1626435894-d8fc059aa7a13c20ed940af85260205a (844333), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Лля простоты мы будем его опускать. Лля указанного закона взаимодействия число открытых каналов Ь'(Е, У, и,/) при фиксированной полной энергии Е и полном угловом моменте Х для заданных квантовых чисел двухатомного фрагмента и и / равно числу различных значений атносительного момента 1, для которых возможен классический выход фрагментов над центробежным барьером при условии сохранения полного угла. ного момента э. Определим сначала те значения момента 1, для которых возможен выход фрагментов над центробежным барьером, При заданной поступательной энергии Е, эти значения 1 удовлетворяют условию ! (! * !Е,) .
Критическое значение 1' определяется иэ условия равенства максимума эффективного потенциала !/'Ффф,/) =!/1/!) + !1+ !/2)з/(2рЯз) кинетической энергии Е,. Зто условие записывается в виде системы двух уравнений, из которых можно определить две величины — критический момент!' и расстояние Л" между фрагментами, определяющее положение максимума !/'~~: а изффР',1')=0, и'Ф4<К' !')=Е (!) д/! Лля потенциала вида !/= — ДНе"//!" решение этих уравнений дает /яд Д~/ч~2Е/!„2)) ~/з-~/ч !2) Совместно с законом сохранения энергии Ег Е Еа (3) !где Е„н Е/ — колебательная и вращательная энергии двухатомного фраг- 234 Р н с. 5.1. Открытые каналы распада трехатомного комплекса (заштрихоааннаа область) а пространсгае арашательного момента трехатомноа системы / и относительного углового момента ! образтюцыхсл частиц мента) формула (2) определяет на фазовой плоскости/,/' линию, разделяющую открытые и закрьпые по энергии каналы, Эта линия имее~ вид четверти эллипса, причем условие !„, ~/,„означает, что эллипс вытянут по оси /(рис.5.1).
Распад в часть энергетически открытых каналов, однако, запрешен на основании закона сохранения полного углового момента.Дляфиксированного значения У угловые моменты /' и / могут соответствовать лишь участку той фазовой плоскости внутри полосы, ширина которой определяется законом сложения моментов ~ ! — ! ! <У <! е/. Область перекрывания этой полосы с эллиптическим участком плоскости определяет состояния, в которые возможен распад при двух ограничениях, накладываемых законом сохранения энергии и законом сохранения полного углового момента.
Типичная ситуация такого перекрывания, когда выполняется условие ! а /, показана на рис. 5.1 (заштрихованная часть плоскости). Число открытых каналов при заданном значении У равно длине отрезка, заключенного между верхней и нижней границами заштрихованной области. Если пренебречь граничными эффектами, то резкое обращение в нуль число состояний при приближении к правой границе области можно аппроксимировать ступенчатой функцией.
В этом приближении получается следующее выражение для числа открытых каналов: )т'(Е,У, и,/') = м (2/+1)Л[Е-Ес-Е/ — РЛ, /<У, (4) (2У+ 1)Л [Š— ń— Е/ — Р/), / > У, где г! (х) — единичная функция и )'/ — максимальное значение эффективного потенциала, которое определяется из уравнения (1) и в котором величина !' заменена на У.
Для потенциала вида (/= (/о// "/(о имеем / /2 ь л/(а-2) ,Х-2/(л — 2) По мере увеличения показателя л расстояние // ' все слабее зависит от л. Предел л-ь отвечает условию, что комплекс распадается (нли образуется)придостижениификсированного расстояния Я' =/(о. В этом случае (У + 1/2)2 $'/ = гд//О 235 Выполнение условия 1„, Э"/,„означает, что момент инерции комплекса при расстоянии Яе между фрагментами намного превышает момент инерции двухатомного фрагмента, Задача 5,17.
Вычислить сечения врыцательных переходов при столкновении атома с двухатомной молекулой в предположении образования комплекса. Комплекс образуется при сближении партнеров до расстояния Ло. В рассматриваемом случае имеется одно направление распада комплекса, причем колебательной энергиейследуетпренебречь. Считая враща. тельные состояния квазиклассическими (/ > 1) и предполагая выполнения условия/ <,/, воспользуемся формулой (4) задачи 5.16.
Основная формула статистической теории принимает теперь внц о (Ет) -" э Х 2Л/./ „, „„Х я(21+ 1) П [Š— В(/'+ 1/2)з — Ь(Л+ 1/2)'1 тр ' и' Л2/"'т 1)П[Š— В(/'"+ 1/2) — Ь(У+ 1/2) ] Ф Х-П [Š— В(/ + 1/2) — Ь(у + 1/2)'], где Ь = (2д/1е~) ',  — вращательная константа двухатомной молекулы. Вычисление интеграла в (1) дает сечение В Еа/В+(/+1/2) о (Е,) = (2/'+1) — 1п Ег шах [(/+1/2),(/'+1/2)] которое удовлетворяет принципу детального равновесия .(Ег)(2/+1)Е, = о '(Е, )(2/ +1)Е, и нормировано на яНст, т.е.
Е а.. (Ет) = лЯо. д 1 Задача 5.18. В статистическом приближении в рамках модели гармонически дышащих сфер вычислить сечения колебательных переходов при столкновении двухатомной молекулы с атомом. Для рассматриваемого случая относительный момент сохраняется, так .г что в обшей формуле следует положить / = /, / =/ . Вероятность колебательного перехода Р ~(р) при заданном значении начального прицельного параметра Р равна обратному числу достижимых конечных колебательных состояний с', которое определяется начальным колебательным числом и и радиальной кинетической энергией Е[(Р) = Е,(1 — р'/А~) в точке контакта сфер. Записывая вероятность колебательного перехода в виде п[Е,(р) + о>и — шс'] Р,(Р) = ее ч' [Е'( )» 236 и интегрируя по прицельным параметрам, найдем сечения колебательных переходов и (Ег) яйе ~ + Х (ле ) ((с + 1) ег а = мах (и, и') (2) где о' = ( е,) + с, здесь ( ег) — наибольшее целое число, не превышающее значения е, = Е,)ьз.
Если считать с, и ' непрерывными переменными, то формула (2) упрощается; ! и' с,(Е,) = яйе — 1п е, пах(и,с ) (3) Задача 5.19. В статистическом приближении вычислить функцию распределения молекул ВС по вращательным и колебательным состояниям при неупругом столкновении ВС с атомом А в предположении, что момент инерции молекулы ВС намного меньше момента инерции комплекса АВС' Указанное соотношение между моментами инерции означает, что в среднем ! э. ! и ! ' >) !' '. Если до столкновения молекула ВС не была сильно колебательно возбуждена, то относительные угловые моменты ! и ! ' одного порядка и каждый иэ них порядка У. Зто означает, что для числа открытых каналов можно воспользоваться формулой (4) задачи 5.16, поскольку!' ч У.
Искомая функция распределения пропорциональна сечению неупругого соударения о,, Если фиксирована полная энергия Е и начальная ото!г е ! носительная кинетическая энергия Е,, то нормированная на единицу функ- ция распределения Ф(с', ! '; Е, Е,) имеет вид "(лИ гу,(у Л(Е-Е„,-Е1,— Р;Нг!'+1) Ф(,1;Е Е)= У „, (1) о ('~ (Е~)) ~,(2!+1)Л(Е-Е, — Е! — Рт ) «,! где У'(Е,) — максимальнаый угловой момент образования комплекса. При вычислении интеграла в выражении (1) предположим, что комплекс задается критическим радиусом т(е между центрами тяжести фрагментов и что молекулу ВС можно моделировать гармоническим осциллятором и жестким ротатором. Считая колебательно-вращательные состояния квази- классическими, можно ввести в рассмотрение плотность вероятности распределения, зависящуюот долей энергии У, чЕ ]Е и !' =Е..(Е, кото- и ' и рая выделяется в виде колебаний и вращении молекулы~ВС.
Разумеется, что доля поступательной энергии У, определяется из закона сохранения энергии (2) У + У ь !' = 1 и ! В указанных предположениях получаем следующее выражение дпя плотно- 237 сти вероятности эе ( Г„, /. ~; Г ), заеисяшей параметрически от,Г, = Е, /Е: г1(1 —,/ ~ — Г.~ — /' ) (3) где Гт = (1+!/2) /(2дй~еЕ). После нахождения интеграла в знаменателе формула (3) переписывается в виде 2 ' и(! /' 4'-Г,) ~(Гьо Г'' Г,) — — Г ~Г (4) е е (' — э)' Вычисление этого интеграла дает 2 1 — Г Г„~+/., < 1 — Г,, Р(Г„,ф;Гэ)= 2(! -Г„-Г ) 1 — /, <Г, +Г.,< 1„ Г, ( Г„ + Г, ) е(Г Г ) !5(! Г Г )ыа (6) Плотность вероятности распределения по поступательным энергиям полу. чается из (5) после интегрирования по и' и /' с учетом закона сохране- ния (2): тэ(Гго Г) = Г Р(Гго Гг )б(! — Ä— Г, )~Г„Ц = 2Г,,/Г,, О ~Г, ~Г,, 2(1 — /;,)/(1 — Г ), Г, ( Г < 1.
Микроканонический анзлог этого распределения имеет вид 4 (8) Различие между статистическим и микроканоническим распределениями 2ЗВ что отличается от резулыата, основанного на микроканоническом распределении; Соответствуюшая плотность вероятности се получается при интегрировании микроканонического распределения б [Š— Š— Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
