1626435894-d8fc059aa7a13c20ed940af85260205a (844333), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Для простоты мы рассмотрим два предельных выражения— случаи малых и больших скоростей — и сравним их с точным выражением. При малых скоростях реализуегся почти адиабатическая ситуация. Как следует нз результатов задачи 2.21, вероятность перехода в экснонен- циальном приближении выражается через адиабатическое расщепление термов. В нашем случае гс Р ехр ( — 21т1 ( [г1Рэиэ(г — г )' + дэ)пэг(г), гр причем особая точка г отвечает точке ветвления корня в (5), ~ гр+ 2г Ь/ (ЬРцр). Таким образом, с экспоненциальной точностью находим (5) Р- ехр (6) Формула (6) справедлива при >> 1. ДГ(ти Исследование предела больших скоростей удобнее проводить в диабатическом базисе. Система уравнений в этом базисе имеет вид 16Ь, = Ьехр [(ДРТ(Л вЂ” Кр)г(г'[ Ьэ, г (7) гйЬэ = гэехр [ — Ыг ((Я вЂ” Кр)г(г') Ь,.
(8) Как видно из (6), большие скорости определяют малые значения единственного безразмерного параметра задачи 2ягээ/(ЬНтс ), т.е. неГюльшие значения взаимодействия Ь. Поэтому в этом пределе можно найти Р в первом порядке теории возмущений из уравнений (7); 2я,5г Р =~ — Г ехр[1г5Ри (г — г ))[2'1 й~ (9) Ь— длв„ Таким образом, нз (8) и (9) получаем 2яДэ Р=! — — —. (10) ЬЕЬ ср Как и следовало ожидать, при больших скоростях движения вероятность неадиабатического перехода близка к единице.
102 Теперь заметим, что с обеих сторон от области перехода при 11 мйр адиабатический базис Д, чгэе совпадает с днабатическим юь р, (в отличие от общего случая, когда такое совпадение может быль достигнуто, вообще говоря, только с одной стороны) . При переходе через область пересечения термов порядок функций меняется: если Д = с, и Д =д, при й — Ар- », то при 11 — )1р — — получим р, = р,, 1ээ= — д,.Отсюдаясно, что если вычислить о о вероятность перехода Р между диабатическими состояниями на основании уравнений (7), то эта вероятность будет связана с вероятностью лере- хода Р между адиабатическими состояниями простым соотношением Ро 1 Р Два предельных случая, справедливые соответственно при малых скоростях (формула (6)) н при больших скоростях (формула (10)), можно сравнить с точным решением, которое получается при решении системы уравнений (7) (вероятность перехода Ландау — Эинера) .
2ягь' 'т Р= ехр Ь Е Ь пр (11) 2яьг~ '~ Г / 2яьэ У=2Р(1 . Р) = 2ехр — - — ) ~ 1 — ехр ( —;. ! (1) ЬРЬур ггЕЬор Скорость ир может быть выражена через скорость относительного движения на бесконечное~и о (или кинетическую энергию е = К ди') на основании закона сохранения энергии и с учетом того, что ир представляет собой радиальную скорость при А = Лр, когда энергия взаимодействия атомов равна Ур.
В этом рассуждении мы пренебрегаем отличием от энергии (7 термов е, и ет в точке Яр, равных соответственно (7р + Ь н Ур — й. Это справедливо, когда расщепление адиабатических терман 2Ь мало по сравненщо 103 Видно, что точное решение совпадает с адиабатической асимптотикой (6) прн выборе предэкспоненциального множителя равным единице, а предел больших скоростей (10) дает первые цва члена разложения точного решения по степеням обратной скорости. Задача 2.24.
Определить вероятность перехода между двумя атомными состояниями, дпя которых молекулярные термы обнаруживают одну область квазипересечения. Для этого случая неадиабатические переходы локализованы в области квазипересечения термов, так что для расчета вероятности можно воспользоваться результатом задачи 2.23. При этом необходимо учесть, во-первых, что область квазипересечения проходится атомами дважды — при их сближении и разлете и, во-вторых, что скорость ор в точке кваэипересечения следует выражать через скорость атомов на бесконечности и прицельный параметр. Двукратное прохождение области перехода можно учесть, сшивая реше- У ния временных задач для сближения атомов и при нх разлете (как это сделано в задаче 2.19 для экспоненциального типа взаимодействий). Однако, если пренебречь интерференционными эффектами, то можно избежать сшивки решений и просто суммировать потоки частиц по термам с учетом разветвления потоков при переходе через область неадиабатического взаимодействия.
Предположим, что система находилась сначала в состоянии,1. Тогда после первого прохождения квазнпересечения заселенности первого и второго термов равны соответственно 1 — Р н Р. После второго прохождения доля 1 — Р, оставшаяся на первом терме, превращается в долю Р(1 — Р) на втором терме, а доля Р, возникшая на втором терме, преврашается в долю Р(1 — Р), оставшуюся на этом терме после второго прохождения области квазипересечения. Полная вероятность Ль получается суммированием потоков на втором терме после второго прохождения области ква. знпересечения: с локальной кинетической энергией атомов Е = — =е! 1 — — ( — У. 2) Р (г) Таким образом, в формуле (1) под ир с21едует понимать величину 2 11 1/2 Р и5в 1 —— Р ~ 2 Ер е (3) Рассмотрим более подробно случай больших скоростей (или малого расшепления адиабатических термов), когда формулу (1) можно аппроксимировать первым членом разложения по параметру 22~ !'(22Ейир).
Учитывая соотношение (3), получаем 4 ."2, 2 2(2,,1!г У= 2 г ) р х (4) ...) где, как и в задаче 2.24, ир имеет смысл скорости системы в точке пере- сечения диабатических термов Ер, Параболическая аппроксимация функ- ции Й вЂ” Йр в формуле (1) при определенных условиях сводится к линей- 1СЧ Применимость этого выражения ограничена двумя условиями: ду2 2льз 222 < — и < 1, (5) 2 ЬЕ!1ср которые накладывают ограничения на параметры задачи. Например, при фиксированных величинах 22 и 22Е условии ограничивают интервал изменение энергии Е (ограничение снизу) и прицельного параметра р (ограничения сверху). Поскольку неравенства (5) содержат различные степени 22 и ср, то нетРУдно видеть, что пРн достаточно малых значениЯх 25 огРаничивающим неравенством будет первое. Это ограничение не может быть снято в рамках модели Ландау — Зинера при параметризацни траектории в виде (4) (см, задачу 2.23), предполагающей достаточно большие значения локальной кинетической энергии Ер (приближение равномерного движения в области перехода, т.е'.
достаточную удаленность области перехода от точек поворота движения атомов) . Задача 2.25. При условии малости взаимодействия между пересекаюшимися диабатическими термами вычислить вероятность перехода для случая близости точек поворота к области перехода. Для этой задачи диабатический гамилыониан имеет вид (1) задачи 2.22, однако зависимость расстояния от времени (формула (4) задачи 2.22) должна быть изменена. Следующим по сравнению с приближением равномерного движения системы в области перехода является приближение равноускоренного (или равнозамедленного) цвижения.
Будем считать, что в области перехода относительное движение атомов происходит в поле постоянной силы Е Пусть, далее, момент времени г = 0 отвечает точке поворота Е1 классической траектории. Тогда Е, ди„' (1) 2и 2Е ной вблизи г = г, причем, очевидно, гр определяется из условияЯ(гр) — Йр= = О. В этих условиях рассчитанная вероятность должна в определенном смысле сводится к вероятности Ландау — Зинера (см. ниже) . Заметим, что в траектории (! ) учитываешься двойное прохождение системы через область недиабатичности, поэтому первый порядок теории возмущений (условие малости ть) дает сразу полную вероятность перехода за одно столкновение: ЬР 11 Р = ~ — ) ехр ~ ( ( — — (тт — А„) г(г'~ Ф ~ й-- е й (2) Интеграл в правой части (2) выражается через функцию Зйри (3) Асимптотика этой функции при болыпих значениях аргумента функции Эйри (эта асимптотика может быть получена при вычислении интеграла в выражении (2) в приближении стационарной фазы) дает 4»э ~ 4,/2 й.а!з,„~!з Е Р з я, Р= — — —.
а гйп — — — -- — — +— ЬЕ"ли ь ЗР ' ~э Р 4) (4) „э,эг,г )б г1э т 5э ° (б, э~э — — -- — й'(О)= — ~- ~ ) ОП2. йг ЕэР ' ьг Е,5Е Заметим, что точное определение средней силы Е, задающей характер траектории, может быть сделано только на основе последовательного выво- Ф да полукласснчсских временных уравнений из кваитовых. Однако из фи. зическнх соображений ясно, что если Р, и Рэ различаются не сильно, то зна. челне Е должно быть равно некоторому среднему значению меясду Р, и Р,.
105 Сравним этот результат с вероятностью Ландау — Зинера 4яЬ' У = —..—. (5) Ы'но„ Выражения (4) и (5) отличаются щлько выделенным осциллирующим множителем в (4), который обращается в единицу после усреднения. Э.от множитель описывает интерференционный эффект, который не учитывается при расчете вероятности У путем суммирования потоков. Условие быстрой осцилляции этого множителя, совпадающее с условием применимости асимптотического выражения для функции Зйри, как раз и озна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
