой и молекулярным ионом достаточно велико, то область межцу центрами молекулярных частиц, которой определяется обменное взаимодействие, смотрится из центра каждой частицы под малым телесным углом. В этой области угловую часть волновой функции можно считать постоянной, и поэтому потенциал обменного взаимодействия задается формулой 13) задачи 1.16: Ьа„= ягтч~ —, дг ~а —, гзт (2) з — / 1х тза„= А (д, ) А (дз )А т ехр ~ — тг7 — — ) .
7 13) Формула 13) отвечает случаю, когда переход электрона переводит моле. кулу и молекулярный ион в любое иэ колебательных состояний. Определим потенциал обменного взаимодействия для фиксированных значений колебательных квантовых чисел. Пусть до перехода электрона с — коцеба. тельное квантовое число молекулы, иг — молекулярного иона, а после 36 где Л вЂ” расстояние между центрами, д, з — угол между осью, соединяющей центры молекулярных частиц, и осью соответствуюшейчастицы, р— волновая функция валентного электрона с учетом действия второго атомного остатка. Используя асимптотическое выражение 11) для волновой функции электрона в молекуле, а также влияние на нее поля молекулярного иона, для потенциала обменного взаимодействия молекулярного иона с молекулой имеем 1 У перехода электрона эти величины составл~)ют и и с, соответственно.
Воспользуемся тем, что волновая функция молекулы и молекулярного иона может быть представлена в виде произведения электронной и ядерной электронной волновых функций, причем асимптотическое выражение для электрон. ной волновой функции слабо зависит от расстояния между ядрами в области колебаний молекулы или иона. Используем формулу (П3.5) приложения 3 дпя потенциала обменного взаимодействия: А = 2йа(д 1 Рз > — 2( А! Н! уз» (4) где Ф, э — волновая функция, отвечающая нахождению электрона в поле первого или второго молекулярного иона, Ее — электронная энергия при бесконечном разведении ядер.
Исключая из этой формулы ядерные координаты, получим для потенциала обменного взаимодействия молекулярного иона с собственной двухатомной молекулой: А= СЪза (и! и~ >(и, ! и >, (5) где Аз„— электронная часть потенциала обменного взаимодействия, определяемая формулами (2), (3), ( и ~ й, > и ( из > и' > — интегралы перекрытия между соответствующими колебательными волновыми функциями (факторы Франка — Концова) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
