1626435894-d8fc059aa7a13c20ed940af85260205a (844333), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Они наблюдаются при энергиях электрона, соответствующих минимуму знаменателя! В!. В случае, когда расстояние между ядрами молекулы Я и длина рассеяния электрона на атоме 2, связаны соотноШениями 0 < 1/Я вЂ” 1(т, < 11Я, этот резонанс появляется при малых энергиях 1ла = 1/де — 1/т',') и величина сечения при резонансной энергии электрона становится весьма значительной. Вэтом случае знаменатель дифференциального сечения рассеяния, соответствующий резонансу, имеет виц Наличие резонансов в сечении рассеяния отвечает образованию лри данной энергии столкновения квазисвязанного состояния электрона и молекулы.
При этом рассеяние электрона определяется его захватом на авто- 147 распадный уровень и с дальнейшим распадом этого квазистационарного состояния, что и приводит к появлению резонансов в сечении рассеяния. При таком механизме рассеяния вблизи резонанса знаменатель сечения Рассеаниа согласно фоРмУле БРейта — ВигнеРа имеет стРУктУРУ ге — ее)' ь + Г, где е — энергия рассеиваемого электрона, ее — резонансная энергия электрона, à — ширина автоиониэационного уровня. Сравнивая это выражение с выражением для ) 21 1', находим, что в рассматриваемом случае рассея.
ння электрона на молекуле, когда резонанс ожидается при малых энергиях электрона, ширина автоионизационного уровня оказывается равной з1г Г=с е ' .че. 3 Это совпадает с результатом задачи 4.37 (см. формулу (4) ) . Сечение при резонансной энергии электрона в рассмотренном случае, когда резонанс наблюдается при малых энергиях, согласно полученному выражению для амплитуды рассеяния оказьаается порядка а 1Мэе, что соответствует рассеянию медленного электрона на виртуальном уровне. Задача 3.34. Исследовать зависимость сечения возбуждения первого колебательного уровня двухатомной молекулы электронным уцаром от энергии электрона. Взаимодействие электрона с каждым из атомов молекулы рассматривать на основе модели дельта-функций, считая, по они не зависят от спина атома. Равновесное расстояние между ядрами в молекуле, которая составлена из одинаковых ато" мов, равно Яе, длина рассеяния электрона на атоме — Е.
Волновую функцию электрона и ядер в области координат электрона вне действия полей атомов представляем в виде ф=егча ф (К К )ь ехрП4„1 г — К, |) + ~4лфл(К! Кэ) — ь л 1г — К,1 ехр114„! г — К,1) Ч э'Вя4яЖ~ — Кг) (1) я à — 2 где г — координата электрона, К,, К, — координаты ццер, це — волновой вектор налетающего электрона; волновой вектор 4„определяется соотношением 4„' = ле — 2ьъЕ„, где Дń— энергия возбуждения и-го уровня молекулы, Ԅ— ядерная волновая функция, отвечающая л-му колебательному состоянию молекулы. Данная волновая функция является решением уравнения Шредингера для электрона и ядер: ! 1 1 ми+ ГГФ) ~ "' ~ +Ее '" 2 2д ),г где К = К, — К„д — приведенная масса ядер, Ее — энергия основного колебательного состояния в молекуле, Гг(Я) — потенциал взаимодействия атомов в молекуле.
Представленное для волновой функции выражение является наиболее общим решением этого уравнения и имеет заданный асимптотический вид. 148 Будем использовать систему координат, где за начало выбрана середина оси, соединяющей ядра (К, = К/2, К, = — К/2). Из характера взаимодействия электрона с атомами следует, что при приближении электрона к соответствующему ядру волновая функция принимает вид 1 1 Ф = С(В) 'ь 1г+ К/2 ~ В 3 что приводит к следующей системе уравнений дчя коэффициентов А„и Вьс 1 ь~ е'" !оеКь 6! и ХА„Ф„(В)~ь/„+ — ~+ ХВ„Ф„(Я) = — ехр( — ~Фе(В), и !ч Я ( (2а) КА„Ф„(В) ~В„Ф„(В) ( /„— 1= !" ЧеК 1 = — ехр ( — — / Фо(Я).
2 Умножив эту систему на Ф„(В) и проинтегрировав полученные уравнения по ядерным координатам„приведем ее к виду А1, 11„+ — + Х„— = — ехр + Вк !!/ь + = — ехр (3) 1 '\ вы ! я о А !4 + — ~~-В ! 1 А ! В 149 где( )»„— матричный элемент, взятый по ядерной волновой функции между состояниями/си л, /с =О, 1,... Прн решении системы уравнений (3) воспользуемся тем, что, если энергия электрона порядка атомных величин, значение 1/!/ (так же, как и равновесное расстояние между ядрами Яе) значительно превышает амплитуду колебания ядер. Это позволяет при вычислении матричных элементов воспользоваться разложением операторов вблизи В = Ле — равновесного расстояния между ядрами.
Считая амплитуду колебания ядер малой величиной, получаем в нулевом приближении (я = 0) дчя коэффициентовАе иВе систему уравнений (4 Ао + Во !!/о + = — ехр Эта система с точностью до замены В на Яе совпадает с системой уравнений, рассмотренной в задаче 3.33 и описывающей упругое рассеяние электрона иа молекуле. Положив далее /г = 1, лля коэффициентов А, и В, получаем следующую систему уравнений: — Во !г(о аовехр х !, !о,ио / А, +В,~!9, + — )= Во Т. Ао — — !!7о + Чов ехр — — хо!.
(5) /!' /= А, ехр ~ — — !), Кои / т В, ехр ( — и ! Но и (6) где и — единичный вектор, направленный вдоль г. Проанализируем решение полученной системы уравнений для коэффи- циентов А, и В, и вытекающие отсюда свойства амплитуды неупругого рассеяния электрона на молекуле. Коэффициенты А „В, являются линей- ной комбинацией величин Ао и Во, но содержат множителем малый пара- метР !)хо ! или хо !/Во.
ПоэтомУ амплитУда возбУждениЯ пеРвого колеба- тельного уровня молекулы электронным ударом в основной области энер- гий электрона в д '!~ раз меньше амплитуды упругого рассеяния электро- на на молекуле. Наибольший физический интерес для нас представляют резонансы в се- чении возбуждения. Как следует из системы уравнений (5), знаменателем выражений для коэффициентов А, и В, служит величина 1'зз ез!ч~ло Р,—" в7! т — ) (7) Во Обращение действительной части этого выражения в нуль приводит к ре- зонансу в сечении неупругого рассеяния электрона на молекуле.
Заметим, что коэффициенты Ао и Во знаменателем содержат выражение езю,я, Ро= !Чот ) (8) Во которое обращается в нуль при энергиях, близких к энергиям обращения в нуль первого знаменателя. Физический смысл знаменателя Р, связан с резонансным захватам электрона на автоианизационный уровень отрица- тельного иона молекулы. Физический смысл знаменателя Р! связан с ре- зонасным распадом автоионизацианного состояния на электрон и возбуж- денную молекулу, Таким образом, как следует из проведенного анализа, амплитуду коле- бательного возбуждения двухатомной молекулы электронным ударом вблизи резонанса можно представить в виде хо! Х- (е — ео + 1 Г) (е — ео + !зс ! + ! Г) 150 (9) Здесь в — единичный вектор, направленный вдоль оси молекулы; матрич- ный элемент хо ! = (Я вЂ” Яо)о !.
При этом амплитуда возбумсдения первого колебательного уровня выражается через коэффициенты А, и В! следую. шим образом: где е — энергия рассеиваемого электрона, ео — резонансная энергия, Ьоэ— энергия возбуждения колебательного уровня, à — ширина автоиоиизацнон- ного уровня. Дли нас представляет интерес величина / ос(е (о — сечение возбуждения колебательного уровня), причем интеграл берется по области резонансных энергий. Эта величина оказывается порядка х то 1/Ь оэ, и так как хо, -д '!, а Ьоу д '!з, то этот интеграл не зависит от приведенной массы ядер д и оказывается порядка атомной величины. Использование формулы Брейта — Вигнера прн исследовании возбужде- ния молекулы электронным ударом незаконно по двум причинам*): во-первых, амплитуда рассеяния может определяться не только нулевым моментом столкновения электрона, и, во-вторых, сечение возбуждения связано с целой областью расстояний между я!азами, причем кажцому рас.
стоянию межпу ядрами отвечает своя резонансная энергия. Однако анализ, основанный на использовании формулы Брейта — Вигнера, позволяет правильно оценить основные черты резонансного возбуждения молекулы электронным ударом. Зада в 3.35. Установить связь между неупругими щиринами уровня отрицательного иона молекулы, отвечающих возбуждению колебательных уровней молекулы.
Возбуждение колебательных уровней молекулы связано с образованием автораспадного состояния отрищательного иона молекулы, причем сечение этого процесса опрецеляется формулой Брейта — Внгнера тг ГГ тР~(/т)п/с п=(2!+!) — / 2е [е — ео(/!)1~ + Г /4 где ео(/!) — уровень автораспадного состояния отрицательного иона моле- кулы, Г и Гупр — полная и упругая ширины этого автоионизационного уровня, Ф(А) — волновая функция ядер, 1 — момент захватываемого электрона, н — его скорость. В отрицательном ионе, образуемом при рас- стоянии /!о между ядрами, ядра разлетаются со скоростью пя = = ~"[е — ео(/!)[/д (где д — приведенная масса ядер, е — энергия ядер в системе центра инерций).
Вероятность Р того, что отрицательный ион не распадается к моменту времени г, удовлетворяет уравнению с!Р— = — ГР. с!г Отсюда вероятность распада автораспадного состоянии, когда расстоя- ние между ядрами расположено в интервале Л!, равна сИ 1 сИ г!Рм ехр — / à — ~ à —, яс пл 1 гл где /!о — равновесное расстояние в молекуле, причем амплитуду колеба- чу Заметим, что в случае энергиИ, соответствующих минимуму Гэ,, Лри вычислении сечения упругого сталкновсния электрона на молекуле нсльэя прсисбрсгать нсупругим расстянисм элсктро~и иа молскунс по сравнению с упругим, т.с. всличииамн А,х',.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
