1626435894-d8fc059aa7a13c20ed940af85260205a (844333), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Тогда иэ формулы (2) для угла рассеяния получим Р д = я — 2 агсз1п — . "о Используя зто соотношение в качестве нулевого приближения, с учетом (2) можно записать Р д = я — 2 агсзьп — + 2 Ьд, ге где (4) 77 где Р— пРицельньш паРаметР столкновенйЯ, ге — РасстоЯние наибольшего сближения частиц при столкновении, которое удовлетворяет соотношению (7(ге) Р 1— — — = О.
гс Выражение (4) для угла рассеяния лля классической задачи является точным. Удобство такого представления состоит в том, что Ьд 1/л, т.е. значение г.' д пропорционально малому параметру. Дальнейшей нашей задачей будет вычисление этой величины с точностью до малого параметра. Тем самым угол рассеяния частиц будет состоять из первых двух членов разложения по малому параметру. Учет только первого из них отвечает модели твердых сфер. Для исключения расходимостей в интеграле (4) используем соотношение из которого получаем /г з з При этом последний интеграл сходится вблизи /! = го (и' — го - 1/л). Это дает с точностью до 1/л: гр 2 = — (1 — 1 2)~~р, л Отсюда получаем выражение для /Гд в области, где (/(го) е: р г/го 2(1 — 1о2) г/ рьд = — /1 — — — — ( /го Р ).
(5) го г/Р л ггР Введем величину и = (/(го)/е — = 1 — р'/го. Учитывая, что и ( 1 и л >> 1, на основе формул (3) — (5) находим ! 2 — (л — 2)1п 2 ! роги (1 — и) д = 2 агсз!п~/и+ 2~ /~+ю -о г!2 — ) 1+'али причем л = — с/1пи/г/1пго. формула (6) является окончательным выражени. ем лля угла рассеяния. Учет единицы в знаменателе в выражении для Г!д, 78 которое отвечает второму слагаемому, является, вообще говоря, превышением точности результата. Ош!ако такое представление позволяет охватить более широкую область углов рассеяния для реального потенциала взаимодействия.
Задача 2.10. Получить выражение для мала!х углов рассеяния при столкновении классических частиц с резко изменяющимся потенциалом взаимодействия как функции расстояния Я между ними. В задаче 2.9 получена формула для угла упругого рассеяния в случае столкновения классических частиц с резко меняющимся в зависимости от Я потенциалом взаимодействия для области параметров столкновения и - 1, л э 1. Используя стандартный прием для вычисления угла рассеяния при малых значениях угла рассеяния, имеем Ьр, ! - г - ра ~д(/ д= — = — )' Р,аг= — У /Яэ 2 Здесь р = ли — импульс частиц в системе центра инерций„так что и — приведенная масса частиц, с — относительная скорость столкновения (е = р дУ = дс'/2), Рт = — — — сила, которая действует в направлении, перпен- Я дЯ дикуляриом движению частиц; считаем, что частицы движутся по закону свободного движения, т.е.
Яэ = р + и гз . Отсюда находим р "1д(/! !1Я (2) Апйроксимируем потенциал взаимодействия в области Я р, ответственной за рассеяние, зависимостью У(Я) - Я ". После вычисления интегра- па получим ~'л+1! и — ! Г— У(р) ! Ых — (/(р) т, 2 / д= — и) — (1 — х) э = — ч/л е о 2~/х е и / /я+1~ ГдЕ !Г = 1 — рз/Яз. УЧнтЫВая, ЧтО Л Э 1, ОтСЮда ПспуЧИМ~Г~ — ) ю 2 '- гН) /лл У(р) (4) Приведем это выражение к обозначениям предыдущей задачи: У(,~ и!.>(..)" (э)" 79 Далее имеем рз/гзо = 1 — и, так что с учетом по 1 получим )л/2 -лл/2 < ° л го Отсюда находим ,ч „/ нелл! /ял 2 (5) Это выражение справедливо в области малых углов рассеяния. Отсюда следует, что критерием его применимости является условие ил <1.
Только лри этом условии мы можем считать параметры го и р одинаковыми, т.е. У(р) = (/(го). Формула (б) задачи 2.9 справедлива при обратном соотношении между данными параметрами, т.е. когда ил > 1. Обобшая формулу (б) задачи 2.9 и формулу (5) данной задачи, представим угол рассеяния частиц при его малом значении в виде д = 2 х/и/'(ил), (б) где 41п2 1 — —, тл.1, Х(2) = з/ 7, г -л 1. 2 2 Задача 2.11. Определить диффузионное сечение рассеяния тяжелой частицы на силовом центре, если взаимодействие частицы с силовым центром отвечает модели твердой сферы радиуса Яо.
В этом случае потенциал взаимодействия равен !/(/1) = 0 при г ) Ао; !/(А) = приА<АоОсиовной вклад в сечение рассеяния вносят столкновения с моментами 1 дЯоо/Ь, и так как масса частицы д Велика,то принс оченьмалых скоростях столкновения о характерные значения момента столкновения 1 Ъ 1. При этом критерием справедливости данного соотношения является условие (при о - яо~) р Э й~/де (где е — энергия налетаюшей частицы) .
При данных условиях диффузионное сечение рассеяния 4я 2 4Г- . 2ДБ! — Х (1+1)йп (о! — бм~)= 2 ./1п!21п 42 1=0 д~ о с/1 Ю! д=2 —, И! л,/ 2 яр с!р (1 — соз д), о где прицельный параметр столкновения удовлетворяет соотношению й/ 1 р = — = —, Как видно, мы получили классическую формулу для дифио Ч фузионного сечения рассеяния, причем д — классический угол рассеяния. 80 Используя модель твердой сферы, находим, что расстояние наибольшего сближения рассеиваемой частицы с силовым центром ге дается соот- ношением ~ Л при р<Ае, га = Р >Не.
(2) Отсюда согласно формуле (3) задачи 2.9 находим углы рассеяния: Р и — агсйл — при р (Яе, д= 0 при л >Не. (3) Подставляя зто выражение в формулу (1), для диффузионного сечения рассеяния в рамках модели твердой сферы получим и' = л11е. (4) Задача 2.12. Найти диффузионное и полное сечение рассеяния частиц при малых и больших скоростях соударения. Потенциал взаимодействия между частицами отвечает отталкиванию и описывается моделью твердой сферы (У(А) = ~ при Л < Ре, Уф) = 0 при А >Яе). Диффузионное и полное сечения рассеяния определяются формулой (4) задачи 2.4 и в пределе малых скоростей соударения — в квантовом случае — выражаются через нулевую фазу рассеяния. В этом предельном случае диффузионное и полное сечения рассеяния совпадают: о = о* = 4яЯ;, (длина рассеяния равна Яе). В пределе болыпих скоростей соударения 4Яе фаза рассеяния со~ласло формуле (9) задачи 2.8 равна 1 9А >1+ —, 0 2 О, Задача 2.13.
Определить диффузионное сечение рассеяния класси- ческой частицы при резко убываюшем потенциале взаимодейст- вия ее с силовым центром. Воспользуемся результатами лля угла рассеяния в рассматриваемом потенциале, полученными в задаче 2.9. В соответствии с формулой (6) 81 Отсюда следует, что для моментов соударения! 4Ае г 1, вносящих основной вклад в сечение, фаза велика: 6, л 1, Поэтому величину з1пзбь в выражении длл сечения можно заменить на 1/2, так что полное сечение рассеяния при больших скоростях будет равно 2лАзе.
При этих скоростях соударения оно будет вдвое больше диффузионного сечения рассеяния (см. задачу 2.11), укаэанной задачи представим угол рассеяния в виде ь/и(! — и) д = 2 агсз!ль/и — 2!л 2 и 1+--и 2 где (!(ге) рт Н!ли и— = — =1 — —, л=-. Я— го и)т ~л, Эта формула записана в виде разложения по степеням малого параметра 1!л, причем второе слагаемое мапо по сравнению с единицей.
На основе формулы (2) получим для диффузионного сечения рассеяния: ! о' = / (1 — сот д)лс(р = 2л / и((! — и)г!гзе — гадес!и11 + о о 1 4!л2 1 — и + л / х/ — 2ъ/и(! — и)г~~г(и о л и При этом, поскольку и = ! — р !ге, мы воспользовались соотношением 2 2 дрт = (1 — и)~Ье — гег(и и учли, что первое слагаемое составляет -1!л от второго. Вычисляя во втором слагаемом интеграл по ди по частям, имеем -2л / иго до = — л / гетдиз = лй си') о о о — л ) и йго = лЯ~ о+ —./ гоиг(и = ело(1 + ) о и о .( (4) так каки -га ",т.е. дге ге л и Здесь мывоспользовалисьтемобстоятельством,что и(йе) = 1, т.е, ()(;те) = = с.
Отметим, что случай р= О отвечает и = 1, ар= соответствует и = О. Повторяя подобные выкладки н для других интегралов, получим окон- чательно !1т 1+ (5) Представим диффузионное сечение в виде о* = ~Я,, т.е. 1,5 -2!п2 ле+ а2 При этом в диффузионное сечение рассеяния основной вклад вносит область и 1. Учитывая зто, представим формулу (1) в виде 41л2 ! — и д = 2атсз!ль/и — — ь/— (2) л и тогда имеем л(Я2) =( — -) = ехр ~ — — + 21л2 = 4е ~уэ = 0,89. Таким образом, диффузионное сечение рассеяния равно и()1,) С" = ЛЯ2, — = 0,89. е (6) Задача 2.14.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
