1626435894-d8fc059aa7a13c20ed940af85260205a (844333), страница 14
Текст из файла (страница 14)
С учетом спин орбитального взаимодействия молекулярные состояния характеризуются тремя квантовыми числами: проекцией полного момента й на молекулярную ось, четиостью зо (и или я) при инверсии координат электронов в центре квазимолекулы и характером отражения функции с й = 0 в плоскости, проходящей через молекулярную ось (см. приложение 4) . При этом каждое состояние с заданным й может быть четным и нечетным. По аналогии с задачей 1.43 получаем следуюшие молекулярные состояния, коррелируюшие с пределом 'Р,уз + ~о'11з. 0',, 0„0,'„0„,1 . 1го а для предела Рзуз + бтуз — состояния Оя, О„Ое„О„, !а, 1„, 2х, 2„.
Теперь следует выполнить классификацию молекулярных состояний при сильном диполь-дипольном взаимодействии. Здесь в нулевом приближении пренебрегается спин орбитальным взаимодействием. (Соответствующие термы и их взаимное расположение бьшо найдено в задаче 1.10.) Затем спин- орбитальное взаимоцействие должно быть учтено в первом порядке теории возмушеиий. Этот учет приводит к расщеплению триплетных П-термов по квантовому числу й. Величина этого расщепления пропорциональна кок. станте спин-орбитального взаимодействия в свободном атоме М* и, как по. казывает расчет, равна йе13, где йе — тонкое расщепление Рсостояния. Для триплетного герма каждой четности имеются состояния й = 2, й = 1 и два состояния с й = 0 (О и 0 ).
Состояния с ~ й ~ > 0 вырождены точно, а состояния с й = 0 вырождены только с точностью до поправок второго приближения по величине отношения спин. орбитального взаимодействия к диполь-дипольному взаимодействию. ьб .Р иг, г ага' г/а я, +я р рз+ зря Р н с. !дц Корреляционньк диаграммы для взаимодействия двух одноэлектронных атомов одного сорта с валентными з н р-электронами при наличии сини-орбитального взаимодейсзния Таким образом, молекулярные состояния Х,, П„П и Ха (см. задачу 1.10) спин-орбитального взаимодействия генерируют следующие термы: состояние Ха — термы О „1г, О,',; состояние П, — термы 0,„1„,0;„2„, 1„ состояние П, — теРмы Оя, Оя, 1я 2я 1и1 состояние Ха — термы 0„, 1„, Оа. Применение правила непересечения дает корреляционную диаграмму, приведенную на рис.
1.2. Задача 1.45. Выяснить возможность образования связанного состоя. ния молекулярного иона водорода Н; в нечетном состоянии Хн. Потенциал взаимодействия атома и иона при больших расстояниях между ядрами складывается из потенциала обменного взаимодействия, который в данном случае отвечает отталкиванию, и поляризационного притяжения: 1 а и(л) = — ~ця) — — . (1) 2 211а Здесь потенциал обменного взаимодействия Ь(тт), равный разности знер- 67 гий нечетного и четного состояний молекулярного иона водорода, найден в задаче 1.16 !формула !ба)) и составляет тт = 4А е л ', поляризуемость атома водорода а = 9!2 (задача 1.8). С учетом этого для потенциала взаимодействия протона и атома водорода в нечетном состоянии получим 9 !7(Н) = 2!те л 12) 432 Приведем значения потенциала взаимодействия 17 для некоторых расстояний Я между ядрами, при которых имеется наибольшее притяжение.
Я 1О 1! 12 13 14 15 1б 17 18 — !7(В),!О ' +!0,7 — 1,9 — 5,4 — 5,7 — 5,0 -4,1 — 3,3 --2,6 — 2,1 Поскольку такое притяжение имеет место при больших расстояниях между ядрами, то справедливо представление потенциала в виде суммы дальнопействуюшего и обменного взаимодействий.
Выясним возможноств сушествования связанного состояния в обрезанном поляризашаонном потенциале, который имеет вид !7(Я) =, 71 < 72,, УП2) = о)2Я4, Я ) Я,, Уравнение Шредингера для волновой функции ядер, взаимодействующих по атому закону, имеет вид 72 о "!' З ~ ) 4 2д 72 ~Из 2!т~ 2д где и — приведенная масса ядер, 7'!2д — энеогия связи ядер. Будем считать, что знергия связи ядер мала, так что иду' Ф !.
Тогда уравнение можно решить'в двух перекрывающихся областях, причем полученные решения сшить в области перекрытия. При 372 < 1 пренебрегаем правой частью уравнения, так что решение уравнения имеет вид у ~/аи 'Р = С,а!и — — Б, ТК ~ 1, причем из условия Р = О прн 72 = Я! следует, что Б =,/од7тт,. При КЬ ч/ои можно пренебречь поляризационным членом по сравнению с первым членом в левой части уравнения Шредингера. Тогда получим е 7И Ф = Сг 72 Сшивая полученные решения при Яу 4 72 Ц 1/у, находим 18 Б = у~/ад.
Отсюда следует, что в случае Б ) ял при рассматриваемом потенциале взаимодействия может существовать л связанных состояний, отвечающих колебаниям ядер. Для данной модели число связанных состояний ядер равно.целочисленному значению величины ~/а,и/лР! = 21/Я!. Так как бв при Я = 18 обменное взаимодействие составляет 1% от поляризационного, то использованная модель позволяет доказать, что колебательное связанное состояние молекулярного иона Нт', находящегося в нечетном состоянии, существует. Для реального потенциала взаимодействия ядер в Нз прн Я = 12 поляризационное взаимодействие вдвое больше обменного, а при тт = 10,8 они сравниваются. Из рассмотренной модели следует, что два связанных состояния ядер могут существовать в том случае, если поляризационный потенциал продолжается до Я = 10,5..
Отсюда можно сделать вывод, что у молекулярного иона водорода, который находится в нечетном состоянии 'Х„и ядрами которого являются протоны, имеется только одно связанное состояние, отвечюощее колебанию ядер. ГЛАВА 2 МЕТОПЫ ТЕОРИИ АТОМНЫХ СТОЛКНОВЕНИЙ й 2.1. Приближения теории рассеяния атомных частиц Задача 2П. Показать„что задача столкновения двух частиц в отсутствие внешних полей сводится к задаче рассеяния одной частицы на силовом центре. Этот результат можно получить из анализа уравнения Шредингерадля волновой функции частиц, учитывая, что потенциал взаимодействия частиц зависит только от относительного расстояния между ними.
Искомое уравнение Шредингера имеет виц й~' 02 — — А1 — — Аз + и(г) Ф = ЕФ, 2л21 2т2 где У(г) — потенциал взаимодействия между частицами, ь „ь2 — лапласиан, взятый по координатам соответствующих частиц г, и гз, г = г,— — гт — радиус-вектор относительного расстояния межцу этими частицами, л21, я22 — их массы. Введем координату центра инерции частиц Л1121 + Л1222 В = Л21 +Л22 и воспользуемся соотношением 02 02 02 122 + А2 дн + — Аг. 2л21 2л22 2(л21 + п22) 2и Здесь д = т1тз/(т1 + л12) — приведенная масса частиц; индексу лапласиана обозначает, по какой координате берется производная.
Как видно, в используемых коорцинатах уравнение Шредингера разделяется. Представив волновую функцию в виде произведения: 1р(г! 22) 11' (г) 1 (В) находим, что центру инерции частиц отвечает свободное движение и волновая функция Ф(Н) соответствует плоской волне. Волновая функция 1г(г) удовлетворяет уравнению Шредингера 02 — — д,й+и(г)Ф = Ф, гд 70 где е — часть знергии, отвечающая относительному двюкению частиц.
Таким образом, задача соударения двух частиц в отсутствие внешних полей сводится к задаче рассеяния одной частицы с массой, равной приведенной массе частиц, на силовом центре, потенциал взаимодействия с которым совпадает с потенцизлом взаимодействия между сталкивающимися частицами. Задача 2.2. Используя асимптотическое разложение для волновой функции частицы при рассеянии на силовом центре, получить выражение для амплитуды рассеяния частицы на силовом центре.
Пусть потенциал взаимодействия частицы с силовым центром определяется законом 0(г). Тогда уравнение Шредингера для волновой функции ф частицы имеет вид йт йт г — — ЬФ+ПФ= — Ф 2д Зд. ' где е = й 4 1'2д — знергия, и — масса частицы (приведенная масса стал- 2 2 кивагбшихся частиц) . Представим полученное уравнение в виде гд (де)')ф= — ий, 12 причем правую часть будем рассматривать как неоднородность. Функ. цня Грина однородного уравнения равна П(г, г ) = — е'""14ях, где х = = ~ г — г ~.
Представив решение данного уравнения как сумму решений од- нородного и неоднородного уран)гений, находим Щ!г — с 1 Ф (г) = С е гя г — — ), ф (г') Ь (г') г( г 2льз 1г — г ~ Как видно, с помощью проделанной операции мы представили уравнение Шредингера в интегральном виде. Такая зались позволяет получить асимптотическое выражение волновой функции. Устремляя г ~ и считая под интегралом г в ° г, находим, что асимптотическое выражение для волновой функции действительно дается формулой егч" ) Ф (г) = Сс'чг + Д(д) — ~, Г причем амплитуда рассеянияу(д) равна Г(д) = — — )' ехр( — 1пвг') 11(г') ф (г') пг'.
2 б2 (2) Здесь д — угол между векторами г и и, в — единичный вектор, направленный по г, а волновая функция нормирована таким образом, что р— — ехр((ог) при г -' . При атом асимптотическое разложение (1) справедливо, если на больших расстояниях от силового центра потенциал взаимодействия убывает сильнее, чем 1/гз; в противном случае интеграл (2) расходится. Заметим, что формула (2) не позволяет в общем случае определить амплитуду рассеяния, которая в этой формуле выражается через волновую функцию частицы.
Задача 2.3. Определить амплитуду рассеяния 'в борновском приближении, когда потенциал взаимодействия частицы с силовым центром в области, определяющей рассеяние, много меньше' энергии частицы. При поставленных условиях в нулевом приближении взаимодействием частицы с силовым центром можно пренебречь, так что состоя. ние частицы описывается плоской волной гй = е Ч . Подставляя это выраг жение в формулу (2) задачи 2.2, получим в следующем приближении для амплитуды рассеяния частицтл на силовом центре: Яд)=- — /е ' ' (/(г')с/г'. Н 2лйз 1 — Х Аг р~(т)Рг(созд), т г=о где т, д — сферические координаты частицы, А~ — коэффициенты разло- жения, Р,(спад) — полиномы Лежандра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
