1626435894-d8fc059aa7a13c20ed940af85260205a (844333), страница 22

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

зуемостью атома а. Ллина рассеяния 2. характеризуется преимущественно короткодействуюшей частью взаимодействия электрона с атомом. Короткодействуюшая часть потенциала взаимодействия определяется областью расстояний от электрона до ядра порядка атомных размеров. Соответст. вующий короткодействующему потенциалу взаимодействиямалыйпараметр разложения нулевой фазы рассеяния при малых энергиях удовлетворяет неравенству 1.ц <1.

(1) Поляризационное взаимодействие а/2г~ опроявляется при больших расстояниях от электрона до ндрг, при которых его значение порядка энергии электрона я'!2. Поскольку при малых энергиях электрона !ауге << 1, то малый параметр разложении нулевой фазы, отвечающий поляризациопному взаимодействию: 2 ~1 (2) Короткодействующий и поляризационный пены разложения нулевой фазы определяются разными областями координат, так что разложение по каждому иэ этих малых параметров с точностью до первых членов разложения может быть произведено независимо.

Уравнение Шредингера для радиальной волновой функции электрона на расстояниях от ядра атома, превышающих атомные размеры, имеет вид (см. приложение 2) ,~г 2 ч 4 4 ч'0 — О, ~0 =Гбе(г). !)г гч При этом короткодействуюшнй потенциал взаимодействия электрона с с! )и Ч!0 1 атомом заменяем граничным условием = — —, где 1, — длина =0 рассеяния электрона на атоме. !12 При а = О для волновой функции получаем 4ге = в1п (ггг + бе), т.е. первый член разложения нулевой фазы рассеяния по малому параметру (1) имеет вид "е = — лЧ. Представим уравнение для чге в безразмерных параметрах: гпе х = г (о~ 1а) П4, [) = (огГ') П4.

При нахождении первого члена разложения нулевой фазы по малому параметру (2) примем равным нулю другой малый параметр — параметр (1) (Е = О) . Представим решение уравнения в виде разложения по степеням Д 4 1. Длгг этого разобьем поляриэацианный потенциал взаимодействия на две части; )г +[1г1х4 14 + гпс г4г х4:1, х4 ' х<1, и о— бг — х Ра 1.

х4 ' 13, х~~1, Введем фу нкцию Р 1)х соэ х х <!. 5!п (Рх + и ), х ~ 1, которая удовлетворяет уравнению /гф '- + и,ф„=о ,1хг с тем жс граничным условием, имеем 'Райс Ф44го = 3 и1йегсог1х . о Используя асимптотическое выражение для волновой функции (дс = э)п(йх + Бс) ), получаем 1) Оп[Во — Ьг 1 = 1 1ггбаэго41х.

о 11Э и граничному условию при х —, соогветстчующсму нулевой длине рас. иянин. Сравнивая это уравнение с уравнением цля функции гсе, которая удовлетворяет уравнению 'г гге —, +(и, и)р,=о, ггх Это дает, что первый член разложения нулевой фазы рассеяния по малому параметру 15 равен — Ее = )» 5![!552Х =,[Л Х СО5 52Х 4 (0) 2 4 2 2~ ()о бо Х 1, р'~ 2 л~ 5(х + 1 аю бхггх = — б 4 — 1 5!п2бх— б ! х 3 3 ! :э 4 — Рэ б4 ! О(Р5) 3 3 Величину бе находим, сшивая логарифмические производные фе при <е) х = 1 с точностью до членов порядка 11". Получаем б(е1 4[»45 + О(45) ййЦ' Отсюда при Е = О имеем 65 = — — и нулевую фазу рассеяния при раз- 3 ложенин по малым параметрам (1), (2) можно записать в виде РйЦ' "О = — 2,Ч вЂ” —. (4) 3 Задача 3.2.

Получить разложение ненулевых фаз рассеяния частицы на сферически.симметрнчном потенциале в борновском приближении. 5|п Ь,= . » ял )»51225,!|2(2») 9~(») 1»(»)гт». о Если в правую часть этого выражения подставить радиальную волновую »» я функцию б5! (») = хl — 254 !12 (д»), соответствующую свободному дви2п» жению частицы, то получим фазу рассеяния в борновском приближении б! = — я [ 1»(»)М»[1„512 (!1»)['.

о (2) Борновское приближение в форме (2) имеет более грирокую область применимости, чем формула (1) задачи 2.2, ибо теория возмущения может быль использована не для всех фаз рассеяния. Например, в случае рассеяния медленного электрона на атоме при» вЂ” имеет место поляризационное взаимодействие электрона с атомом И = — а!2»~ (а — поляризуемость 114 Зто разложение мы получим из интегрального соотношения для фаз рассеяния, которос раскроем по теории возмущений.

Будем исходить из интегрального соотношения (2) задачи 2.1. Умножим это соотношение на Р5(спад) и проинтегрируем по с!спад. Используем разложение амплитуды рассеяния по сферическим гармоникам (см. приложение 5), а также разложение волновой функции по сферическим гармоникам. В резуль. тате получим атома) . Тогда согласно (2) для всех фаз рассеяния, кроме 1 = О, получаем лап~ 62= (3) (2! — 1) (21+ 1)(21+ 3) При этом основной вклад в интеграл (2) вносят большие расстояния от электрона до ядра г - 1|ц ~ 1, где имеет место поляризационное взаимодействие электрона с атомом. Для нулевой фазы рассеяния теория возмущений неприменима. В этом случае интеграл (2) расходится. Задача 3.3. Получить выражение для дифференциального, полного и диффузионного сечений упругого рассеяния электрона на атоме лри малых энергиях.

Определить минимум в сечении (эффект Рамзау эра) при Ь/а <ч 1. Используем разложение амплитуды рассеяния по сферическим гармоникам (см. приложение 5), а также формулу (4) задачи 3.1 и формулу (3) задачи 3.2 для разложения фаэ рассеяния. Учитывая малость фаэ в пределе малых энергий электронов (62 .ч 1), получаем 1 /(25) = — Е (2!+ 1)62(ч)Р2(созр) = 4 2=о Р,(соа д) 1 д = — А+лап 2' = -Ь вЂ” — ла421п —, г=о (21+ 3)(21 — 1) 2 2 так как д Рг(соз д) аш = — 2 Х 2 2=о (21+ 3)(21-"1) На основе полученного выражения для дифференциального сечения упругого рассеяния электрона на атоме находим Но лг 2 2 лга242 — =~/(д)12 =Аг+лацА21п — — .

созд+ (2) Ыо 2 8 8 Отсюда для полного и дифференциального сечений упругого рассеяния электрона на атоме получаем / 2 о = (Ыо = 4л~Ь + — лацТ. + — а 4(, (3) / 4 Л г 2 о' =1'(1 — спад)г(о=4л~А + — ласи, + — а л ~. 5 6 Как следует из формул (3), в случае отрицательных значений длины рассеяния (А < О) сечение рассеяния электрона на атоме имеет минимум при энергиях, где нулевая фаза рассеяния 6с близка к нулю. При этом минимум полного сечения упругого рассеяния наблюдается при д = 8Х вЂ” — ч1, причем полное сечение рассеяния в этой же точке равно Зла 4л а ю = — Е, т.е.

оказывается в девять раз меньше, чем сечение при 115 нулевой энергии. Пиффузионное сечение упругого рассеяния имеет мини- 122, мум при д = — — < 1, причем минимальное значение диффузионного 5яп 4я сечения равно а" = — т,э, т.е. оказывается в 25 раз меньше, чем сече- 25 ние при нулевой энергии. Задача 3.4.

Установить связь между длиной рассеяния Т„поляризуемостью атома а и энергией сродства атома к электрону ЕА = уз~2 в пределе малых значений последней величины. Слабосвязанный электрон находится в т-состоянни. Уравнение лля волновой функции связанного электрона по аналогии с уравнением (3) задачи 3.1 имеет вид 1чо э/ 11 — +й'~-1+ — р, =О, дхэ 1х х',т' у э,бо тле х = ~ — ) г, д = (ад~) т1~. Решаем это уравнение на основании теории возмущений, причем малым параметром теории возмущений является й~ 4 1, а в качестве возмущения выберем потенциал йг ~ б~/х', х ~ 1.

То~да решение уравнения в нулевом приближении, соответствующем пренебрежению оператором возмущения 1; имеет вид /р Ах э1п~ — + Ь, х < 1, Ф = (2) эЬбх — сое Р", х > 1. Константа т5 не зависит от энергии электрона. Ее значение определяется короткодействующим потенциалом взаимодействия электрона с атомом, которое мы заменяем граничным условием, наложенным на волновую функцию электрона при малых расстояниях от ядра'.

Эта величина для свободного и связанного электронов имеет одно и то же значение, так что, используя формулу (4) эапачи 3.1, имеем с!я Ь = — Ьа Приравнивая логарифмические производные функции $о при х = 1, для коэффициента со в нулевом приближении имеем зЬ11 — ДсЛД вЂ” ДсЛбс1я!б+ та) бе с1яЬ5+ т5) — ре — е со — - р р р ° (3) Пля связанного состояния электрона со = ', откуда в нулевом приближении получаем т5 = — б~.

Точное решение уравнения для ро при больших РасстоЯниЯх электРона до ЯдРа имеет вид Ро = аЬбх — сое Р", пРичем условием существования связанного состояния при данном значении Д является обращение коэффициента со в бесконечность, так что вол- 116 новая функция электрона экспоненцнально убывает при удалении электрона от атома. В первом приближении теории возмущений коэффициент се равен 1 1 ! — = — ь — ) Р'Ф с Ых.

с!а! г(о! (4) се сс Учитывая, что т5 !5, получим отсюда выражение для коэффициента са с точностью до членов порядка Ц (се =се'!): ! гать !5 — — =1+ — — —. с, Рз 3' Из условия обращения этого выражения в нуль получаем соотношение между энергией связи электрона, длиной рассеяния и поляризуемостью: 1 1 — ч — (оу )П =1. (5) Ет 3 Задача 3.5. Определить асимптотическое поведение волновой функции валентного з-электрона в отрицательном ионе, если энергия связи электрона мала. При больших расстояниях от электрона до атома волновая функция электрона является решением уравнения (см. приложение 5) о Фе =7 Фо Вгз Вь(г) и имеет вид та =ВхГ27е т, прячем энергия связи электрона равна у'!2.

Характеристики

Список файлов книги