1626435894-d8fc059aa7a13c20ed940af85260205a (844333), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Начальное колебательное состояние осциллятора задается действием л, связанным с начальной колебательной энергией Е„ра соотношением Е„ , = лсэ, а начальное состояние поступательного движения — относительной скоростью е сближения А и ВС при Ут -ь » или относительной энергией Е„„„ = д и'у2. Согласно результатам задачи 5,5 неупругое столкновение характеризуется приращением действия первого порядка А О У . Имеем где х(г) и Е(г) должны быть взяты вдоль траектории нулевого приближения. Зта траектория определяется решением уравнений движения для независимых гамнльтонианов Ня вс н Нвс.
Уравнение для определения траектории относительного движения имеет вид яг — + Ае ' = Епрст. (3) Его интегрирование дает 1 А 1 гост Е(г) = — !и — + — !и сйг— Епрст и 2 (4) причем момент г = 0 соответствует расстоянию наибольшего сблюкения частиц, Траектория колебаний такова: У 2Е„ь„1г!г, х(г) = ( сот (сдг+ !3), г ! (5) где б — начальная фаза. Подстановка соотношений (4) и (5) в (2) и вычисление интеграла позволяют определить приращение действия А!г1: й гт 2Епрп'т'~~ А!'1 = а сот К а = — — Пи~ ( а(5), и( Функция распределения по переданной энергии ДЕ (плотность вероятности перехода) определяется следующим образом (см.
задачу 5.5): 1 а'б ((ДЕ) аДЕ = — — !ДЕ. (9) 2л с!(ДЕ) Выраженная через энергию ДЕ функция распределения т"(ДЕ) равна 1 7-(дЕ) (2 дЕг (дЕ)г )- ~ 1г (10) 220 л$ Ю гг(с) = —, зЬ л$ ои Изменение ДЕ дается производной дА !г1/д(1. Поскольку значение Дл пропорционально ДЕ. то это дает возможность получить выражение для изменения колебательной энергии осциллятора как функции начальной энергии Е„„и начальной фазы !3: гсМ (7) Видно, что средняя (по фазе) переданная энергия ДЕ равна нулю, а средний квадрат ДЕг равен — гл г г П ° г ДЕ' = — — ( !8!ДЕ(б))' = 2Хг — Е„.„Е„„„'(й).
(8) 2л е Полученный результат справедлив, когда изменение энергии ЬЕ мало по сравнению с начальной колебательной Ек л и начальной поступательной знергиейЕ„о„,т.е. ЬЕ' ч Ек,л, Е„о„. Это условие не накладывает существенных ограничений на основной параметр задачи $ = оэ/(оо), имеюших смысл параметра Месси. При малых величинах $ осуществляется импульсный режим; М (11) При больших значениях этого параметра столкновения носят почти адиабатический характер и переданная энергия экспоненциально мала: ЬЕт =,зЕ$4ят$зехр( — 2л$), оп (12) Задача 5.7. Вычислить переданную осциллятору энергию в рамках модели Ландау — Теллера при небольшом начальном возбуждении осциллятора, Поскольку соотношение ЬЕ ь Ек л прн заданных условиях не вы- полняется, то величина ЬЕ не может быль рассчитана по теории возмуще. ния.
Однако второе условие, ЬЕ < Е„„„позволяет сформулировать поставленную задачу как возбуждение осциллятора под действием внеш- ней силы. Будем считать, что относительное движение частиц по-прежне- му определяется траекторией в соответствии с формулой (4) задачи 5.6, но будем рассматривать 1'А вс как временное возмущение,действуюшее на осциллятор. Уравнение движения для вынужденных колебаний осцил.
лятора имеет вид 2 2 ! х +о тхз = — ехр( — оЯ(Г)] = — Е(Г). (1) М М Решение уравнения (1) есть сумма решений однородного уравнения (колебания осциллятора до столкновения) и частного решения неоднородного уравнения х(г), отвечающего первоначально покоящемуся осплллятору: т 2Екол 1 х(г) = / соз(оэг+д)+х г. (2) М 3 / Асимптотические выражения для частного решения имеют вид О, г ~ — '"', х (г) У 2 АЕо т~ ~т ;) (г 5'), Мсо~ (3) (4) ??1 где ЬЕо — энергия, переданная вначале неколеблющемуся осдиллятору.
Из формул (1) и (3) нетрудно получить выражение для переданной конечной энергии; АЕ = Екол Екол = 2(Екол2ГЕо) с~з4+ лЕо где !а — постоянная фаза. Для определения ЬЕе достаточно заметить, что при Екал л. 1гЕе первый член выражения (4) должен давать резулыат теории возмущений (соотношение (7) задачи (5.6) . Отсюда следует 1 дЕе = — ( !" Е(г) сов ьл г)г ]г. (5) 2М Соотношения (4) н (5) позволяют вычислить переданную энергию дЕ в условиях, когда дЕ > Е „.
Отметим, что при ЬЕ < Е„„последний член выражения (4), вообще говоря, не дает правильной поправки к ведущему члену, который получается по теории возмущений первого порядка. Действительно, иэ (4) следует, что предварительно возбужденный осциллятор при столкновении еше больше возбуждается ((«5Е! > О), тогда как из физических соображений ясно, что средняя переданная энергия должна зависеть от соотношения между Е„„„и Еле«в.
Учет этого эффекта может быть выполнен только в более высоких порядках теории возмущений. Задача 5.8. МетодомкласснческойЯ-матрицыпервого порядка вычислить вероятности перехода между колебательными состояниями осцнллятора модели Ландау — Теллера. Используем выражение для действия первого порядка (см. заца. чу 53) и заметим, что оно совпадает со стандартным интегральным представлением бесселевой функции. На основе формулы (10) задачи 5.3 и формулы (3) задачи 5.4 имеем гв Ял л+дл = — ! «грехр(-!дп!5+а совР) = У дл(а), (1) 2я е где а = 2(пггпе) !« = 2ггп' = 2пг1~(ггЕе(ог) ! Проследим переход этого выражения к примитивному полуклассическому приближенюо и чисто классическому приближению. Аснмптотика функции Бесселя при ггп < «гп' дает г 5л,л+дл = ]1-дл(дп*)]' в!и ](дп') — (ггп) ] « — ! «гп ! — — агсв!п1— г «г ггг / л ] гги 2 т«2 1д' (2) я ((дп') — (Ьп) ]'! Эта формула соответствует формуле (5) задачи 5.4 с учетом того, что в рассматриваемом случае имеются две перевальные точки, дающие одинаковые вероятности перехода.
Усреднение по быстрым осцнлляциям в формуле (2) дает 1 Рл л+дл = [(дп")г — (дп)г] гIг (3) что совпадает с классическим выражением для функции распределения (см. формулу (10) задачи 5.6) по энергиям осциллятора. Переходы вне классически разрешенного интервала ~ ггл ~ ь ггл соответствуют классически запрещенным переходам. Асимптотика функции Бесселя в формуле (1) дает Рч „а„= (ггп')а~ам/~ггл ~!, 1ал ~ > г5л*. (4) В частности, если ггл'~ 1, то существенны переходы только междусоседними уровнями осциллятора, причем 1 и,а» Рч м,л л(Ее/ог) (5) Зтот результат соответствует первому порядку полуклассической теории возмущений при условии л > 1 (см.
задачу 5.9). Задача 5.9. В первом порядке полуклассической теории возмущений вычислить вероятность перехода между состояниями квантового осциллятора модели Ландау — Теллера. В рамках полуклассического приближения (ПК) относительное движение осциллятора и налетающей частицы считается классическим, причем т~аектория Я(г) дается формулой (4) задачи 5.6. Вероятность перехода Р„„,д„в первом порядке по взаимодействию Наг выражается через К квадрат матричного элемента: пк пк Р„„,д„= Р„,а„„= (йаХ„„+аа)А ЕХр[ — ай(Г)) ЕХр(/Ьгггггт)Г/т (1) Для гармонического осциллятора матричные элементы х отличны от нуля только для переходов между соседними уровнями, ггл = х1, причем х„,„+г = х„+г,„= (л + 1)'/ /(2Мы)'/г. Вычислив интеграл (1) для указанной траектории, получим Рпк = Рпк = (и+1)(Е /ог) (2) Здесь Ее имеет тот же смысл, что и в формуле (3) задачи 5.8, которая .получается иэ формулы (2) в пределе л > 1.
Видно, что множитель (л + 1) в (2) обеспечивает выполнение естественного условия вероятности обращения в нуль вероятности тушения основного (л = О) колебательного состояния осциллятора. Перепишем выражение (2) через параметры модели Ландау — Теллера в явной функции относительной кинетической энергии Е„(см. задачу 5.6): Рпк (Ег) = Рпк (Ег) (и + 1) 4Л ~д($) (3) сг ,рб) = — $ = — (2Е /д)-1/г, 1 г~ В этой н предыдущей задачах вероятности перехода вверх (л — л + 1) и вниз (л ч 1-+л) оказались равными.
Зто есть дефект классической и полукпассической теории возмущений, в рамках которой не учитывается обратного действия осцнллятора на относительное движение сталкивающихся частиц (и соота," .твенно этому начальная и конечная относитель- 223 я!!зЕ! !г ЬЕ (Е )...|Е'> — ехр — ( ! — — + ... )~. ае 4Е, (4) Видно, что при ! ЬЕ! 4 Е относнтвтьная поправка в экспоненте (4) мала, однако ее абсолютное значение в условиях почти адиабатических столкновений (я ( ЬЕ(((ае) л. 1) может быть большим.
В пределе, ЬЕ((4Е! .л 1, квазиклассический матричный элемент (3) сводится к интегралу Фурье, что позволяет однозначно определить предзкспоненциальный множитель в выражениях (3) и (4), в котором можно величину Е отождествить с Е'. 224 ные энергии считаются равными) . Приближение искаженных воли исправляет этот дефект (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
