1626435894-d8fc059aa7a13c20ed940af85260205a (844333), страница 24
Текст из файла (страница 24)
В частности, при больших энергиях налетающего электрона, когда волновая функция электронов может быль представлена в виде Ф(г, г') = егя гФе(г ), амплитуда прямого рассеянна уя соответствует борновскому приближению и определяется формулой (1) задачи 3.7, а амплитуда обменного взаимодействия равна 1 5а(д) =---- - (Ф;,(г )е 'ч"'Х" Х 1 1'~ Х ( — — — — — — Ф, (г )~ гЧ0г сгг г(г' Ц(г, — г! (5) Задача 3.10. Выразить амплитуду рассеяния электрона на атоме с сохранением и изменением направления спина налетающего элект- рона через амш~итуды рассеяния электрона на атоме при цанном пол- ном спине системы.
Используя обозначения, принятые в предыдущей задаче, представим асимптотическое выражение полной волновой функции системы в виде '1'" ФО(Ь,5,5г)п,(В)е"""г е'чч"'  — — — [р„(д)гг,(г,)Фа((ь 5', 5г) + юз г; +Хд!д)П (гг)Фи(Ь. 5, 5, +1)), ~де 5' — полный спин атома, находящегося в л-м состоянии (! 5 — 5 ! < 1) .
1)рн таком способе записи функция ч~я(д) является амплитудой перехода атома в и-е состояние без изменения направления спина налетающего электрона; Х„(д) — амтпитуда перехода с поворотом спина электрона. Сравнивая приведенное соотношение с формулой (1) задачи 3.9 и разлагая спино- !22 вую функцию полной системы, состоящей из электрона и атома, по спиновым функциям атома и электрона, получим связь между амплитудами перехода; 5+5г+! г 1т 5 5г / тэ„(д, 5,) = — —. — — а„~д, 5+ — т) +,/ — а„~ д, 5 — — у1, 25+1 2 25+1 2) (2) 5г 1~ (5 +5г ~ 1) 25+ 1 2) 25+ 1 2,~ В случае 5 =5, полный спин системы равен 5+ И, так что Х„=О. С помощью формул (2) лля дифференциального сечения, усредненного по проекции спина, можно записать г!Вол = (! чЪ ! +~!Х ! )~!о= Чя (3) -~доел А5+ — + ~1оел А5 —— 1т Здесь г(оо д, 5 + — т! — дифференциальное сечение рассеяния при данном полном спине системы; черта сверху означает усрелнение по проекции спина атома (5, = О).
Как следует из формулы (3), парциальные сечения рассеяния входят в усредненное сечение с соответствующим им статистическим весом. Задача 3.11. Получить разложение дпя сечения упругого рассеяния электрона на атоме с ненулевым спинам лля малых энергий электрона. Используя формулу (2) задачи 3.3 и формулу (3) задачи 3.10, дпя дифференциального сечения упругого рассеяния электрона на атоме при малых энергиях получаем На 5+ 1 5 лацЛ~(5+ !) д 22 + а!л — + до 25+1 25+1 25+1 2 г 5 Я лзаз г + а1л — + (1 — соа д), (1) 25+1 2 8 где Ь~ и т. — длины рассеяния в случае, когда полный спин электрона иатомасоответственно5 + И и 5 — Ы (5 — спин атома); остальныеобозначения те же, что и в формуле (2) задачи 3.3.
С помощью формулы (1) получаем выражение для полного и диффузионного сечений упругого рассеяния, которые подобны формулам (3) задачи З.З; (5+1)М+Я' 2лап((5+!А,+Я ) л'а'Ч' 1 о= 4л + + (2! 25 + 1 3(25 + 1) 8 ! ) (5+ !)у~~+5гз 4ла ((5+1)у.„+у. ) лзазпз 1 о'=4л + 25+ 1 5(25+ 1) 6 123 Задача 3.12. Выразить сечение деполяризации спина атома щелочного металла при упругом столкновении с электроном через фазы рассеяния электрона на атоме. Определим амплитуду упругого рассеяния электрона на атоме щелочного металла, при котором проекция спина атома щелочного металла изменяет знак. Такой процесс возможен лишь в случае, когда направления спина у электрона и атома противоположные, причем амплитуда упругого рассеяния согласно формуле (2) задачи 3.10 равна (5 = 1/2, 5, = = — 1/2) 1 1 Х(д) = — ао(д) — а,(д), з/2 ъ'2 где ао(д), а,(д) — амплитуды упругого рассеяния электрона на атоме при полном спине электрона и атома, равном нулю и единице соответственно.
Отсюда сечение деполяризации спина электрона равно 4я поем 1 ~ Х(д)! с!о= — 2 (21+ 1)а1л (6! — 6! ), аз где 6,, 6,' — фазы упругого рассеяния алек~рона на атоме для синглетного и триплетного состояний (г.е. полного спина электрона и атома, равного нулю и единице соответственно) . Задача 3.13. Определить вероятность возбуждения валентного т.электрона атома при соударении атома с заряженной частицей в случае больших прицельных параметров соударения.
Траектория сталкивающихся частиц прямолинейная. Амплитуду вероятности перехода при указанных условиях определяем на основании теории возмущений: .,= ( ро„е"Ъ. Здесь ! 1 гп К !г К Ка — оператор возмущения, г — координата электрона, К вЂ” расстояние между заряженной частицей и ядром атома, и — единичный вектор, направленный по К, ш = ЬŠ— разность энергий для состояний перехода. Используя закон свободного относительного движения частиц К = тг + р, где р — прицельный параметр столкновения, получаем с(г са = ) е!ю' — — (тоаиг +хо„р) = 2 -оа К! — +хоа Ко (2) где т, х — проекции радиус-вектора заряженной частицы на оси т и р соот- 124 вественно, Ко, КŠ— функлии Макдональда Просуммировав вероятность пеРехоДа по конечным состоЯниЯм (Х 2 ба = архея = — Х ге„, пРичем матРич- 2 2 2 а 3 о ный элемент ге„берется только по рациальным волновым функциям), для вероятности перехода лол учаем (3) Р'счз) = = У 'оо Яо Задача 3.14.
Определить зависимость сечения неупругого возбуждения атома с изменением его спина от энергии налетающего электро. на при больших энергиях налетзюпгего электрона. Использовать для этой цели классическую моцель Томсона. При обменном рассеянии электрона на атоме налетающий электрон ме. няется местами с валентным электроном. Тогда, если спины налетающего и валентного электронов направлены противоположным образом, то полный спин атома может измениться на единицу.
При классическом рассмотрении задачи данный процесс происходит, если налетающни электрон передаст валентному электрону энергию, превышающую кинетическую энергию е, которой налетающий электрон обладал до столкновения. Прн этом налетающий электрон окажется в связзнном состоянии. Таким образом, полное сечение обменного рассеяния о б, налетающего электрона на валентном равно ЬЕ= СЕ/ Ообм ) С!Пяеп ае ГДЕ С!Очер = ЯС! 5Е!ЕЬЕ~ — СЕЧЕНИЕ РаССЕЯИИЯ ЭЛЕКтРОиа С ЭНЕРГИЕЙ Е На неподвижном электроне, приводящее к передаче энергии 25Е, е — энергия налетающего электрона, 25е — величина передаваемой энергии от налетающего электрона валентному, з' — потенциал ионизации наинизшего состояния атома с новым полным олином.
Учитывая, что е > з, получаем цля сечения обмена налетающего и валентного электронов: а,бм =- ЯЗ/Е' Отсюда находим, что сечение обменного возбуждения азОма при больших энергиях налетающего электрона е убывает по закону !!е . Эта зависи. масть, полученная при использовании классической модели, совпадает с квантовомеханическим результатом. Задача 3.15. Получить асимптотическое выражение ллн амплитуды обменного рассеяния при неупругом столкновении электрона с атомом в случае больших энергий электрона.
Считать, что у атома имеется один валентный электрон. )Тля амплитуды обменного рассеяния воспользуемся формулой (5) Е задачи 3.9 Ведем новую переменную г = г, — г, которая характеризуется компонентами г, о, 22, тогда как координата электрона г в сферической системе координат имеет компоненты г, 0, р . Интегрируя по частям эту !25 формулу по Ысоа д и по г(г, получаем 1 8„(д)=- — — — (Ф„'(г+г')е '"' Х /1 1'~ Х ~ — — — — ~ фе (г) е 1ч о " ь а е г т с(г гор г1 сот 6 с(г' = г г 1 .( е '"' Фе(г')Ыг'(еды "Ф;,(г+г', В', д')— (Чо — с ч'"Ф„'(~г — г'~,0', р')1 ~ — — —,)гс(г+0~ — -)= г г Чо — (е '~' Ф,(г ) Ф„( ', В, р ) + 0 ~ —,) = Чо Чо = — (е-'"') +0 ~ — 1; 2 Оь 3 Чо Чо гг ! 1~т Чо (2) причем знак плюс соответствует нулевому спину электронов, а минус— полному спину, равному единице. Задача ЗЛ6.
Определить зависимость сечения возбуждения атома электронным ударом от энергий электрона вблизи порога, а также сечение тушения возбуждения при столкновении возбужденного атома с медленным электроном. устремим к нулю волновой вектор Ч„электрона после рассеяния в формуле (6) задачи 3.6 для амплитуды неупругого рассеяния электрона на атоме. Поскольку волновая функпия полной системы Ф,(г, ~) в области г, размеры которой порядка атомных размеров, не зависит от импульса свободного электрона Ч„при малых значениях Ч„, то согласно формуле (7) задачи 3.6 сечение возбуждения атома вблизи порога равно ое т/е — ЬЕ, (1) где е = ЬЕ + Ч~ь(2 — энергия налетающего электрона, ЬŠ— энергия возбуж.
дения атома. Зависимость сечения тушения возбуждения от энергии налетающего электрона может быть получена отсюда на основании принципа детального равновесия, согласно которому (см. формулу (2) задачи 3.8) сечение тушения возбуждения атома медленным электроном обратно пропорционально скорости электрона. Действительно, из формулы (2) за- 126 при этом мы ограничились первым членом разложения по с~еленам 11Че.
Отсюда, используя формулу (2) задачи 3.7 и формулу (4) задачи 3.9, для амплитуды неупругого рассеяния электрона на атоме с одним валентным электроном при больших энергиях налетающего электрона находим дачи 3.8 имеем 8о /ЬЕ+е'1 отт ш (е) = 1) ) овозб (е + 4Е) Кв (2) С(бвозб — хй, 1Р (3) причем производная является постоянной вблизи порога. Отсюда в припороговой области энергий находим Ла ~~Е С(бвозб ату = — — — — --, е(<ЬЕ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
