1626435894-d8fc059aa7a13c20ed940af85260205a (844333), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Отсюда для сечения тушения вращательных уровней имеем у(у- !) В(4у — 2) а(е,у- у — 2) = — 1+ (3) 15 (2у' — 1) (2у'+ 1) е Полученный результат справедлив, если, во-первых, переходы происходят преимущественно при больших расстояниях от электрона до молекулы, где можно ограничиться квадрупольным взаимодействием, и, вовторых„если в этой области расстояний применима теория возмущений. Как видно, основной вклад в интегралы, через которые выражается сечение, вносят расстояния г 1/У( 114. Поскольку переходы происходят в основном при этих расстояниях, то первое требование дает 4<1; второе условие соответствует формуле (7) зацачи 3.26 и имеет вид -~~з 4 г Поскольку, кроме того, имеем г-1у)у, то получаем, что дД< 1.
Как видно, полученный резулыат справедлив и при не очень больших энергиях соударения. Задача 3.30. Определить сечение возбуждения вращательных уровней днпольиой молекулы электронным ударом. 142 (3) Потенциал взаимодействия электрона с молекулой прн больших расстояниях г между ними имеет вид 1'= — Рл/г~, где Р— диполъный момент молекулы, и — единичный вектор, направленный по г. Согласно формуле (4) задачи 3.26 дифференциальное сечение возбуждения вращательных уровней молекулы равно 0 '! о) = ~2)Р ~1 эз!г(Кг)"гг~ ~ / !1) гТо ц ~о 2Кг 3 О О О Как вьпекает из свойств Зу-символов Вигнера, при возбуждении молекулы возможен переход только в состояние !' =!'+ 1.
При этом < г 1+1 11' !+1 / —,-УПг(х) =ч/ — . О О Оl 212!+1)(21 ьЗ) о х'г~ 2 Отсюда имеем ао 2ц', 1+1 1 Рг (2) гТо Зц 2у+ 1 цг +ц — 2цц соз д и сечение возбуждения вращательных уровней равно 8яРг !'+ 1 уц+ц' о!'1 /+ 1) =, 1и ~ Зцг 2!+1 тц- ц р .ГЬ= 'Г-тв~~ ° иь, ть ни ч — р ного уровня молекулы, е — энергия налетающего электрона. Полученный результат справедлив при малых по сравнению с соответствующей атомной величиной энергиях столкновения. Действительно, переходы совершаются в основном при расстояниях г от электрона до молекулы порядка 1!К -1/ц, и это расстояние должно превышать размер молекулы, поскольку примененный закон взаимодействия электрона с молекулой справедлив только при больших расстояниях электрона от молекулы. Далее. на расстояниях, где в основном и происходят переходы, энергия взаимодействия электрона с молекулой должна быль много меныле энергии электрона, ибо это является условием применимости борновской теории возмущений, на основе которой получен результат.
Отсюда следует, что дипольньш момент молекулы обязан быть малым по сравнению с соответствующей атомной характеристикой: Р< 1. Задача 3.31. Определить сечение упругого рассеяния медленного электрона на квадрупольной молекуле. Потенциал взаимодействия электрона с квадруиольной молекулой представим в виде 1'= Сс!г) + — Р (сот дм) —— Здесь первый член отвечает короткодействующей части потенциала взаимодействия электрона с молекулой, второй —. взаимодействию электрона с квадрупольным моментом, третий — поляризацнонному взаимодействию между ними; Д вЂ” квадрупольный момент молекулы, а — полярнзуемость молекулы, г — расстояние от электрона до молекулы, 143 а — единичный вектор в направлении оси молекулы, ΄— угол между векторами г и ь. Воспользуемся борновским приближением для амплитуды рассеяния 1 1'= — — ) 1г(г)е ' 'с1г, (1) 2л где К = 2с1 яп д/2 — изменение волнового вектора электрона при рассеянии на молекуле (и — волновой вектор электрона, д — угол рассеяния).
При малых скоростях столкновения, производя разложение формулы(1) по степеням К, приходим к формуле — скг — — Г(г)е ' 'с(г+ — Г 1'(г)е '"'гсоьОк,дг, 2лк е 2лк о где Ок, — угол между векторами К и г. Первый член разложенияамплитуды рассеяния не зависит от К, второй — пропорционален К. В короткодействующее взаимодействие, которое не зависит от угла между век. торами г и ь, мы частично включим поляризационное. Выберем коэффициент С= 2М таким образом, чтобы при К- О отвечающая первым двум членам амплитуда рассеяния оказалась равной т'= — Х, где с, — длина рассеяния электрона на молекуле.
Для амплитуды рассеяния по- лучаем 1'с . с(г 1Ка к. '" ,1'= — с',— —,( е ' ~Рз(соьОгь) — — — ( гсоь Оксе 2л к о гь 4л г Используя далее разложение е "~'=х/ — Х с '(21+1)Рс(соьдкг)ус+,1з(Кг), 2Кг с=о вычислим интегралы, входящие в выражение для амплитуды рассеяния: ссг с' л ,) е ' гРз(соь Огь) — = — 4л ъ/ — Рь(соь Ок,), .ь с(г сгл дх кг гз 2-о хь1з Отсюда для амплитуды рассеяния находим выражение эо 1 )'= — Е Рг(соь Окь) — — лаК, 3 4 (2) с(а гс л д'1 4 — = ~А+ — апь1п — / + — Д~. с(о 2 2 45 144 которэе совпадает с полученным ранее (задача 3.3) выражением для амплитуды рассеяния медленного электрона на атоме, если в нем принять Я = О.
На основе полученного выражения находим дифференциальное сечение упругого рассеяния электрона на молекуле, усредненное по направлению оси молекулы: Отсюда следует, что если длина рассеяния электрона на молекуле — величина отрицательная, то диффузионное или полное сечение упругого рассеяния электрона на молекуле, как илри рассеянии электрона на атоме, имеет минимум. Однако из-за наличия квадрупольного момента эффект Рамзаузра при рассеянии электрона на молекуле проявляется гораздо менее заметно, чем при рассеянии электрона на атоме. Например, при А (0 минимальное значение диффузионного сечения рассеяния 4 з 16 электрона на молекуле составляет — яАз + — ядз, тогда как его значе- 25 45 16 ние при нулевой энергии равно 4яЕ' + — яф.
В случае рассеяния злек- 45 4 трона на атоме эти величины соответственно составляют — ят,з и 25 4я/, т Полученный результат можно считать справедливым, если применимо использованное нами борновское приближение для квадрупольного и поляризапионного взаимодействий. Ворновское приближение связано с пренебрежением в уравнении для волновой функции Ф рассеиваемого электрона: 1 4 — — ДФ+ КФ вЂ” — Ф = О 2 2 членом 1'Ф по сравнению с двумя другими членами, что в свою очередь справедливо при 1 1 г'1а) 1 < —, 2 где а — характерные расстояния от электрона до молекулы, при которых в основном и происходит рассеяние.
Поскольку основной вклад в вычисляемые нами интегралы вносят расстояния до молекулы порядка г- -1/К 1/д, то имеем а-1/г/ (см. формулу (7) задачи 3.26). Учитывая это обстоятельство, получаем условия применимости полученных резулыатов 40<1, Как видно, полученный результат справедлив при малых энергиях рассеиваемого электрона.
Задача 3.32. Определить длину рассеяния электрона на двухатомной молекуле. Считать, что взаимодействие электрона с каждым из атомов носит короткодействуюший характер и не зависит от спина атома. Длина рассеяния электрона на первом атоме равна А,, на втором атоме Лз, расстояние между ядрами равно Яе. Данная модель взаимодействия электрона с молекулой носит название модели делыа-функций. Волновая функция рассеиваемого электрона вне области действия короткодействуюших потенциалов удовлетворяет уравнению Шредингера ЬФ = — ц Ф, где с — волновой вектор электрона.
Решение этого уравне- 2 145 ння может быть представлено в виде е'о"' е"'" г Ф=С е'ч'+А +В где г= 1/2(г, + г,), г,, г, — расстояния от электрона до соответствуюшего ядра. В рассматриваемом случае малых энергий (дВо(<1) это решение вблизи от молекулы принимает вид А + В 'г гР= С 1+ (, .=г,=.г. г Прн этом длина рассеяния электрона на молекуле равна В = — А — В. Поскольку взаимодействие электрона с каждым иэ атомов носит короткодействуюший характер и не зависит от другого атома, то волновая функция вблизи каждого нз атомов имеет тот же внд, что и в от. сутствне другого атома. Следовательно, прн г,' — 0 волновую функцию электрона можно записать в виде Ф = С,(1/г, — 1/Л,), а при гг ~0 — в виде гР=Сг(1/гг —.1/В,), где Сг, Сг — некотоРые константы.
СРавниваЯ этн выражения с обшим выражением для волновой функции электрона, приходим к следуюшей системе уравнений для коэффициентов А н В: А В + — = — 1 но ьг А  — + — = — 1, но Решение этой системы уравнений приводит к следующему выражению для длины рассеяния электрона на молекуле: 1/В г + 1// г 2/но 2, 1//. ~ ~ г — 1/гт о В частном случае одинаковых атомов (Ьг =В, =2,) данная модель дает 2 г.
=— 1// + 1/Ко Задача 3.33. Вычислить сечение упругого рассеяния электрона на двухатомной молекуле, применяя к молекуле, как и в задаче 3.32, модель дельта-функций. Молекула состоит из двух одинаковых атомов, причем длина. рассеяния на каждом из них не зависит от спина атома и равна /., равновесное расстояние между ядрами молекулы равно Яо.
Волновую функцию электрона вне области действия короткодейсгвуюших потенциалов ишем в виде ехр(щ 1 г — К/2 1) ехр(/г/ ! г+ К/21) Ф= С стяг+А — +В ~ г — К/'1 ! г+К/2 ~ Здесь за начало отсчета принята середина осн молекулы, так что К/2 и — К/2- координаты ядер, г — координата электрона. Записанная в таком виде волновая функция удовлетворяет уравнению Шредингера г44 зч = — д' Ф. Вдали от молекулы волновая функция принимает вид 1 ~ / — л) Кл 'т, /'1дКл 'т Ф=С ехр(щг)+ — ехр(глг) ~А ехр~ )+Вехр~ ) г )'х2у где л — единичныи вектор, налравленныи вдоль г.
Из этого соотношения для амплитуды упругого рассеяния электрона на молекуле получаем выражение Г=,~ р(- ' ) ° в р( — '). Значения коэффициентов А и В, определяющих величину амплитуды рассеяния, найдем из условия, прн котором вблизи первого и второго ядер волновая функция электрона имеет вид 1 Ф = сопаг — А + О(! г+ К/2 !). ',!гв К/2 ~ На основе этого требования получаем систему уравнений для коэффициентов А и В: — е'ел +В~ — +ц) = — ехр ~ — (, Я 2, Решая эту систему уравнений, находим амплитуду рассеяния + — — + 1л ехр — 1 — (ц — дп) где р- +уд 2 Интересно проследить, каким образом ведут себя резонансы в сечении упругого рассеяния.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
