1626435894-d8fc059aa7a13c20ed940af85260205a (844333), страница 48
Текст из файла (страница 48)
У' — Е,)НЕ,с1Е,,/Е г!Е по поступательным энергиям. В переменных 'г ь 1' . т' Р микроканоническая плотность распределения равна и ' 1 обязано ограничениям, обязанным закону сохранения полного углового момента, Задача 5.20. Вычислить угловое распределение продуктов распада комплекса с заданными значениями полного углового момента У и его проекции э, на фиксированную в пространстве ось в канал распада с заданными квантовыми числами ! и 1. Угловое распределение 1,, (соз В) продуктов распада с заданным зна.
чением орбитального момента ! и его проекцией 1, пропорционально квадрату модуля соответствуюшей шаровой функции ] уп (соь д) ] В квазиклассических условиях можно провести усреднение по быстрым осцилляциям этого распределения (угловой период осцилляции !5 — 1/!) и воспользоваться ВКБ асимптотикой амплитудного множителя этой функции. Таким образом, получаем 1 1! ! (сот В) = — (гйп  — !т /!з! " (!) Искомое угловое распределение 1, с заданными квантовыми числами 1,! эгт э, Х„1, ! получается сверткой 1,, с функцией И'и !, Эта функция нг ~т' дает вероятность того, что моменты ! и !, складываясь в У, будут обладать проекциями 1, и /, при суммарной проекции э', = !, + !,.
Функция !гы !! Равна квадРатУ коэффициента Клебша — ГоРдана. В наших Расчел~г!тт тах может быть использована квазиклассическая асимптотика лого квадрата, усредненная по быстрым осцилляциям. Выражение для И! имеет вид Формулы (1) и (2) в принципе дают решение задачи. При этом 1, '(сото) = / И' '. 1 (соаВ)г!!, (3) Рассмотрим некоторые предельные случаи. Пусть полный угловой момент комплекса ориентирован точно вдоль оси г( э' = э',) . В этом случае возможно только одно значение 1,, определяемое выражением (3 — 1)з = э'~ — 2Л + 1з = !э (4) Тогда формула (3) дает 1 1,. *(спад) = — [а!пзд — (Уз — !з — /з)/2,/э!э]-"з (5) 239 Видно, что при / ч Х, 1 рассеяние происходит вблизи экваториальной плоскости, причем при / = Π— точно в экваториальной плоскости, ~ (соз д) = д(соз д).
эз Теперь пусть з', = О. Такая ситуация отвечает образованию комплекса при столкновениях с фиксированным направлением относительной скорости реагентов (эксперименты с молекулярными пучками) при условии / < з. При этом з приблизительно совпадает с 1, а 1, = О, если в качестве оси квантования выбрать векюр относительной скорости. Полагая в формуле (2) 1, = — 1„ /.< з, 1, получаем зо 1 г1х 1, 1,1 (г (со5В) = з / ~ 5!и'д — — х 1 ! (6) При 51п В >//1 угловое распределение описывается функцией зо 1 (со5 В) и зшВ (7) р(Е- Е,') и [Е, -- и [ Ф(Е'; Е,Е,)= 1' [у (Е))г /'р(Г Е ')51[ЕЕ' — Ь~ИЕП о Такое распределение получается при усреднении положений экваториальных плоскостей изотропного распределения в экваториальных плоскостях по их равновероятной ориентации относительно вектора т. Функция (6), ко торая выражается через полный эллиптический интеграл, логарифмически расходится при 51п В =1/1, а при Мп д (1/1 убывает. Такой характерный вид распределения с двумя максимумами при значениях углов, вблнзких к О и я, часто наблюдается при рассеянии в молекулярных пучках.
Задача 5.21. В статистическом приближении вычислить распределение по относительным энергиям аюма А и многоатомного фрагмента М, возникавших при расладе комплекса АМ", который образовался при столкновении А и М. Считать, что комплекс образуется и распадается при преодолении врашательного барьера в центральном потенциале 11 — Я ".
Считать также, что полный момент много больше собственного момента фрагмента М. Эта задача отличается от задачи 5.17 тем, что имеется не одно, а несколько колебаний фрагмента М, а также дополнительное квантовое'число, характеризующее проекцию вектора / на ось подвижной системы координат фрагмента М. Учет этого обстоятельства может быть сделан просто путем замены плотности колебательно-врашательных состояний двухатомной молекулы истинной плотностью состояний фрагмента М. Интегрируя формулу (1) задачи 5.17 по Е„и Е1 с учетом сохранения полной энергии, получаем следующее выражение дпя функции распределения по поступательныы м энергия м: где плотность колебательно-вращательных состояний равна с/Е„г/Е.
/ Р(Š— Ег) = Х и/Е Еч — Е/)О(Е, Еч — Е/ — Ег) Если понимать в формуле (1) под р плотность колебательно-вращательных состояний фрагмента М, то эта формула в принципе решает поставленную задачу. Для упрощения расчета предположим дополнительно, что максимальная высота Рэ центробежного барьера заметно меньше полной энергии Е. Тогда зависимостью знаменателя от Гр можно пренебречь. Учитывая до- полнительно, что критическое значение 3' для потенциала типа Е " про(и — 2) /эп порционально величине Е,, получим (Е /Е)("-з»" Е, (Е г ф(Е,ПЕ,Ес) - Рм(Е-Е,~) (2) 1, Е,, >Е, В случае многоатомного фрагмента М плотность колебательно-враща- тельных состояний быстро убывает с уменьшением энергии, Š— Е,.т.е.
г ' с увеличением Е ~, поэтому распределение (2) имеет внд довольно острого г ' пика при Е г = Е . к В случае двухатомного фрагмента р(Š— Е;) = (Š— Е,)/шВ. Если до- полнительно принять л > 1, то соответствующая формула будет иметь вид Ег'/Е Ф(Ес' ' Е Е 1 (Е Ег) (3) 1, Е~>Е. Из сравнения (3) с формулой (7) задачи 5.19 следует, что формула (3) удовлетворительно воспроизводит точный результат при Е, к Е, что как раз эквивалентно условию И * чЕ, э 5.3. Электронные переходы при столкновении молекул Задача 5.22. Определить вероятность резонансной перезарядки при' столкновении молекулярного иона с двухатомной молекулой. Молекулярный ион и молекула находятся в основном колебательном сосояннн, энергия соударения частиц много меныпе характерных электронных энергий.
Переход совершается при больших расстояниях межцу ядрами по сравнению с размерами молекул. Прн этом взаимодействие между частицами мало, так что движение системы можно разделить на электронное, колебательное, вращательное н поступательное. Поступательное движение будем рассматривать, как обычно, классическим способом, причем в данном случае можно считать, что частицы движутся по прямолинейным траек- 24! ториям. Представим волновую функцию системы сталкивающихся частиц в виде Ф= Х с( > г<у('> чу( „ехр( — уЕу)+ й иг у*иг )г иг угиг !, и, у и (1) у'игу' и' гуг гиг угиг угиг Здесь у' — вращательный момент, и — колебательное квантовое число соответствующей молекулярной частицы, г<у — волновая функция молекулы, чу — волновая функция молекулярного иона; индексы (1) и (2) указывают, к какой частице относится соответствующая величина: Е =Е; „, „,— энергия системы невзаимодействующих молекулы и молекулярного йойа.
Подставляя разложение (1) в нестационарное уравнение Шредингера < дгР у'й — = НФ и проводя традиционные операции, сведем его к уравнеду нию для амплитуд вероятностей нахождения системы в данных состояниях: ° ° (у) Д у (2) уд. Х (ууиг)2и2 < уг<ууи~!2иэ ) су и у и 2иг ,и,угиг где 2 < ф (У) (» < Ц < ф (2) П) ) 2<ф(2>,Р><Н<Ф(' (2»<Ф"> ")<ф(" ''> — потенциал обменного взаимодействия, который определяется электронными волновыми функциями и зависит от конфигурации ядер, йуагс — разность энергий для соответствующего перехода.
При этом мы не включили в систему уравнений (2) диагональные матричные элементы гамнльтониана, ибо они малы по сравнению с энергией столкновения, т.е. не влияют на траекторию движения и не имеют отношения к рассматриваемому процессу перезарядки. Потенциал обменного взаимодействия при больших расстояниях между сталкивающимися частицами, определяющими сечение, бьш вычислен в задаче ).26 и согласно формуле (3) этой задачи может быть представлен в виде уга( ) г (г ! г 2) (3) где А -- расстояние между цеупрами иона н молекулы, д,, д, — углы, которые образует соединяющая их линия с направлениями осей соответствующих молекул.
Отсюда следует (см. также формулу (5) задачи 1.2б), что систему уравнений (2) можно привести к виду у,и,уги у,и,у и При малых скоростях столкновения, ко~да переходы между колебательными состояниями адиабатически маловероятны, полная коле. 242 бательная энергия при столкновении не меняется. Следовательно, су = = иэ, от = су, 151» = О, так что система уравнений (4) преобразуется к виду 1'с( ). = 52 Е (у11, ~ 15 | у,! 2 )с * у,'уз (5) Усу' ! = 'Ч»» ) (! 112 ! Л !1172 )с! у' ' *11!1 причем индексы колебательных состояний в амплитуде вероятности мы опустили.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
