1626435894-d8fc059aa7a13c20ed940af85260205a (844333), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Вычислить диффузионное сечение упругого соударения иона и атома при малых энергиях в классическом приближении. Поляризационный потенциал взаимодействия иона и атома, находящихся на большом расстоянии, равен йе гу'(12 ) = — —, (1) 2114 ' Здесь р — прицельный параметр столкновения, угол рассеяния согласно формуле (10) задачи2.8'равен Р' пег двя -21" рхЯ/Я~ 1 — — +- (2) ла 2ет14 ув — точка поворота. Введем безразмерные переменные где Раааа = (2ое /е) В этих переменных диффузионное сечение рассеяния запишется в виде 2,гуг "- .12гугу12 2 **) гуг ув 2 гугу ) (3) 83 где са — поляризуемость атома, А — расстояние мехсду ядрами.
При расстоянии между частицами порядка размера атома, когда перекрываются их электронные оболочки, потенциал взаимодействия иона с атомом соответствует отталкиванию. Однако при малых энергиях соударения рассеяние происходит при больших расстояниях между ионом и атомом, значительно превышающих их размеры. Поэтому в дальнейшем при расчете сечения столкновения иона с атомом мы ограничимся поляризационным потенциалом взаимодействии между ними. Диффузионное сечение рассеяния в классическом случае равно а* =3' (1 — сот гу)2лр21р.
У„ез, Пз где ос= яр, = 2я ~ — ) — так называемое сечение поляризационного 2 Е захвата иона атомом. Как видно, диффузионное сечение рассеяния разбилось на два слагаемых. Первое отвечает значениям прицельного параметра, при которых происходит захват частицы силовым центром с падением ее на центр и последующим отражением от него.
Второе слагаемое учитывает столкновения, при которых 'захват часпщ центром отсутствует. Проследим за точкой поворота хе, которая соответствует обращению в нуль подкоренного выРажениЯ и ЯвлЯетсЯ коРнем УРавнениЯ 1 + хе4 — 2хеУз = 0: хе =у' — х/у~ — 1. (4) Подкоренное выражение неотрицательно при у > 1; в этом случае и справедливо данное соотношение. Если у < 1, то при таких значениях прицельного параметра взаимодействующие по поляризационному закону классические частицы могут сблизиться вплоть до слипания, т.е, в этом случае ге =Оихе = Перейдем к вычислению полученных интегралов.
В данном случае они могли бы быть точно определены численными методами. Мы воспользуемся приближенным методом, который хотя и обеспечивает меньшую точность, но в то же время и является менее трудоемким. Следует отметить, что точность расчета, к которой мы должны стремиться, в практическом случае не должна превышать ошибок, связанных с неточностью аппроксимации потенциала взаимодействия поляризационным потенциалом и с другими упрощениями. При вычислении первого интеграла учтем, что косинус быстро осцилли.
рует. Введем функцию лу)-! г,чу~.~г.. -2 о и разложим выражение (3) по степеням !]Г. Интегрируя по частям, полу- чим 1 2у / 2уг7у ~! + соз)'] = 1 + )' —,й ВпУ= 1 + о 2у !1 ~ с! / у'! Ы у у ~с!сот)' — Опав~ — 2 / Впу —,)г7у =! + 2)' — ~ —,) —, е о с~у Ф 'з,Г' ) При этом во втором слагаемом мы ограничились первым членом разложе. ния по степеням 1/Г . Мы учли, что при у, = 0 7' = О, а лри у = 1 Поскольку Г (О) = 2эГ2/ = Г ( — )= 5,24, о х/Г+х" хУ2я то второе слагаемое составляет 7,2% от первого и используемое предполо- Задача 2Л5. В квазиклассическом приближении определить полное сечение рассеяния частиц при потенциале взаимодействия (/(А) = с — и Полное сечение рассеяния дается формулой (4) задачи 2.4: 4я а = — Е (2/+ 1) Вп бь (= 0 В квазиклассическом пределе основной вклад в сечение.
вносит моменты столкновения с большими значениями /, так что сумму (1) можно заменить интегралом а=/ 8лр1рз(лзс(р), с (2) яд 5, = - — /' и( ) (у ° /,(а )) ' / . 1~т о Воспользуемся асимптотическим выражением функции Бесселя для больших значений индекса и заменим быстро осциллируюший множитель соз' его средним значением 1/2. Получим д г/(г) г/г 6~=- —, / (4) "" "+-,'//( причем точка поворота есть корень подкоренного выражения ге = р= 1 = (3 + 1/2) —. Вводя классическое время из соотношения г, = рз ь и' гз (и = = /л//д ), можно соотношение (4) записать в виде 1 — — / (/г/г, 21з— (5) В рассматриваемом случае потенциал взаимодействия частиц 1/(г) = Сг так что в соответствии с формулой (5) фаза рассеяния равна С +- г/г С~/я Г((л + 1)/2) Ь= —— (6) 26 — (р + о~г~)" 2й од" Г(л/2) что для сечения рассеяния (2) дает 2 т 6-/8 ~н Б~~ 2 ° ( — ) ( ) Г( — / (7) аь 1 где д = (! + 1/2) — -- прицельный параметр столкновения.
Палее, основной Я вклад в сечение вносят малые углы рассеяния, где взаимодействие относительно мало и фазы рассеяния могут быль рассчитаны по теории возмущений. В соответствии с формулой (2) задачи 2.5 фаза рассеяния равна. Получим оценку для полного сечения рассеяния. Основной вклад в сечение в соответствии с соотношением неопределенностей вносят прнцель. ные параметры столкновения тьрр — -1 б Здесь ЬР— изменение импульса при прицельном параметре столкновения р, которое дня мапых углов рассеяния составляет У(р) Ьр= )' Р'г)г- —, (8) Е = — д У/Эг, Отсюда получаем оценку дня полного сечения рассеяния: о Ря где р„удовлетворяет соотношению Ря тг(рп) Ьи (1О) Как видно, для потенциала взаимодействия 11(г) = Сг " формулы (9) э и (10) в соответствии с (8) дают о — (С1'йи) " Покажем, что в квазиклассическом пределе справедливо использованное предположение, согласно которому потенциал взаимодействия при расстоянии между частицами порядка р„мал по сравнению с энергией частиц.
Имеем 0(рл) Рп Ирп) <1. Роро Рпр 1- — з- 1 )г Второй сомножитеяь много меньше единицы. Задача 2.16. Определить квазиклассическое полное сечение рассеяния частиц дпя резко изменяющего потенциал взаимодействия частиц. При заданных условиях имеем малый параметр У(р) <1 и р У'(р) н по этому параметру следует разложить сечение. В области, ответственной за рассеяние, будем аппроксимировать потенциал взаимодействия зависимостью У(г) = О. ", так что дпя сечения воспользуемся формулой (7) задачи 2.15. При разложении по малому параметру 1!и представим сечение 87 Здесь первый сомножитель согласно формуле (10) порядка единицы, и в классическом пределе основной вклад в сечение вносят большие при- цельные параметры столкновения, т.е.
в виде формул (9) и (10) задачи 2.15: Ро (/(Ро) и= 2яроэ, = а. йи (2) ~,/я Г "(-;) оя! Отсюда находим г( †) я= х/я Г о-! 1 э г( — ) Имеем в пределе и -'" л — 1 л — ! 1( )! Г~ — /~ = ~Г(!) — — Г(1)~ =ееы>Г(!), л — 1 я — 1 где Ч!( ! ) = Г'(1)/Г(1) = — С + 1 = 0,423, так что е еы) =Об55 (Г(1)= !). Воспользовавшись формулой Стирпинга, получим г( — ) 'г.— (- ) е à — 2я — — ! г,/ 2 =ф--') '. Окончательно имеем /не а = Х/ — е Е О ! Х/Ш 2я (3) 88 Параметр а выберем таким образом, чтобы коэффициент при первом члене разложения ро по малому параметру 1/я обратился в нуль.
Сравнивая формулу (2) и формулу (8) предыдушей задачи, получаем Таким образом, полное сечение (2) равно Ро ШРе) о= 2лрез, ли (4) Величина ре носит название радиуса Вайскопфа, Задача 2.17, По полному сечению упругого рассеяния частиц прн всех скоростях столкновения восстановить потенциал взаимодействия между ними. Считать, что в рассматриваемой области расстояний между ядрами частицы движутся по классическому закону и полное сечение, определяемое взаимодействием частиц в этой области расстояний, является монотонной функцией скорости столкновения.
Считая, что частицы движутся по классическому закону, получаем. что полное сечение упругого столкновения определяется прицельными параметрами соударения, где потенциал взаимодействия между частицами мал по сравнению с энергией столкновения. В этом случае согласно формуле (5) задачи 2.15 фаза рассеяния равна г(Р) ь( )=- (1) 2и где 2 б(г)г г2г п(Р) = — У /„э (2) получаем а'Р' П(Р) 2я / = — ( У(г)гг1г. /3 112 ь Дифференцируя это соотношение по Я, установим связь между потенциа- в9 1т1 Здесь Р = (l + — ) — — прицельный параметр столкновения, и — скорость 2 4 столкновения, так что е = Р из12, Р— приведенная масса частиц. Прн получении соотношения (1) была использована малость потенциала взаимодействия, что позволило провести разложение по малому параметру У(Р)(е.
СуШественно, что П(р) не зависит от относителзной скорости столкновения. Выразим сначала потенциал взаимодействия частиц через фазу рассеяния в рассматриваемом случае, когда имеет место приведенное соотношение между фазой н потенциалом взаимодействия частиц. Умножим это соотношение на величину 2Р1/р'" — 11з н проинтегрируем по пр от Я до бесконечности. Меняя в правой части пределы интегрирования и учитывая, что лом взаимодействия частиц и фазой рассеяния. (При этом предварительно возьмем интеграл в левой части равенства по частям.) Получим ЕУ(Я) = — — / л'(р) 1р (4) я /рэ Теперь выразим величины, входящие в правую часть уравнения, через полное сечение рассеяния.
Оно равно л(р) 2 ~'», л а(и) = ! 8ярг7рз(п — = — )' р а(п — г7Л. (5) о 2и и о и ку значение !' УгИ порядка атомной величины или более, то получаем о р е' птах т ~л где гл — масса электрона, р — приведенная масса ядер. Как видно, в рас. сматриваемых масштабах скоростей (и< е (11) можно считать л„„ так что 2я э Ч и(и) = ! р 51п оп. и о и (6) Взяв компоненту Фурье от этой величины, получим 1 - г)и л рэ (Л) = —, ) — а(и) а1п — . я' о и и (7) Подставляя соотношение (7) в выражение для потенциала взаимодействия частиц, определим потенциал взаимодействия йча ( 1 Ди Л 1 (7(К) = — )' АЛ ~ —, ) — и(.) з1п — яз ~ яо 1г е и и (8) где Ле дается выражением ле — / — а(и) з1п — = г(~. я о и и (9) В рассматриваемом случае — при монотонной зависимости сечения от скорости — зто уравнение имеет только один корень.
Задача 2Л8, 1!олное сечение упругого рассеяния частиц в рассматриваемой области скоростей связано с относительной скоростью 3 столкновения соотношением и(и) = (А/йи) " ' . Определить потенциал взаимодействия частиц, отвечающий этим скоростям соударения. 90 гр Мы взяли этот интеграл по частям, причем и,„= —, !' У(!!) г1!т. Поскольй' о Потенциал взаимодействия согласно формуле, полученной в задаче 2.17, имеет вид 2 1 1 аЪУА~г~-~ и 21 2 Ц(К) = —,/ ~/П ~ — / — ~ — / 21п — — Я' ~ о л' о с 1ю У 2 1 = — /' с/21 — й — яз где 2 1 — — 1 1 у 2 ! я й= —, / х зшхс/х= — Г~ — /пп— л — ! а' о ( Лз/Ь,~.
1 Вводя новую переменную 2 = †~ †) и учитывая,что й А а — з !Хт/ = — т 2 А/ й12л — 1 С/2, й ~/1'У' 2 приведем этот интеграл к виду а — 3 а — 1 1 Ь 1 Ч/2 А й г и — 1 Уф) = — /' — — — — 2 (1 — 2) 1/2 = /1 ! ~~/12 ( 2 А — — Г(п/2) й = СЯ ч/я Г((л — 1)/2) Здесь С=А — à — яп— я' л — 1 -1,/ Г((л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
